专题01 数的开方（期末复习知识清单，5知识11题型3易错3方法）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学“数的开方”专题知识清单系统梳理了算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数五大核心知识，构建了从定义性质到运算应用的递进式学习支架，涵盖5类知识清单、11种典型题型及3个易错点与方法总结。 清单以“定义-表示-性质-补充”结构化呈现知识，如标注“算术平方根等于本身的数仅0和1”等关键结论，通过“无理数识别”“实数与数轴对应”等题型培养抽象能力与几何直观，配套“无理数整数部分计算方法”等实用工具，助力学生高效掌握重点，教师可据此设计分层教学，提升复习针对性。

专题01 数的开方（5知识&11题型&3易错&3方法清单） 【清单01】算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【清单02】平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根. 表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 【清单03】立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单04】无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【清单05】实数 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【题型一】求一个数的算术平方根 1．（23-24八年级上·重庆江北·期末）4的算术平方根是（    ） A． B．2 C．±2 D．± 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，“一般地，一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根”． 【详解】解：因为，所以4的算术平方根是2． 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川广安·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的意义直接求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 3．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 【题型二】利用算术平方根的非负性求解 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）若， 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、解二元一次方程组、算术平方根和绝对值的非负性等知识点，根据非负性列出关于x、y的方程组成为解题的关键． 先利用非负性列出关于x、y的方程组，再解不等式组求出x、y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得： ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东滨州·期末）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根与偶次方的非负性、完全平方公式、算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．先将已知等式转化为，再根据算术平方根与偶次方的非负性可得，，从而可得的值，代入计算算术平方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 6．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，非负性，先根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，然后运算除法，得，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 则． 【题型三】求一个的平方根 8．（24-25八年级上·广东河源·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义解答． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【答案】 1 1 【分析】本题考查了求平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的意义，逐个计算即可． 【详解】解：1的平方根是，1的算术平方根是1，1的立方根是1， 故答案为：，1，1． 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；由平方根的性质可求出的值； 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故答案为：． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得： ，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 【题型五】求一个数的立方根 13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）的立方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：A． 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）下列说法正确的是（    ）． A．4的算术平方根是2 B．的平方根是 C．立方根等于它本身的数只有1 D．正数的平方根有两个，立方根也有两个 【答案】A 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念和求法，理解、记忆平方根和立方根的概念是解题关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 4的算术平方根是2，故本选项正确； B． ，8的平方根是，故本选项不正确； C． 立方根等于它本身的数是和0，故本选项不正确； D． 正数的平方根有两个，立方根有1个，故本选项不正确； 故选：A． 15．（23-24八年级上·江苏·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，等号两边同时开立方即可． 【详解】解：由题意，得：． 故答案为：． 【题型六】平方根与立方根综合 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根的定义，根据算术平方根及立方根的定义，求出的值，代入可得出的平方根． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴，的平方根是． 即的平方根是． 17．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案，正确得出a，b，c的值是解题关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为4． 18．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是的整数部分 (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根的定义求得的值，根据算术平方根的定义求得的值，估算的大小即可求得的值； （2）将（1）中，，的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得的平方根 【详解】（1）∵已知的立方根是4， ∴， ∴， ∵的算术平方根是5， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：∵，，， ∴ ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 【题型七】无理数大小的估算 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小的应用，关键是能求出的范围． 根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：C． 20．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键．因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：C． 21．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八】实数的性质 22．（24-25八年级上·吉林长春·期末）的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， 即的绝对值是， 故选：B． 23．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 24．（24-25七年级上·山东泰安·月考）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 【题型九】实数与数轴化简问题 25．（24-25八年级上·吉林长春·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，关键是根据二次根式的性质化简解答． 先根据，两点在数轴上的位置得到，再把绝对值和二次根式进行化简求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：A． 26．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴可知：，则，化简所求代数式即可．由数轴得到是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：B． 27．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，立方根和算术平方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型十】利用数轴表示实数 28．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理．根据勾股定理得出，然后得到，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由图可得：正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：D． 29．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 30．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上，点A对应的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理．根据勾股定理计算出，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， 点M表示的数为． 故答案为：． 31．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点A，则点A表示的实数是_______； (2)如图②，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，，以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是_______； (3)在图③中，利用尺规作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键用勾股定理表示出无理数． （1）由圆的周长公式即可求解； （2）直接运用勾股定理求解； （3）直角边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，则，，，由勾股定理得，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的实数为：， 故答案为：； （3）解：直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，则，，，由勾股定理得，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数为． 【题型十一】比较实数的大小 32．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，分别计算各选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， 而， ∴最大的数是， 故选∶B． 33．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 34．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解： ，，且， ， ， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【分析】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 【题型一】求一个带根号的算术平方根/平方根 1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）的立方根为 ．的平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：，8的立方根为2； ，4的平方根是， 故答案为：2；． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：的立方根是； 的平方根是． 故答案为：；． 3（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 【题型二】利用平方根/立方根解方程 1．（24-25八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 3．（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对平方根和立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）根据平方根的定义开方，即可求出方程的解； （2）根据立方根的定义开方，即可求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】无理数的识别 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查无理数，算术平方根，化简二次根式．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数的类型，即可求解． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，其中是无理数，故是无理数； ，其中是无理数，故是无理数； ，其中是无理数，故是无理数； 是有限小数，属于有理数。 ∴ 无理数有 、、 共3个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在1.414，，，，2.1010010001（相邻两个1中间0的个数逐次加1），1.21，中，无理数个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，解题关键是明确无理数的定义，掌握无理数常见形式．根据无理数定义逐个判断，即可解题． 【详解】解：， 在1.414，，，，2.1010010001（相邻两个1中间0的个数逐次加1），1.21，中，无理数有，，2.1010010001（相邻两个1中间0的个数逐次加1），共3个， 故选：B。 3．（23-24七年级上·河南周口·月考）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 【题型一】无理数整数部分的有关计算 解题方法：确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值是 ． 【答案】44 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 根据题意可知：，，为整数且，即，因此，即可得出结果． 【详解】解：，，为整数且， ， ， ，， 故答案为：44． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·月考）若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算． 先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：B 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值 ． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先根据的小数部分为，的整数部分为，求出、的值，然后求出即可； （2）根据，其中x是整数，且，得出x为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【详解】解：（1）∵，, ∴，， ∵的小数部分为， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴. （2）∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴ 的相反数为. 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 【题型二】实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，掌握乘方、零指数幂的运算法则，单项式乘除法则是解题关键． （1）先处理乘方、零指数幂、绝对值等特殊运算，再按乘除加减顺序计算． （2）先分别算整式的乘除，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查实数的混合运算． 按照运算法则分别计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值、有理数的乘方、零指数幂的运算法则是解题关键． 根据各运算的基本规则，按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算． 【详解】解：原式 ． 【题型三】与算术平方根/立方根有关的规律探索问题 1）被开方数a的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 2）被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方（5知识&11题型&3易错&3方法清单） 【清单01】算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.例如，169的算术平方根是13.（规定0的算术平方根是0） 表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【清单02】平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根. 表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 【清单03】立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单04】无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 2. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【清单05】实数 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【题型一】求一个数的算术平方根 1．（23-24八年级上·重庆江北·期末）4的算术平方根是（    ） A． B．2 C．±2 D．± 2．（23-24七年级下·四川广安·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【题型二】利用算术平方根的非负性求解 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）若， 则的值为 ． 5．（24-25八年级上·山东滨州·期末）已知实数满足，则的值为 ． 6．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型三】求一个的平方根 8．（24-25八年级上·广东河源·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 10．（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【题型四】已知一个数的平方根，求这个数 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为和，则为 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【题型五】求一个数的立方根 13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）的立方根是（   ） A． B．3 C． D．9 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）下列说法正确的是（    ）． A．4的算术平方根是2 B．的平方根是 C．立方根等于它本身的数只有1 D．正数的平方根有两个，立方根也有两个 15．（23-24八年级上·江苏·期末）若，则 ． 【题型六】平方根与立方根综合 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是2，求的平方根． 17．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 18．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是的整数部分 (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【题型七】无理数大小的估算 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 20．（24-25八年级上·山西临汾·期末）设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【题型八】实数的性质 22．（24-25八年级上·吉林长春·期末）的绝对值是（   ） A． B． C． D．13 23．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·山东泰安·月考）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【题型九】实数与数轴化简问题 25．（24-25八年级上·吉林长春·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简 ． 【题型十】利用数轴表示实数 28．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（   ） A． B．2 C． D． 29．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，数轴上方的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D均在格点上，点A对应的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M、N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 31．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P（开始滚动时与点O重合）由原点到达点A，则点A表示的实数是_______； (2)如图②，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，，以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是_______； (3)在图③中，利用尺规作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【题型十一】比较实数的大小 32．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在，，，0四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．0 33．（2024·山东德州·中考真题）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 34．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）比较大小： 填“”“”或“” 35．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小： （填入>、或）． 【题型一】求一个带根号的算术平方根/平方根 1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）的立方根为 ．的平方根是 ． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 3（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ． 【题型二】利用平方根/立方根解方程 1．（24-25八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 3．（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【题型三】无理数的识别 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）在1.414，，，，2.1010010001（相邻两个1中间0的个数逐次加1），1.21，中，无理数个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级上·河南周口·月考）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【题型一】无理数整数部分的有关计算 解题方法：确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值是 ． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·月考）若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值 ． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数 ． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【题型二】实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 3．（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算： 【题型三】与算术平方根/立方根有关的规律探索问题 1）被开方数a的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动两位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 2）被开方数a的小数点移动与它的立方根的小数点移动存在如下规律: 被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么算术平方根的小数点相应的向左或右移动一位. 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 3．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $