6.1平面向量的概念（分层作业，4大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.1 平面向量的概念 知识点一 平面向量的概念辨析 1．下列物理量中，不能称为向量的是( ) A.速度 B.质量 C.位移 D.力 答案：B 解析：由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：B 2．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 答案：D 解析：由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确. 故选：D 3．下面命题中,正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 答案：C 解析：对于A,若,但两向量方向不确定,则不成立,故选项A错误; 对于B,向量无法比较大小,故选项B错误; 对于C,若,则两向量反向,因此,故选项C正确; 对于D,若,则,故选项D错误. 故选:C 4．如果一架飞机向西飞行,再向南飞行,记飞机飞行的路程为s,位移为,则( ). A. B. C. D.s与不能比较大小 答案：A 解析：由题意,作图如下： 则该飞机由A先飞到B,再飞到C,则,,, 则飞机飞行的路程为,,所以. 故选：A. 5．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.力是既有大小，又有方向的量，所以是向量 B.若向量，则 C.在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 答案：AD 解析：对于A中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正确； 对于B中，向量，则或与共线，所以B错误； 对于C中，在四边形中，若向量、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C错误； 对于D中，根据相等的向量的概念知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，所以D正确. 故选：AD. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A.向量必须用有向线段来表示 B.表示一个向量的有向线段不是唯一的 C.有向线段和是同一向量 D.有向线段和的长度相等 答案：BD 解析：向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B正确；有向线段和的方向相反，长度相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.故选BD. 知识点二 两种特殊向量 1．下列结论中,正确的是( ) A.零向量的大小为0,没有方向 B.起点相同的单位向量,终点必相同 C. D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 答案：C 解析：对A,既有大小又有方向的量叫向量,则零向量既有大小又有方向,故A错误; 对B,起点相同的单位向量,终点不一定相同,故B错误; 对C,由于与方向相反,长度相等,故C正确; 对D,若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等或相反,故D错误. 故选:C. 2．下列向量的概念错误的是( ) A.长度为0的向量是零向量,零向量的方向是任意的 B.零向量和任何向量都是共线向量 C.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等 D.,,则 答案：D 解析：对于A,零向量的长度为0,且方向是任意的,故A正确, 对于B,规定零向量与任意向量共线,故B正确, 对于C,相等向量的模长和方向都相同,故相等向量一定是共线向量,但共线向量是方向相同或者相反的两个向量,模长不一定相等,故共线向量不一定相等,C正确, 对于D,当为零向量时,此时不一定能得到,故D错误, 故选:D 3．下列说法正确的是( ) A.单位向量均相等 B.单位向量 C.零向量与任意向量平行 D.若向量,满足,则 答案：C 解析：对于A:单位向量的模相等,但是方向不一定相同.故A错误; 对于B:单位向量.故B错误; 对于C:零向量与任意向量平行.正确; 对于D:若向量,满足,但是,的方向可以是任意的. 故选:C. 4．下列结论中正确的为( ) A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量与向量的长度相等 C.对任意向量,是一个单位向量 D.零向量没有方向 答案：B 解析：对于A选项,两个单位向量的模相等,但这两个单位向量的方向不确定,故A错; 对于B选项,向量与向量的模相等,B对; 对于C选项,若,则无意义,C错; 对于D选项,零向量的方向任意,D错. 故选：B. 5．(多选)下列命题正确的是( ) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线 D.若,,则 答案：BCD 解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误; B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确; C.因为,都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即与反向共线时才成立,故C正确; D.由向量相等的定义知D正确; 故选：BCD. 知识点三 向量间的关系 1．下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若 , ,则 C.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D.单位向量都相等 答案：C 解析：对于A,若,只能说明两个向量的模长相等,但是方向不确定,所以A错误； 对于B,如果,结论B不正确； 对于C,根据平行向量的定义,C正确； 对于D,单位向量长度相等,但是方向不确定,所以D错误； 故选：C. 2．下列说法正确的是( ) A.若,则 B.零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案：B 解析：A：仅表示与的大小相等,但是方向不确定, 故未必成立,所以A错误； B：根据零向量的定义可判断B正确； C：长度相等的向量方向不一定相同,故C错误； D：共线向量不一定在同一条直线上,也可平行,故D错误. 故选：B. 3．（多选）下列说法正确的是( ) A.若两个非零向量，共线，则A，B，C，D必在同一直线上 B.若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反 C.若A,B,C,D是平面内不共线的四点,且,则四边形是平行四边形 D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 答案：CD 解析：对选项A，若两个非零向量，共线，则与平行或在一条直线上，故A错误. 对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误. 对选项C，A,B,C,D是不共线的点,,即模相等且方向相同,即四边形对边平行且相等,反之也成立,故C正确． 对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确. 故选：CD 4．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    （1）与模长相等的向量有多少个？ （2）写出与相等的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请列出与相等的向量． 答案：（1）有9个；（2），；（3），，，，，，；（4） 解析：（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 5．如图所示，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ （2）试写出模为的所有向量. （3）试写出与相等的所有向量. 答案：（1）8个 （2），，，，，，， （3），和 解析：（1）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，，，，，，， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. （2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，. （3）与相等的向量（除它自身之外）有，和. 知识点四 平面向量的几何应用 1．如图,设O是对角线的交点,则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等,方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量. 答案：(1)三个 (2), (3),, 解析：(1)在平行四边形中,O为对角线的交点,所以,且,所以与的模相等的向量有,,三个向量. (2)与的模相等且方向相反的向量为,. (3)与共线的向量有,,. 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形． 答案：答案见解析 解析：因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形．即证. 3．已知D，E，F分别为各边AB，BC，CA的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量. 答案：；； 解析：，E，F分别是各边的中点， ，，，，，， ；；. 4．如图,在矩形中,,B,E分别为边AC,DF的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与,相反的向量； (2)分别找出与,相等的向量. 答案：(1)与相反的向量有,,；与相反的向量有, (2)相等的向量为,,相等的向量为 解析：(1)方向相反,大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有,,；与相反的向量有,. (2)方向相同,大小相等的向量是相等向量. 则,与方向相同,且长度相等,故与相等的向量为,. 同理,与相等的向量为. 5．在如图的方格纸中，画出下列向量． （1），点在点的正西方向； （2），点在点的北偏西方向； （3）求出的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）3 【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下： （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下： （3）. 1．设，为非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：，表示，方向上的单位向量.若，则与同向， 所以，即；若，当与同向时，； 当与反向时，，即. 故选：A. 2．已知四边形，下列说法正确的是( ) A.若，则四边形为平行四边形 B.若，则四边形为矩形 C.若，且，则四边形为矩形 D.若，且，则四边形为梯形 答案：A 解析：由向量的意义可知A正确. B选项，如图可知B错误. C选项，可以是等腰梯形，故错误. D选项，可以是平行四边形，故错误. 3．(多选)下列关于平面向量的说法错误的是( ) A.若,是共线的单位向量,则 B.若,则 C.若,则不是共线向量 D.若,,则 答案：CD 解析：对于A,,是共线的单位向量,则,故A正确; 对于B,若,则,故B正确; 对于C,若,满足,但,是共线向量,故C错误; 对于D,若,,,则不一定成立,故D错误. 故选：CD. 4．如图，某人从A点出发，向西走了后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了到达D点，发现D点在B点的正北方.以A为原点建立平面直角坐标系，图中1个单位长度表示. （1）作出向量，，； （2）求向量的模. 答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）根据题意可知，B点的坐标为， 过点B作x轴的垂线，因为D点在B点的正北方， 所以D在过点B的x轴的垂线上，所以， 又，所以， 故D，C两点在坐标系中的坐标分别为，， 由此可作出向量，，，如图所示. （2）如图，作出向量，由题意可知，且， 所以四边形ABCD是平行四边形，则. 5．如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 答案：见解析 解析：画出所有的向量，如图： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 平面向量的概念 知识点一 平面向量的概念辨析 1．下列物理量中，不能称为向量的是( ) A.速度 B.质量 C.位移 D.力 2．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 3．下面命题中,正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 4．如果一架飞机向西飞行,再向南飞行,记飞机飞行的路程为s,位移为,则( ). A. B. C. D.s与不能比较大小 5．（多选）下列命题中正确的是（ ） A.力是既有大小，又有方向的量，所以是向量 B.若向量，则 C.在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A.向量必须用有向线段来表示 B.表示一个向量的有向线段不是唯一的 C.有向线段和是同一向量 D.有向线段和的长度相等 知识点二 两种特殊向量 1．下列结论中,正确的是( ) A.零向量的大小为0,没有方向 B.起点相同的单位向量,终点必相同 C. D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 2．下列向量的概念错误的是( ) A.长度为0的向量是零向量,零向量的方向是任意的 B.零向量和任何向量都是共线向量 C.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等 D.,,则 3．下列说法正确的是( ) A.单位向量均相等 B.单位向量 C.零向量与任意向量平行 D.若向量,满足,则 4．下列结论中正确的为( ) A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量与向量的长度相等 C.对任意向量,是一个单位向量 D.零向量没有方向 5．(多选)下列命题正确的是( ) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线 D.若,,则 知识点三 向量间的关系 1．下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若 , ,则 C.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D.单位向量都相等 2．下列说法正确的是( ) A.若,则 B.零向量的长度是0 C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是在同一条直线上的向量 3．（多选）下列说法正确的是( ) A.若两个非零向量，共线，则A，B，C，D必在同一直线上 B.若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反 C.若A,B,C,D是平面内不共线的四点,且,则四边形是平行四边形 D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 4．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    （1）与模长相等的向量有多少个？ （2）写出与相等的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请列出与相等的向量． 5．如图所示，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ （2）试写出模为的所有向量. （3）试写出与相等的所有向量. 知识点四 平面向量的几何应用 1．如图,设O是对角线的交点,则 (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的模相等,方向相反的向量有哪些？ (3)写出与共线的向量. 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．已知D，E，F分别为各边AB，BC，CA的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量. 4．如图,在矩形中,,B,E分别为边AC,DF的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与,相反的向量； (2)分别找出与,相等的向量. 5．在如图的方格纸中，画出下列向量． （1），点在点的正西方向； （2），点在点的北偏西方向； （3）求出的值． 1．设，为非零向量，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知四边形，下列说法正确的是( ) A.若，则四边形为平行四边形 B.若，则四边形为矩形 C.若，且，则四边形为矩形 D.若，且，则四边形为梯形 3．(多选)下列关于平面向量的说法错误的是( ) A.若,是共线的单位向量,则 B.若,则 C.若,则不是共线向量 D.若,,则 4．如图，某人从A点出发，向西走了后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了到达D点，发现D点在B点的正北方.以A为原点建立平面直角坐标系，图中1个单位长度表示. （1）作出向量，，； （2）求向量的模. 5．如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $