提分小卷限时练01（湖南省卷解答ABC三组，综合训练）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（6分）计算： 18．（6分）先化简，再求值：，其中m满足． 19．（8分）如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 20．（8分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 21．（10分）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 22．（10分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小晗同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度，（参考数据：，，．） 23．（12分）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 24．（12分）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴； (3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 20．（8分）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求两种书架的单价； (2)设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 21．（10分）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 22．（10分）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 23．（12分）我们规定，三角形的三条高所在直线交于一点，则称此点叫做三角形的垂心．由垂心和非直角三角形的任意两个顶点顺次连接形成的三角形叫原三角形的垂心三角形．例：如图1，若点F为的垂心，则为的垂心三角形． (1)请判断正误（正确的打“√”，错误的打“”） ①在三角形中，若两条高交于一点，则此点为三角形的垂心______． ②任意非直角三角形有且只有三个垂心三角形______． (2)如图2，若在的垂心中，，，求的值． (3)如图3，若锐角内接于，连接． ①证明：在垂心中，； ②已知，，求的面积（用含a，b的式子表示）． 24．（12分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________； (2)如图2，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式； (3)如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（8分）“湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． (1)类足球和类足球的单价分别为多少元? (2)若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 21．（10分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 22．（10分）材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 23．（12分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    24．（12分）我们不妨约定．如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧． (1)判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“”；若不是，打“”） ①（   ） ②（   ） ③（ ） (2)已知关于x的二次函数为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．求b的值． (3)已知关于x的二次函数为“完美二次函数”且关于x的一次函数随x的增大而减小． ①求t的取值范围； ②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线与坐标轴围成的三角形的面积为S．求S的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 19．（8分）如图，分别以的边和边向外作等边三角形，，连接和． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及勾股定理的逆定理， （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理判定，即可得出结果． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， 又， ． 20．（8分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元 (2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． （2）解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 21．（10分）某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： (1)本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）； (2)若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？ (3)学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)，，D (2) (3)见详解， 【分析】本题考查统计图，求样本容量、中位数、概率，用样本估计总体，找到频数直方图和扇形图之间的联系是解题的关键． （1）根据频数直方图和扇形图中的C组信息和找中位数的方法，即可求解； （2）先求出样本中成绩在8分及以上为优秀所占比，用样本估计总体即可求解； （3）先画树状图，再利用概率的公式即可求解． 【详解】（1）解：根据统计图可得， 总人数为（名）， B组人数为（名）， 所抽取学生成绩的中位数是第和的平均数，A，B，C组共有名，D组有名， 所抽取学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：，，D； （2）成绩在8分及以上为优秀， 成绩优秀所占百分比为， （人）， 则该校成绩优秀的八年级学生估计有人； （3）树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生共有8种等可能的结果， ， 则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 22．（10分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小晗同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度，（参考数据：，，．） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 23．（12分）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形． (1)若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”） ①四边形一定是平行四边形；（    ） ②四边形可能是正方形；（    ） ③四边形的四条边的数量关系为．（    ） (2)如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：； (3)如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出，即可证明．再根据平行四边形、正方形的性质判断①②③即可． （2）连接，如图，根据圆周角定理得出，再根据四边形为圆正直四边形，得出，判断出，证明，即可得，即可证明． （3）证明，得出，再证明，得出，根据三角形内角和定理得出，即，，勾股定理证出，根据四点共圆得出，证明，得出，结合，设，则，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，在中，根据，表示出，勾股定理表示出，根据列出方程即可得出关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果． 【详解】（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则， ， ． 故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形； ①四边形一定是平行四边形；（×） ②四边形可能是正方形；（√） ③四边形的四条边的数量关系为．（√） （2）证明：连接，如图， ∵是的直径， ， ∵四边形为圆正直四边形， ， ， ， ， ∴． （3）解：∵， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， ， 又 ∵， ∴，即， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， 又 ∵， 设，则， ， ∴在中，， ， 则利用勾股定理可得， 在中，， ， 则利用勾股定理可得， ∵， ∴， 即有， ∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为， 即的最小值为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合，主要考查了新定义圆正直四边形的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，二次函数的最值，四点共圆的性质等知识点，多次证明相似三角形是解答本题的关键． 24．（12分）抛物线与x轴交于点A，点A在B的左侧，与y轴交于点，点P为该抛物线在第三象限内的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作轴，交于点N，直线交y轴于点M，连接，求证：轴； (3)如图2，直线l为该抛物线的对称轴，于点H，直线，分别交直线l于点F，在点P运动的过程中，当恒成立时，求k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数点的坐标特征、二次函数的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将B、C两点代入求解即可； （2）求出直线解析式可得N点坐标，求出直线解析式可得M点坐标，进而即可得证； （3）由题易得，，再表示出和，然后根据建立等式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：设， 在中， 当时，， 解得，， ， ， 直线的解析式为， 轴，交于点N， ， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 轴； （3）解：， 对称轴l为直线， 直线的解析式为， ， 在第三象限内，且， ，直线的解析式为， ， 当时，如图2， ， ， ， 恒成立， 恒成立， 的值为4； 当时，如图3， ， ， ， 恒成立， 恒成立， 的值为4； 综上所述，k的值为 （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式，特殊角的三角函数，零次幂的计算，掌握其运算法则是关键． 先化简二次根式，特殊角的三角函数值，零次幂的结果，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的解法，及理解在数轴上表示不等式的解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示，如图， ． 19．（8分）如图，中，分别以，为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于，两点，过，作直线交于点，连接．点是的中点，连接并延长至点，使，连接，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由尺规作图可知是的垂直平分线，根据点是的中点，可得是的中位线，根据三角形中位线定理可证，，又因为，可证，从而可证四边形是平行四边形，又因为，可证结论成立； （2）四边形是菱形，，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形的中位线定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，利用的正切求出的长度，根据菱形的四条边都相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、三角形中位线定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形中位线定理找到边、角之间的关系． 20．（8分）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高100元； 素材二：购买3个种书架和2个种书架共需要2300元： 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的． 【问题解决】 (1)求两种书架的单价； (2)设购买个种书架，购买书架的总费用为元，试求出总费用最少时的购买方案． 【答案】(1)A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 (2)总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a个A种书架，则购买个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元， 依题意，得 解得 ∴A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元 （2）解：设购买a个A种书架，则购买个B种书架， ∵A种书架的数量不少于B种书架数量的， ∴ 解得 依题意，购买书架的总费用为元， ∴ ∵ ∴w随a的增大而增大 当时，w取得最小值， 此时， 答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个． 21．（10分）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 22．（10分）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，用三角函数解即可； （2）过点H作交的延长线于点N，交于点M，得矩形，利用三角函数解，，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 在中， ，， ， 即机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离为； （2）解：如图，过点H作交的延长线于点N，交于点M，   ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ， 即点A到水平面的距离为． 23．（12分）我们规定，三角形的三条高所在直线交于一点，则称此点叫做三角形的垂心．由垂心和非直角三角形的任意两个顶点顺次连接形成的三角形叫原三角形的垂心三角形．例：如图1，若点F为的垂心，则为的垂心三角形． (1)请判断正误（正确的打“√”，错误的打“”） ①在三角形中，若两条高交于一点，则此点为三角形的垂心______． ②任意非直角三角形有且只有三个垂心三角形______． (2)如图2，若在的垂心中，，，求的值． (3)如图3，若锐角内接于，连接． ①证明：在垂心中，； ②已知，，求的面积（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)①√，②√ (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）①根据三角形的三条高所在直线交于一点，即可作判断； ②根据垂心三角形即可作判断； （2）设，则，，证明，可得，根据，设，，由，得，证明，由等腰三角形三线合一的性质和勾股定理即可解答； （3）①如图3，作直径，连接，先证明，再由等式的性质可得结论； ②如图4，作直径，连接，，先证明四边形是平行四边形，得，最后由勾股定理和圆的面积即可解答． 【详解】（1）解：①在三角形中，若两条高交于一点，则此点为三角形的垂心，正确； ②如图1，任意非直角三角形有三个垂心三角形，分别是，，，原说法正确； 故答案为：√，√； （2）解：设，则，， 如图2，，， ， ， ， ， ，是的高， ， ， 设，则， ， ， ，，， ， ，， ， ， 是高， ，平分， ，， ， 由勾股定理得：， ． （3）①证明：如图3，作直径，连接， ， ， ，， ， ， 即． ②解：如图4，作直径，连接，， ， ，是高， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 由勾股定理得：， 半径， 的面积． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，三角形的高，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线是解题的关键． 24．（12分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________； (2)如图2，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式； (3)如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)焦点坐标为，准线的方程为 (2)或 (3) 【分析】（1）根据中，， 得， 得焦点坐标为，准线的方程； （2）设过点的直线解析式为，，联立，得，则，设直线与x轴的交点为M，得，得，根据已知得，即，解得，即得或； （3）过点P作交于点E，作交于点G，设直线m交x轴于点H，可知，，当F，P，E三点共线时，，的值最小； 由求出，得，，证明，得，结合，得，即得的最小值为． 【详解】（1）解：∵的焦点为，准线方程为， 而中，， ∴， ∴的焦点坐标为，准线的方程； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，的焦点坐标为， 设过点的直线解析式为，， 联立， ∴， ∴， ∴， 设直线与x轴的交点为M， 令， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴或 （3）解：过点P作交于点E，作交于点G，设直线m交x轴于点H， 由（1）结论可知，，如图． 若使得取最小值，即的值最小， 故当F，P，E三点共线时，，即此刻的值最小； 中，令，则；令，则，解得． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义——抛物线的焦点与准线．熟练掌握焦点与准线性质，二次函数的图象与性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系，三角形面积公式，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】根据完全平方公式展开，多项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．（8分）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证； （2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵是的切线， ∴， ∵，D为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴结合（1）可得：，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径为． 20．（8分）“湘超”联赛(湖南省足球超级联赛)的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购，两类足球作为比赛奖品．已知采购信息如下：购买个类足球与个类足球，花费元；购买个类足球与个类足球，花费元． (1)类足球和类足球的单价分别为多少元? (2)若学校计划采购，两类足球的总数量为个，并要求同时满足以下两个条件：采购类足球的数量不超过个；采购、两类足球的总费用不超过元．问：学校共有哪几种可行的购买方案? 【答案】(1)类足球的单价为元，类足球的单价为元； (2)方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球．方案：个类足球，个类足球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程组，不等式是解题关键． 设，两类足球的单价分别为元、元，根据两种购买方案需要的钱数列方程组求解即可； 设采购类足球个，则采购类足球个，根据购买足球的费用不超过元，列不等式求出的取值范围，再根据购买类足球的数量不超过个确定购买方案． 【详解】（1）解：设、两类足球的单价分别为元、元， 根据题意得：， 解得：， 答：类足球的单价为元，类足球的单价为元； （2）解：设采购类足球个，则采购类足球个， 根据题意可得：， 解得：， 且取正整数， 或或， 答：共有三种购买方案： 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球， 方案：个类足球，个类足球． 21．（10分）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93；88.5；30 (2)九年级，理由见解析 (3)845 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可; （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；88.5；30． （2）解：九年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有900名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有845人． 22．（10分）材料题： 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，） 解决 问题 （1）求坡面的坡比． （2）如图3，当时，求长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了坡度的计算以及三角函数： （1）根据坡度的定义，直接计算； （2）作于点，利用三角函数关系求出． 【详解】解：（1），，， ． 故坡面的坡比为． （2）作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， 则． 23．（12分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接．    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 24．（12分）我们不妨约定．如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧． (1)判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“”；若不是，打“”） ①（   ） ②（   ） ③（ ） (2)已知关于x的二次函数为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．求b的值． (3)已知关于x的二次函数为“完美二次函数”且关于x的一次函数随x的增大而减小． ①求t的取值范围； ②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线与坐标轴围成的三角形的面积为S．求S的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)①；② 【分析】（1）分别把代入函数解析式，求出其与x轴的交点坐标，然后进行判断即可； （2）先求出点C的坐标为，得出，设点的坐标为，点B的坐标为，得出，，，，根据，得出，将，代入得出答案即可； （3）①根据二次函数是关于x的“完美二次函数”，得出，求出，根据关于x的一次函数随x的增大而减小，求出，即可得出答案； ②根据，得出，，得出抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，抛物线的顶点在第三象限，过点M作轴于点F，求出，，，，证明，得出，求出，根据三角形面积公式得出，根据t的取值范围，求出结果即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴该二次函数不是“完美二次函数”； ②把代入得：， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，，即抛物线与x轴有两个交点，且两个交点一个在原点左侧，一个在原点右侧， ∴该二次函数是“完美二次函数”； ③把代入得：， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，，即抛物线与x轴有两个交点，且两个交点一个在原点左侧，一个在原点右侧， ∴该二次函数是“完美二次函数”； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵关于x的二次函数为“完美二次函数”，且， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴， 设点的坐标为，点B的坐标为， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵二次函数是关于x的“完美二次函数”， ∴， ∴或， 解不等式组得：， 不等式组无解， ∴的解集为：， ∵关于x的一次函数随x的增大而减小， ∴， 解得：， 综上分析可知：； ②∵， ∴，， ∴抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， 根据顶点坐标公式可得：点M的坐标为： ∵， ∴抛物线的顶点在第三象限， ∴直线与轴的交点在x轴的正半轴上，如图所示： 过点M作轴于点F， 则，， 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $