3.4.2　圆周角和圆心角的关系 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件是北师版九年级下册第三章“圆”3.4.2节内容，核心知识点为圆周角定理推论（直径对直角、90°圆周角对直径）及圆内接四边形对角互补。通过小明设计的直径测量器问题导入，引导学生从具体情境抽象出几何关系，逐步探究证明推论，形成“情境—猜想—证明—归纳”的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光中的几何直观，通过严谨证明发展数学思维中的推理能力，用规范几何语句强化数学语言中的模型意识。如导入问题激发探究欲，典例与分层练习巩固应用，课堂小结系统梳理知识。助力学生逻辑推理与问题解决能力提升，方便教师实施连贯教学。

第三章 圆 3.4.2 圆周角和圆心角的关系 北师版 九年级 数学（下） 导入 如图，小明同学设计了一个直径测量器，两把标有刻度的尺子在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，两把尺子分别交圆于E，F两点，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，于是她算出了圆的直径为10 cm，你知道她是怎么算的吗？ 连接EF， 因为∠FOE是90°， 在Rt△EOF中， 利用勾股定理可以得出EF＝10 cm 小明的算法表明EF就是直径，那么问题来了：为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径？那么直径所对的圆周角又是多少度呢？ 思考 导入 探究新知 探究 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ · O A B C 解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 【归纳】直径所对的圆周角是直角． 证明：∵BC为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴根据圆周角定理，∠A= ∠BOC=90° 反过来，如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ · O A B C 解：弦BC是直径. 连接OC、OB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BOC ＝ 2∠BAC ＝ 180°. ∴B、O、C三点在同一直线上. ∴BC是⊙O的一条直径. 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. 【归纳】 90°的圆周角所对的弦是直径． 探究新知 推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. ∵BC为直径， ∴∠BAC = 90°. 几何语句： ∵∠BAC = 90°， ∴ BC为直径 . 几何语句： 归纳总结 6 探究 （1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ · O D B C A 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 探究新知 （2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ · O D B C A 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立 连接OB，OD， 则 ∵∠1+∠2=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 1 2 探究新知 8 思考 · O D B C A · O D B C A 这两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 探究新知 · O D B C A · O D B C A 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 探究新知 · O D B C A · O D B C A 我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 探究新知 · O D B C A · O D B C A 推论 圆内接四边形的对角互补. 归纳 · O D B C A · O D B C A 几何语句： ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD =180°（圆内接四边形的对角互补）. 归纳 探究 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？ · O D B C A E 解：∠A =∠CDE ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD = 180°. ∵∠BCD+∠DCE = 180°， ∴∠A =∠DCE. 【归纳】圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 探究新知 14 典例精讲 例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则∠BCD等于(　　) A．140° B．110° C．70° D．20° B 【分析】 由圆周角定理可求得∠A＝ ∠BOD＝70°，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠C＝180°－∠A＝110°. 例2 圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，求四边形各内角的度数． 【分析】 可由圆内接四边形对角互补列方程求角的度数，由∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，可设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，再由∠A与∠C是圆内接四边形的对角，得∠A＋∠C＝180°，于是求出x，进而求出四边形各内角的度数． 典例精讲 解：设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x， ∴∠A＋∠C＝8x＝180°，解得x＝22.5°， ∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°， 则∠D＝180°－∠B＝180°－67.5°＝112.5°， ∴四边形ABCD各内角的度数分别是∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝112.5°. 例2 圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比是2∶3∶6，求四边形各内角的度数． 典例精讲 课堂小结 圆周角定理 推论2 推论3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径 随堂练习 1. 如图，⊙O的直径AB =10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. · O B C A 解：∵AB为直径， ∴∠BCA = 90°. 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10， ∴ . 2. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？ （1） （2） （3） （4） 随堂练习 3. 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C的度数. · O D B C A 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C = 180°. ∵∠A∶∠C = 4∶5， ∴ . 即∠C的度数为100°. 随堂练习 4.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数. 解：在⊙O中，∵∠BOD=80°， ∴ （圆周角定理）. 又∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°. 随堂练习 5.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数. 解：如图所示，连接BD. ∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15° ∴∠ABD=15°. 又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中， ∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°. 随堂练习 6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数. 解：如图所示，∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC=∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A， ∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC =360°-180°=180° ∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°， ∴2∠A+∠E+∠F=180°. 又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°. 随堂练习 7.如图，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，且点O2在⊙O1上.点C是 上的一点（点C不与A，B重合)，AC的延长线交⊙O2于点P，连接 AB，BC，BP. (1)根据题意将图形补充完整; (2）当点C在 上运动时， 图中大小不变的角有哪些? （将符合要求的角都写出来） 解:(1)由题意可画图. (2)大小不变的角有∠APB, ∠ ACB, ∠ BCP, ∠ CBP共四个. 随堂练习 $