3.4.1　圆周角和圆心角的关系 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦圆周角与圆心角的关系，系统呈现圆周角的定义、“同弧所对圆周角等于圆心角一半”的定理及“同弧或等弧所对圆周角相等”的推论。课堂导入通过对比圆心角与圆周角的顶点位置及两边与圆的关系，从学生已学的圆心角知识出发，引导发现新角的特征，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导探究，通过动手画同弧所对圆心角与圆周角、分类讨论圆心与圆周角的三种位置关系，培养几何直观与空间观念。以数学思维深化理解，分情况证明定理时将复杂问题转化为已证简单情况，发展推理能力。以数学语言强化应用，结合射门游戏实例引出推论，通过典例精讲和多样化随堂练习（如电影院座位设计、航船触礁问题），渗透模型意识与应用意识。学生能在探究中提升逻辑推理与问题解决能力，教师可依托结构化流程与丰富实例优化教学效果。

第三章 圆 3.4.1 圆周角和圆心角的关系 北师版 九年级 数学（下） 导入 A B D E C 图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么不同？它的两边与圆有什么位置关系？ 答：∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心； ∠ABC的两边与圆相交． 探究新知 探究 顶点在圆心 圆心角 角顶点发生变化时,我们得到几种情况? 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 圆周角 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角. 探究新知 A B O C 圆心角： ∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 圆周角： ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 探究新知 探究 画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画. A B O 探究新知 这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系? C 圆心O在∠C一条边上 C 圆心O在∠C的内部 C 圆心O在∠C的外部 探究新知 思考 问题1：你所画的圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？ 问题2：通过上述问题，你有何猜想？ 圆周角是圆心角度数的一半； 同弧所对圆周角度数是圆心角度数的一半． 探究新知 已知：如图，已知∠C是 所对的圆周角，∠AOB是 所对的圆心角．求证：∠C＝ ∠AOB. A B C O 证明：圆心O在∠C的一条边上，如图． ∵∠AOB是△AOC的外角， ∴∠AOB＝∠A＋∠C. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C. ∴∠AOB＝2∠C，即∠C＝ ∠AOB. 探究新知 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 归纳总结 C C 探究新知 你能完成另两种情况的证明吗？ C 提示：能否转化为前一种已证明的情况? D 过点C作直径CD.由已证可得: 已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角. 求证： 探究新知 C 提示：能否也转化为第一种已证明的情况? D 过点C作直径CD.由已证可得: 已知：如图，∠C 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角. 求证： 探究新知 探究新知 探究 在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ ● O 所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC . 根据圆周角定理， 连接AO，CO， 【归纳】推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． ● O 探究新知 典例精讲 例1 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，求∠OBC的度数． 分析： 由OB＝OC，可知∠OBC＝∠OCB，要求∠OBC的度数，可先求出∠BOC的度数，然后利用三角形的内角和定理求解．注意到∠BOC和∠A所对的弧都是 ，可知∠BOC＝2∠A＝80°. 解：∵∠BOC和∠A所对的弧都是 ， ∴∠BOC＝2∠A＝80°. 又∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝ ＝50°. 典例精讲 例2 如图，在⊙O中，A，B，C，D为圆上四个不同点，∠ABD＝20°， ，分别延长BA，CD相交于点P，求∠BPC的度数． 分析： 要求∠BPC的度数，因为∠ABD已知，故只需求出∠BDC的度数，然后利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，便可求出∠BPC.而由圆周角定理的推论可知∠BDC＝∠BAC，再由 可求得∠BAC，进而可求∠BPC. 典例精讲 解：∵ ，∴AB＝BC＝CA， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BDC＝∠BAC＝60°. 又∵∠BDC＝∠BPC＋∠ABD，且∠ABD＝20°， ∴∠BPC＝∠BDC－∠ABD＝60°－20°＝40°. 典例精讲 课堂小结 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角 随堂练习 1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为(　　) A．20° B．40° C．50° D．80° D 2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝____°. 120 随堂练习 3. 如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数. ∴∠A= . 解：∵∠A和∠O所对的弧都是 ， 随堂练习 4. 如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？ 解：∠BDC=∠BAC，还能找到∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC. 随堂练习 5.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ 解：∠ACB=2∠ABC.理由如下： 随堂练习 6.如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数. 解：如图所示，∵∠C=100° ∴ 所对的圆心角α=2∠C=200°. ∴∠BOD=360°-200°=160°. 又∵ ， ∴ 随堂练习 7.为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性. 解：尽量保证同排的人视角相同 随堂练习 8.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”．当船Р位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大小关系? 解：当船P位于安全区域时，船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”. 随堂练习 ＝＝ ＝＝ ＝＝ $