第02讲 二次根式的乘法与除法（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第02讲 二次根式的乘法与除法 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的乘法】 1.二次根式的乘法法则： 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即，（a≥0，b≥0）. 2.二次根式的乘法法则的拓展： （1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即，（a≥0，b≥0，c≥0）. （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数， 即，（a≥0，b≥0）. 3.积的算术平方根： 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即，（a≥0，b≥0）. 【知识点2 二次根式的除法】 1.二次根式的除法法则： 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即，（a≥0，b＞0）. 2.二次根式的除法法则的拓展： 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即， （a≥0，b＞0，c＞0）. 3.商的算术平方根： （1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即，（a≥0，b＞0）. （2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程 方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号. 【知识点3 最简二次根式】 1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简二次根式. 2.化为最简二次根式的步骤： (1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； (2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方； (3)利用商的算术平方根，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母； (4)分母有理化，化去分母中的根号； (5)约分化简，整理成最简二次根式。 【题型1 二次根式的乘法运算】 【例1】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． （3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）利用二次根式乘法计算即可； （2）把根号外的系数相乘，被开方数相乘，再化为最简二次根式即可； （3）利用二次根式乘法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解； （）根据二次根式乘法运算法则，二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 二次根式的除法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 【变式2-2】计算： (1)÷； (2)÷； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【变式2-3】计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． 【详解】（1） （2） 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【题型4 最简二次根式的定义】 【例4】下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 【变式4-1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③，④，⑥，都是最简二次根式，共3个； 故选B． 【变式4-2】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【变式4-3】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【题型5 根号内、外因式互移】 【例5】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据最简二次根式的定义，需将根式内的分母去掉，因此要根据的符号和被开方数的非负性判断出的符号，然后再化简． 【详解】解： ，且， ， ． 【变式5-1】已知，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简、不等式的性质，关键在于认真观察题意得出，的符号．根据题意可知，，然后对二次根式进行化简，根据，去绝对值号． 【详解】解：二次根式， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-2】化简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简． 先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ，即， ． 原式 ． 故答案为：． 【变式5-3】化简二次根式号后的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，原式利用二次根式的性质化简，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型6 二次根式的运算规律】 【例6】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 【变式6-1】观察下列各式： ； ； ； (1)根据你发现的规律填空：______； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式，并证明该等式成立. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式的性质及二次根式乘法运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质及二次根式乘法运算法则直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下， 证明：∵， ∴， ∴； 【变式6-2】【发现规律】在下列横线上填空． 式子1：；    式子2：； 式子3：______；    式子4：______． 【归纳猜想】如果为正整数，根据上述的运算规律表示式子为______； 【验证猜想】请你验证上述的式子； 【应用运算】计算：． 【答案】；；；见解析； 【分析】【发现规律】根据题目中的例子可以写出式子3，式子4，即可； 【归纳猜想】根据【发现规律】中特例，可以写出相应的猜想； 【验证猜想】根据【归纳猜想】中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； 【应用运算】根据上述规律进行计算，即可． 【详解】； ； 故答案为：；； 【归纳猜想】根据上述的运算规律得： ； 【验证猜想】 ； 【应用运算】 【变式6-3】【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 1．根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：，则不是最简二次根式； ，则不是最简二次根式； 是立方根，则不是最简二次根式； 都是最简二次根式，共有3个； 故选：C． 2．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 3．如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 4．若，则化简后的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的定义．根据有意义，得到，由可得，即可求解 【详解】解： 有意义， ，则， ， ， ， 故答案为：． 5．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 6．设，计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 7．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的除法法则，（a≥0，b＞0）可得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 9．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据完全平方公式、算术平方根的非负数的性质，列出关于、的方程组，通过解该方程组求得、的值，然后将其代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得， 解得，． 当时、时， 原式． 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)第6个等式：______； (2)计算：； (3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (4)若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的值为2或30 【分析】（1）结合题目所给等式即可求得答案； （2）结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可； （3）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可； （4）将原式变形后根据所得规律求得a，b的值，将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：由题干中所给等式可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：第n个等式为：，证明如下： ； （4）解：， 即， 符合所得规律， ， 解得：或，， 那么或， 即的值为2或30． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的乘法与除法 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 二次根式的乘法】 1.二次根式的乘法法则： 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即，（a≥0，b≥0）. 2.二次根式的乘法法则的拓展： （1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即，（a≥0，b≥0，c≥0）. （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数， 即，（a≥0，b≥0）. 3.积的算术平方根： 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即，（a≥0，b≥0）. 【知识点2 二次根式的除法】 1.二次根式的除法法则： 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即，（a≥0，b＞0）. 2.二次根式的除法法则的拓展： 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即， （a≥0，b＞0，c＞0）. 3.商的算术平方根： （1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即，（a≥0，b＞0）. （2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程 方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号. 【知识点3 最简二次根式】 1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简二次根式. 2.化为最简二次根式的步骤： (1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； (2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方； (3)利用商的算术平方根，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母； (4)分母有理化，化去分母中的根号； (5)约分化简，整理成最简二次根式。 【题型1 二次根式的乘法运算】 【例1】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【题型2 二次根式的除法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-2】计算： (1)÷； (2)÷； (3) ； (4)． 【变式2-3】计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【题型3 二次根式的乘除混合运算】 【例3】计算： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【题型4 最简二次根式的定义】 【例4】下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【变式4-3】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【题型5 根号内、外因式互移】 【例5】化简： ． 【变式5-1】已知，化简： ． 【变式5-2】化简二次根式 ． 【变式5-3】化简二次根式号后的结果是 ． 【题型6 二次根式的运算规律】 【例6】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【变式6-1】观察下列各式： ； ； ； (1)根据你发现的规律填空：______； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式，并证明该等式成立. 【变式6-2】【发现规律】在下列横线上填空． 式子1：；    式子2：； 式子3：______；    式子4：______． 【归纳猜想】如果为正整数，根据上述的运算规律表示式子为______； 【验证猜想】请你验证上述的式子； 【应用运算】计算：． 【变式6-3】【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 1．根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 3．如果成立，那么的取值范围是： ． 4．若，则化简后的结果是 ． 5．若，则化简 ． 6．设，计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．已知，求的值． 10．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)第6个等式：______； (2)计算：； (3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (4)若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $