导数与函数单调性期末复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义以导数与函数单调性的内在逻辑为核心构建知识体系，通过层级框架图梳理导数与单调性关系、含参函数单调性判定等四大模块，突出充要条件辨析、分类讨论步骤等重难点，清晰呈现知识内在联系。 复习讲义亮点在于分层典例设计，涵盖导函数图象分析、含参单调性讨论等题型，如构造函数解决不等式问题培养数学思维与模型观念。基础题巩固步骤，综合题提升推理能力，助力不同层次学生进阶，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

导数与函数单调性 一．重点知识点梳理 1.导数与函数单调性的关系 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上单调递增，如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上单调递减，所以利用导数求函数单调区间的一般步骤如下： （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求f ′(x)，化简并因式分解； （3）求出f ′(x)＞0(＜0)对应的解集； （4）下结论，写出函数的单调区间； 注：①求单调区间结论一定叙述为f(x)单调区间为… 讨论单调性可叙述为f(x)在某区间增(减)。 ②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用∪。 ③单调区间书写时用小括号，端点值不取。 ④f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件。 ⑤若f′(x)＝0不恒成立，则f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件。 2.求含参函数单调性的步骤： （1）求出函数f(x)的定义域。 （2）求f ′(x)，化简并因式分解。 （3）令f ′(x)=0；（方程在定义域中是否有解需要讨论）。 （4）下结论，直接写出函数的单调区间。 3.由函数的单调性求参数的取值范围 (1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围。 方法一：将问题转化为不等式f '(x)≥0(f '(x)≤0)在区间I上的恒成立问题。 方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解。 (2)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围。 (3)若已知f(x)在[a，b]上不单调，可转化为f ′(x)=0在区间[a，b]上有变号解。 4. 与导数四则运算有关的构造函数 （1）.两个基本还原 ① ② （2）.常见构造可导积和商函数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 二．典例分类分析 （一）导函数与函数单调性的关系 1.函数y=f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f '(x)，则不等式f '(x)≤0的解集为(　　) A.∪[2,3) B. C.∪[1,2] D. 2．的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ） A．   B．   C．   D．     3.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与f(3)的大小关系为(　　) A．f(0)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(0)＝f(3) D．无法确定 4．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C．D． （二）求无参函数单调区间 1.已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A．和(1，＋∞) B．(0，1)和(2，＋∞) C．和(2，＋∞) D．(1，2) 2．若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则的单调递增区间为________． 4．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 5．已知函数f(x)＝，求函数f(x)的单调递增区间； （三）求含参函数单调区间 1．已知，讨论的单调性； 2．设函数，求的单调区间． 3．已知函数.讨论函数的单调性； 4．已知函数．讨论的单调性； 5．已知函数.讨论的单调性； （四）已知函数单调性求参数范围 1．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0<a≤3 3．已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________． 6.已知函数，若函数f(x)存在单调递减区间，则a的取值范围是________． 7．若对，，且，都有，则m的最小值是________. 8.设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . （五）利用导数研究函数单调性解不等式与比较大小 1．已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) 2．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f ′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f ′(x)＞0，则(　　) A．ef(2 018)＞f(2 019) B．ef(2 019)＜f(2 020) C．e2f(2 018)<f(2 020) D．e2f(2 019)与f(2 021)的大小不能确定 4.已知函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，且对任意x∈R，f(x)+f'(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(　　) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0<x<1} 5.(多选)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为(　　) A. B.(-∞,-1) C. D. 6.定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x＜0时，f′(x)＜x恒成立，则不等式f(x)－f(1－x)≥x－的解集为(　　) A． B． C． D．(－∞，0) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与函数单调性 一．重点知识点梳理 1.