第01讲 二次根式及其性质（2个知识点+5个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第01讲 二次根式及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：5大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的定义】 定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. 剖析： （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 【知识点2 二次根式的基本性质】 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 【题型1 二次根式的定义】 【例1】下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 【变式1-2】下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 【变式1-3】下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 【题型2 二次根式有无意义条件】 【例2】若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴ 的取值范围是 ； 故答案为：． 【变式2-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，熟记分式及二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 要使式子在实数范围内有意义，需同时满足根号下被开方数非负和分母不为零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴，且， 即，且， ∴的取值范围是，且， 故选：C． 【变式2-2】当为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析平方根被开方数是否为非负数，根据平方根被开方数为非负数的才有意义即可解答． 【详解】A，，有意义，故不合题意； B，，无意义，故符合题意； C，，有意义，故不合题意； D，对于三次根式，当为任意实数时都有意义，故不合题意； 故选：B． 【变式2-3】使代数式有意义的整数x有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解并取解集中的整数即可． 【详解】解：由题意，得， 解不等式组得， 符合条件的整数有：、、共三个． 故选：C． 【题型3 根据二次根式的非负性求值】 【例3】若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，由此列出不等式组求解． 【详解】解：由题意， 和 均有意义， 则需满足： 解得 且 ， 所以 ． 故答案为：3． 【变式3-1】若，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据二次根式有意义的条件得到关于的不等式组求解，求得，再代入求得． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3-2】若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质、求算术平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性，结合二次根式有意义的条件求得x、y值，进而求得即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 将代入中，得， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【变式3-3】已知、为实数，，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根．根据二次根式的有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 即且， 所以， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【变式3-4】二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为__________； (2)若，为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)的值为2或8 (3) 【分析】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． （1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值为； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； （3）根据得出，然后化简得出，求出a的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， 且，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 答：的值为2或8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴方程可变为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【题型4 根据二次根式的性质进行化简】 【例4】化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 【变式4-1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据题意判断出，及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可． 【详解】解：结合数轴，得，， ，， 故答案为： 【变式4-2】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，整式的加减计算，先把原式变形为，再化简二次根式后，利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解；∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，由数轴可得，即得，再根据绝对值的性质化简即可求解，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 【题型5 复合二次根式的化简】 【例5】你见过像，这样的根式吗这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如： ． 用上述方法化简 ． 【答案】 【分析】仿照题目给出的方法即可求出答案． 【详解】解：． 故答案为． 【变式5-1】形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 【答案】/ 【详解】本题考查了二次根式的性质，根据题目给出的方法结合完全平方公式求解即可，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 解：原式 ， 故答案为：． 【变式5-2】阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简： ， ； （2）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】（1）；（2）的值为46或14 【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可； （2）由，可得，，则，再根据，，为正整数，可得，或，，由此求解即可． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：，； （2）∵， ，， ∴ 又∵，，为正整数， ，或，， ∴当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为46或14． 1．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 2．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质、取绝对值、整式的加减等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式简化两个根式，再根据二次根式化简，然后根据x的取值范围去绝对值，最后相加并合并同类项即可． 【详解】解：由完全平方公式，有： ， ， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 4．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的非负性得出，再根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 7．已知，求的平方根 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 8．已知，，的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故答案为：． 9．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 10．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简： 如：； 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简：； (2)若，且，，均为正整数，则的值为______． 【答案】(1) (2)6或9 【分析】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键． （1）将被开方数写成完全平方式，再化简； （2）变形已知等式得，建立，，的方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， 即：， ∴， ∵，，均为正整数， ∴或， ∴当时，； 当时，； 故答案为：6或9． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：5大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的定义】 定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号，a叫做被开方数. 剖析： （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数； （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有A=B. 【知识点2 二次根式的基本性质】 （1）；a≥0（双重非负性）. （2）；a≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）. （3）（算术平方根的意义）. 【题型1 二次根式的定义】 【例1】下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 二次根式有无意义条件】 【例2】若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式2-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D． 【变式2-2】当为任意实数时，下列各式中无意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】使代数式有意义的整数x有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型3 根据二次根式的非负性求值】 【例3】若，则 ． 【变式3-1】若，则值为 ． 【变式3-2】若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ． 【变式3-3】已知、为实数，，则的平方根为 ． 【变式3-4】二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为__________； (2)若，为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【题型4 根据二次根式的性质进行化简】 【例4】化简： ． 【变式4-1】实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【变式4-2】若，则 ． 【变式4-3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【变式4-4】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【题型5 复合二次根式的化简】 【例5】你见过像，这样的根式吗这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如： ． 用上述方法化简 ． 【变式5-1】形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 【变式5-2】阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【变式5-3】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简： ， ； （2）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 1．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．若，则 ． 4．已知，则的值为 ． 5．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 6．已知实数a，b，c满足，则的值为 ． 7．已知，求的平方根 ． 8．已知，，的平方根是 ． 9．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 10．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简： 如：； 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)请你尝试化简：； (2)若，且，，均为正整数，则的值为______． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $