湖北省孝感高级中学2025-2026学年高三上学期12月测试数学试卷

孝感高中2023级高三年级

数学试题

本卷满分150分   考试时间：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数z满足，则z的虚部是（    ）

A.  B. 1 C.  D. i

2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，且，则的最小值为（   ）

A. 2 B.  C. 4 D. 5

4. 已知函数的定义域为，，，且，则（     ）

A.

B.

C.

D.

5. 已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（   ）

A. 72 B. 84 C. 96 D. 108

7. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（    ）

A.  B. 4 C.  D. 6

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则是等差数列

B. 若，则是等比数列

C. 若是等差数列，则

D. 若是等比数列，且（为常数），则

10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ）

A. 若点O为△ABC的重心，则

B. 若点O为△ABC的外心，则

C. 若点O为△ABC的垂心，则

D. 若点O为△ABC的内心，且，则

11. 已知，圆，点为圆上一动点，以为直径的圆交轴于两点，设，则（    ）

A. 当点在轴上时， B. 的取值范围是

C.  D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知，则__________.

13. 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则______________．

14. 在正三棱锥中，，.点是线段上的点，且.点是棱上的动点，直线与平面所成角为，则的最大值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知等比数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，，求数列的通项公式．

16. 在中，内角的对边分别是，，．

（1）求角；

（2）若，求边上的角平分线长；

（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．

17. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点．

18. 如图，正四棱锥中，是棱的中点，是底面的中心．过作平面与棱分别交于不同的点（可以是端点）．