导数与函数单调性的关系 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上单调递增，如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上单调递减，所以利用导数求函数单调区间的一般步骤如下： （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求f ′(x)，化简并因式分解； （3）求出f ′(x)＞0(＜0)对应的解集； （4）下结论，写出函数的单调区间； 注：①求单调区间结论一定叙述为f(x)单调区间为… 讨论单调性可叙述为f(x)在某区间增(减)。 ②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用∪。 ③单调区间书写时用小括号，端点值不取。 ④f ′(x)＞0(或f ′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件。 ⑤若f′(x)＝0不恒成立，则f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件。 2.求含参函数单调性的步骤： （1）求出函数f(x)的定义域。 （2）求f ′(x)，化简并因式分解。 （3）令f ′(x)=0；（方程在定义域中是否有解需要讨论）。 （4）下结论，直接写出函数的单调区间。 3.由函数的单调性求参数的取值范围 (1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围。 方法一：将问题转化为不等式f '(x)≥0(f '(x)≤0)在区间I上的恒成立问题。 方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解。 (2)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围。 (3)若已知f(x)在[a，b]上不单调，可转化为f ′(x)=0在区间[a，b]上有变号解。 4. 与导数四则运算有关的构造函数 （1）.两个基本还原 ① ② （2）.常见构造可导积和商函数 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 二．典例分类分析 （一）导函数与函数单调性的关系 1.函数y=f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f '(x)，则不等式f '(x)≤0的解集为(　　) A.∪[2,3) B. C.∪[1,2] D. 【答案】A 【详解】由题意f '(x)≤0的解集就是函数的单调递减区间， 根据图象可知f '(x)≤0的解集为∪[2,3)， 故选A. 2．的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，. 所以，函数的增区间为和，减区间为， 所以，函数的图象为C选项中的图象. 故选：C. 3.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与f(3)的大小关系为(　　) A．f(0)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(0)＝f(3) D．无法确定 【答案】：B 【详解】：由题意知f(x)的图象是以x＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B. 故选：B 4．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为， 所以时，，时，， 由，可得或，所以. 故选：D. （二）求无参函数单调区间 1.已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A．和(1，＋∞) B．(0，1)和(2，＋∞) C．和(2，＋∞) D．(1，2) 【答案】：C 【详解】：函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞). 故选：C 2．若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 令，解得， 所以的单调递增区间是， 故选：B 3．设函数，则的单调递增区间为________． 【详解】因为函数的定义域为R，而， 当时，或 所以函数在和上分别单调递增，故的单调递增区间是和。 4．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 【答案】：(－∞，－1)，(0，＋∞)　，[－1，0] 【详解】：∵f(x)＝x(ex－1)－x2， ∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0. 当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0. 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． 答案：(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0] 5．已知函数f(x)＝，求函数f(x)的单调递增区间； 【详解】：(1) f ′(x)＝＝(x>0且x≠1)． 令u(x)＝x－ln x－1，则u′(x)＝1－＝， ∴u(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴u(x)≥u(1)＝0， 即f ′(x)>0， ∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)． （三）求含参函数单调区间 1．已知，讨论的单调性； 【解析】 i）当时，恒成立，在上单调递增； ii）当时，令解得： 可得时，时， 所以在时单调递减，在时单调递增 综上所述：当时，在上单调递增 当时，在上单调递减，在上单调递增； 2．设函数，求的单调区间． 【详解】的定义域为，． 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．已知函数.讨论函数的单调性； 【详解】 若时，，在上单调递增； 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数， 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数. 综上，时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 4．已知函数．讨论的单调性； 【详解】函数的定义域为，. 当时，对任意的，，此时函数的减区间为； 当时，方程在时的解为， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 5．已知函数.讨论的单调性； 【详解】， 令，则x=a或ln2， 若，，所以函数在R上为增函数； 若，当或时，，当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 若，当或时，，当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 综上所述，当时，函数在R上为增函数； 当时，函数在和上递增，在上递减； 当时，函数在和上递增，在上递减； （四）已知函数单调性求参数范围 1．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为在上为单调递增函数，故在上恒成立， 所以即， 故选：A. 2．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0<a≤3 【答案】：A 【详解】：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x－，由f ′(x)＝x－<0，解得0<x<3.因为函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以解得1<a≤2， 故选：A. 3．已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在区间上为单调递增函数 则在区间上恒成立 即在区间上恒成立 设， 函数在上是减函数，则 所以． 故选：D． 4.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：对恒成立， 故，即恒成立， 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证， 解得．故选C． 5．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________． 答案：(0,1) 【详解】：∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x(x＞0)， ∴f′(x)＝－x－3＋， ∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调， ∴f′(x)＝－x－3＋＝0在(t，t＋1)上有解， ∴＝0在(t，t＋1)上有解， ∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)， ∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)． 6.已知函数，若函数f(x)存在单调递减区间，则a的取值范围是________． 答案：(-1，0)∪(0，+∞)。 【详解】：因为，x∈(0,+∞)，所以 由于f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0,+∞)时,有解，即有解. 设G(x)=，所以只要a>G(x)min即可。 又G(x)=，所以G(x)min=-1。 所以a>-1。 又因为a≠0，所以a的取值范围为(-1，0)∪(0，+∞)。 7．若对，，且，都有，则m的最小值是________. 【答案】1 【详解】∵，则 由题意可得：，即 ∴在上单调递减，则在上恒成立 即在上恒成立，则，即m的最小值是1 8.设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. （五）利用导数研究函数单调性解不等式与比较大小 1．已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) 【答案】：D 【详解】：f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e. ∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)，故选D. 故选：D 2．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选：A. 3.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f ′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f ′(x)＞0，则(　　) A．ef(2 018)＞f(2 019) B．ef(2 019)＜f(2 020) C．e2f(2 018)<f(2 020) D．e2f(2 019)与f(2 021)的大小不能确定 【答案】：A 【详解】：令g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 018)＞g(2 019)，即＞，所以ef(2 018)＞f(2 019)，故选项A正确，选项B错误，同理g(2 018)＞g(2 020)， ∴＞，∴e2f(2 018)＞f(2 020)，选项CD错误． 故选：A 4.已知函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，且对任意x∈R，f(x)+f'(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(　　) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0<x<1} 【答案】:A 【详解】:设g(x)=ex·f(x)-ex， 则g'(x)=ex·[f(x)+f'(x)-1]。 ∵对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1， ∴g'(x)>0在R上恒成立. ∴g(x)=ex·f(x)-ex在R上为增函数. 又f(0)=2,∴g(0)=1. 故g(x)=ex·f(x)-ex>1的解集为{x|x>0}, 即不等式ex·f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}. 故选：A 5.(多选)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为(　　) A. B.(-∞,-1) C. D. 【答案】BD. 【详解】：函数f(x)=ex-e-x+sin 2x，定义域为R， 且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数。 又f'(x)=ex+e-x+2cos 2x≥2+2cos 2x,当且仅当x=0时，等号成立。 当x=0时，2+2cos 2x≠0，∴f'(x)>0恒成立，∴f(x)为R上的增函数。 又f(2x2-1)+f(x)>0， 得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x)， ∴2x2-1>-x，即2x2+x-1>0， 解得x<-1或x>， ∴x的取值范围是(-∞，-1)∪。 故选：BD。 6.定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x＜0时，f′(x)＜x恒成立，则不等式f(x)－f(1－x)≥x－的解集为(　　) A． B． C． D．(－∞，0) 【答案】：A 【详解】：令g(x)＝f(x)－x2， 则g(x)＋g(－x)＝0⇒g(x)为奇函数，又x＜0时，g′(x)＝f′(x)－x＜0⇒g(x)在(－∞，0)上递减，则g(x)在(－∞，＋∞)上递减， 由f(x)－f(1－x)≥x－知f(x)－x2≥f(1－x)－(1－x)2， 即g(x)≥g(1－x)，从而x≤1－x⇒x≤，所以所求不等式的解集为。 故选：A ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $