专题07 期末真题百练通关（期末复习专项训练，9大压轴题型）九年级数学上学期湘教版

专题07 期末真题百练通关（133题9大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 反比例函数的图象与性质综合问题 题型6 反比例函数与一次函数综合问题 题型2 反比例函数k的几何意义问题 题型7 与一元二次方程有关的新定义问题 题型3 一元二次方程根与系数的关系问题 题型8 相似三角形的判定与性质综合问题 题型4 相似三角形与函数结合问题 题型9 锐角三角函数实物模型问题 题型5 解直角三角形的有关计算问题 题型一 反比例函数的图象与性质综合问题（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）反比例函数的图象上有两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23八年级下·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．  B．  C．   D．   5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 6．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    题型二 反比例函数k的几何意义问题（共19小题） 7．（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 9．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过等腰直角的直角顶点．若的面积为，则的值为（    ）    A． B．3 C．4 D．9 11．（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 14．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 15．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．    17．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是 ． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则 ． 20．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的顶点在轴正半轴上，A为的中点，反比例函数（为常数，）的图象经过点，交于点．若与的面积之和为4，则的值为 ． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 23．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 25．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 题型三 一元二次方程根与系数的关系问题（共9小题） 26．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 30．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 31．（2023·湖北十堰·三模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 33．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 题型四 相似三角形与函数综合问题（共6小题） 35．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 38．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 39．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ． 40．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    题型五 解直角三角形的有关计算问题（共40小题） 41．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 42．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在正方形 中， 是等边三角形，， 的延长线分别交于点 ，，连接 ，， 与 相交于点．给出下列结论，其中正确结论的个数是（   ） ； ； ； ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 44．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论： ； ； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（24-25九年级上·河南信阳·期末）在中，，，，是边上的中线，把绕点旋转，旋转角为，对应点为点；如果与直角边平行，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 46．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 48．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 51．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 52．（23-24九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 53．（2024·广东深圳·一模）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 56．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，与交于点，延长交于点，再连接，，，若，，共线，，，共线，为中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 57．（2024·安徽合肥·三模）如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 58．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，且，点F是边上的点，连结，将四边形沿直线EF翻折得到四边形．当D，M，N三点共线时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 60．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积S（）随时间t（s）变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为（　　） A． B．或 C． D． 61．（23-24九年级上·海南儋州·期末）如图，正方形中，边长为4，为的中点，为正方形内部一点，连结、，若平分且，则的长为（   ） A． B． C． D．2 62．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点．给出下列结论：；；；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 63．（23-24九年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，，，点为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 64．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 65．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则AM的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．6 66．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ． 67．（24-25九年级上·重庆·期末）在平行四边形中，，，，对角线、交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在上处，点C落在处，交于点P，则的面积是 ． 68．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 69．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，四边形中，对角线有交点，且．点与点在同侧，连接，若，则的面积 ． 70．（24-25八年级下·北京·期末）如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 71．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ． 72．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 73．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 74．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 75．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ． 76．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，且，连接．若，，则的长为 77．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，平分，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为 ． 78．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为 ． 79．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，，点是内部的一点，点关于三边、、的对称点分别是、、，连接、，则的最小值是 ． 80．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为 ． 题型六 反比例函数与一次函数综合问题（共20小题） 81．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求，，的值； (2)当时，求不等式的解集． (3)求的面积． 82．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 83．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点轴于点，轴于点．一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，． (1)求点的坐标． (2)求一次函数与反比例函数的解析式． (3)根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 84．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)若，点A的坐标为． ①直接填空：m的值为 ，k的值为 ； ②若点P是x轴上一点，的面积为6，求点P的坐标； (2)过点作y轴的平行线l与函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线交于点P（点P、D不重合），问：当k为何值时，的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 85．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 86．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点的横坐标为，的长度为，则与之间的函数关系式为______ ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中______； ②描点：根据上表中的数据，在图中描出各点； ③连线：请在图中画出该函数的图象观察函数图象，的最大值为______． ④阅读规律：当，都是正数时，有，即：，只有当时，才成立；如：已知，，只有当时，即：时，有最小值为． 请用这个规律说明中的最大值的正确性； (3)拓展应用：如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． 87．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 88．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 89．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 90．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 91．（24-25八年级下·海南儋州·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点B，经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C，以为斜边作直角，直角顶点H落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点H的坐标． 92．（24-25八年级下·重庆·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 93．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 94．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 95．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 96．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 97．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 98．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 99．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 100．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 题型七 与一元二次方程有关的新定义问题（共8小题） 101．（24-25八年级下·上海徐汇·期末） 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． (1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； (2)求直线上的“倒数点”坐标； (3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 102．（24-25九年级上·江西南昌·期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图像上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②；③；④； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； (3)若抛物线（a，b是常数，）的图像上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 103．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 104．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”． (1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”； (2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值． 105．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 106．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 107．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 108．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 题型八 相似三角形的判定与性质综合问题（共12小题） 109．（24-25九年级上·广东佛山·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 110．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． (1)求证：． (2)若点为的中点，求的值． 111．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）（）已知中，，是过点的一条直线，且点，在的同侧，交延长线于点，交于点． ①若，如图，证明：； ②若，如图，请写出线段之间的数量关系，并证明； （）若，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系．（不需要说明理由） 112．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点运动．当点不与点、重合时，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，以为边向其下方作正方形．设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当与边重合时，的值为______； (2)当正方形与的重叠部分图形是五边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当所在直线平分正方形的面积时，直接写出的值． 113．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在矩形中，动点E从点D开始沿边以的速度运动，动点F从点B开始沿射线以的速度运动，点E和点F同时出发，当点E到达终点A时，点F也随之停止运动，设动点的运动时间为（）． (1)如图1，若，分别连接，交于点O．求证：． (2)如图2，若，，，分别连接，交于点O，沿将四边形翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，当点落在的延长线上时． ①求的长． ②请直接写出的长． 114．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 115．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 116．（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图， 若，则 ； 若，则 （用含的式子表示） 117．（25-26九年级上·全国·期末）四边形和四边形有公共顶点A，连接和． (1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，求线段的长． 118．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 119．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，E是菱形对角线上的一点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：． 120．（24-25九年级下·全国·期末）【图形感知】如图①，在四边形中，已知． (1)求的长； (2)【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点E，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中分别是的对应点．其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点F，如图②．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图③．求的长； (3)如图④，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 题型九 锐角三角函数实物模型问题（共7小题） 121．（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 128．（2025·山东青岛·二模）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 129．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，）． 130．（23-24九年级上·辽宁·期末）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 131．（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 132．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 133．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？ 任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围． 1．如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．18 2．如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是 ． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ． 4．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为 ． 5．（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 6．【问题探究】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____________； (2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且．求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，，求的长． 7．如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 12 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（133题9大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 反比例函数的图象与性质综合问题 题型6 反比例函数与一次函数综合问题 题型2 反比例函数k的几何意义问题 题型7 与一元二次方程有关的新定义问题 题型3 一元二次方程根与系数的关系问题 题型8 相似三角形的判定与性质综合问题 题型4 相似三角形与函数结合问题 题型9 锐角三角函数实物模型问题 题型5 解直角三角形的有关计算问题 题型一 反比例函数的图象与性质综合问题（共6小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的性质，当时，，且随增大而增大；当时，，且随增大而增大，通过分析各选项中的取值范围，判断三点、、的横坐标正负及对应值的大小关系． 【详解】A选项：当时，， 三点均在第二象限， 随着增大而增大， ， 故A选项错误； B选项：当时，，， 点、在第二象限，点在第四象限， ，， ， 故B选项正确； C选项：当时，，， 点在第二象限，点、在第四象限， ，， 故， 故C选项错误； D选项：当时，， 三点均在第四象限， ， 故D选项错误． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）反比例函数的图象上有两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】将点M、N代入反比例函数解析式，求出和的表达式，再根据各选项条件分析代数式的符号． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象上有两点， 故，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 根据题意，得，则， 当时，，不符合题意， 当时， ∴ ∴ ∴， 故A错误，B正确； 根据题意，得，则， 故， 故一定在第三象限内， 可能在第一象限，也可能在第三象限， 当时，在第三象限，此时都是负数，不成立； 当时，在第一象限，此时是负数，是正数； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 故C，D选项都错误， 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 4．（22-23八年级下·江苏南京·期末）函数在平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由，得到，函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到，据此可判断的图象． 【详解】∵ ∴ ∴函数的图象可以看作由函数的图象向右平移2个单位长度得到 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数的图象，理解两个函数图象的特点是解题的关键． 5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小， ， y1＞y2， ①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时， ∵y1＞y2， 当在第一象限时， ∴，解得； 当在第三象限时， ∴，解得； 综上所述：或； ②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时， ∵y1＞y2， ∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解， 因此，本题的取值范围为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小． 6．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，    ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 题型二 反比例函数k的几何意义问题（共19小题） 7．（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键． 【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值． 【详解】连接交于如图： 四边形是菱形， ， 菱形的面积， 顶点在反比例函数的图象上， 解得∶． 故选∶D． 9．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】A 【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值． 【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴， 设，则PC＝t， ∵， ∴， 解得， ∴， 把代入得． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过等腰直角的直角顶点．若的面积为，则的值为（    ）    A． B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】通过作辅助线，利用等腰直角三角形的性质，结合反比例函数的几何意义（过反比例函数图象上一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为）来求解的值． 【详解】解：过点作轴于点． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． 又∵轴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 设点坐标为，则，， 由可得． 又∵的面积为，且， ∴． ∵， ∴． 而， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、全等三角形的判定及性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：C． 12．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 13．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 14．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（2024·浙江宁波·一模）如图，点为反比例函数上一点，连结并延长交反比例函数于点，且．点在轴正半轴上，连结并延长交轴于点，连结交轴于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义．过点作轴于，过点作轴于，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由，得，证相似得，则，可设，，再证和相似得，则，由此可得的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即：， 轴， ∴， ， ， ， 轴， ∴， ， ， 即， ， ， 可设，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．    【答案】1 【分析】如图，由组合图形位置构成关系，得，，由反比例函数解析式k的几何意义，得，，得出结论． 【详解】如图，    ∵点在反比例函数（，）的图象上，点在反比例函数（，）的图象上 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 而， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：1 【点睛】本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键． 17．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是 ． 【答案】11 【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 点在反比例函数上， ， 点在反比例函数上， ， 平行四边形的面积为：， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 【答案】 6 8 【分析】（1）求出C、A、M的坐标，再求出k，然后求出即可； （2）设，表示出M的坐标，用a、c表示k，求出D的横坐标，从而可求出；连接，根据矩形的性质可知三点共线，则，据此即可计算； 本题考查反比例函数图象的性质、矩形的性质、中点坐标公式的应用． 【详解】解：（1）由题可知，，则， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴； （2）设，则， 连接， 根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；8． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解反比例函数图像上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解决本题的关键． 分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，则，设出点的坐标，由平行四边形的性质及已知条件可得，证明四边形是矩形，可得，由是的中位线，可得，根据面积可得，表示出点M的坐标，再由点A在反比例函数的图象上求解即可． 【详解】分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，延长交于点N， 如图所示： ∴，， 设，， ∴点C的坐标是， ∵点M是的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点C的坐标是，点M是的中点， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 20．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的顶点在轴正半轴上，A为的中点，反比例函数（为常数，）的图象经过点，交于点．若与的面积之和为4，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数系数的几何意义，设，则点，求出，，得出E为中点，得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设点， ∵A为的中点， 则点， ∴， ∵点，点在反比例函数（为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点，点在反比例函数的图象上，射线交轴于点，且，延长交反比例函数图象另一分支于点，连接交轴于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，首先设点的坐标为，点的坐标为，根据反比例函数的性质可得的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，利用待定系数法可求直线的解析式为，从而可得点的纵坐标为，根据反比例函数是中心对称图形可得，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 则有， 点的坐标为， 又点与点关于原点对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为： 3． 22．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过作轴于，过作轴于，证明四边形是平行四边形，可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于， ∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为16， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，的几何意义，熟练的利用的几何意义解题是关键. 23．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④ 【分析】设，则，，，，待定系数法可得直线的解析式为；直线的解析式为；可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明四边形是平行四边形，则，可判断②的正误；当时，，即，则，，，，，可得，可判断③的正误；当点E为的中点时，证明，则，，，同理③，，则，，可判断④的正误． 【详解】解：设，则，， ∵点D、E在双曲线上， ∴，， 待定系数法可得直线的解析式为； 同理可得，直线的解析式为； ∴，①正确，故符合要求； 如图，连接，    ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，②正确，故符合要求； 当时，，即， ∴，，， ∴，， ∴，③错误，故不符合要求； 当点E为的中点时， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理③，， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F， ∵点是菱形对角线的中点， ∴点三点共线．轴 设点，则， 故直线 故直线 点是的中点， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长是3， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3， ∴，， ，， ∵的面积为4， ，解得：或（舍去）， ∴，， 作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值， ∴， ∴，， ，即的最小值为． 故答案为． 题型三 一元二次方程根与系数的关系问题（共9小题） 26．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 27．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题意，可得，，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式，根据a，m，n是实数，可知，即可得；②若m,n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据根与系数的关系，将变形得，进而可得结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵a，m，n是实数， ∴， ∴，即①正确； 若m，n都为整数，其可能情况有以下两种： 当m，n都为奇数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又∵， ∴， ∵a为奇数， ∴必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确； ∵，， ∴，， ∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确． 故选：D． 28．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 29．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故选：B． 30．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 31．（2023·湖北十堰·三模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上， ∴点，一定在直线上， 又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上， ∴、是方程的两个解， 即， ∴，， ， ∵， 又∵， ∴， ∴m取任意实数时，总成立， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且． 32．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可知是方程的解，利用判别式可判断①；由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②；由是方程的一个根，则有，可判断③；由题意得，利用公式法解方程，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 33．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出． 根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键． 如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 设，， ∴， 整理得，， 联立得，，整理得，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型四 相似三角形与函数综合问题（共6小题） 35．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【详解】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 36．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，构建相似三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴于，轴于，构造相似三角形求出点的坐标，再利用位似变换的性质求出点的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 将沿翻折得到， ，，， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 解得， ，， ， 放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ． 故答案为：． 38．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算公式，根据相似三角形的性质求出的底和高是解题的关键．分为点在和上两种情况进行讨论，再利用相似三角形求出对应情况下的底和高进而求出面积的表达式，即可求出结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 如图，当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 当时， ， ． 故答案为：． 39．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据题意知，，设，则，根据，可求出点D、E、F的坐标，根据待定系数法求出设直线、的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解∶∵、， ∴，， ①当点P在第三象限时， ∵将放大为原来的两倍后得到对应的， ∴，， ∵点D、F恰好在双曲线上， 设，则， ∴， 解得，或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴； ②当点P在第一象限时， P与①中的E重合时，与关于点E位似，位似比为2， ∴， 综上，P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质等知识，求出D、E、F的坐标是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 40．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 题型五 解直角三角形的有关计算问题（共40小题） 41．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以． 【详解】解：如图，延长交延长线于F， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 42．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可． 【详解】解：如图， 在中，，； 在中，，； ∴，， ∴； 故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误； 故选B． 43．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在正方形 中， 是等边三角形，， 的延长线分别交于点 ，，连接 ，， 与 相交于点．给出下列结论，其中正确结论的个数是（   ） ； ； ； ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可证，根据两角对应相等的三角形相似，可证，故正确；根据正方形的性质和等边三角形的性质可证，，根据等腰三角形的性质可得：，可知，根据等边三角形的性质和正方形的对角线平分一组对角可知可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，故错误；根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可证，故正确；过作，，设正方形的边长是，利用锐角三角函数可以求出 ，，从而可得：，根据平行线的性质可知，可知，故正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ； 故正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故错误； ，， ， ， ， ， ， 故正确； 如下图所示，过作，， 设正方形的边长是， 为正三角形， ，， ， ，， ， ， ， 由可知 ， ， 故正确； 综上所述，正确的结论有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 44．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论： ； ； ；当时， 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由正方形的性质及易证，则，从而可以判定①；证明，得；根据得，从而可判定②；证明，得，则有；再证明，得，则可判定③；由，求得，从而求得，再由，求得，从而可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故②错误； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， 即； 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故④正确， 故正确有3个， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 45．（24-25九年级上·河南信阳·期末）在中，，，，是边上的中线，把绕点旋转，旋转角为，对应点为点；如果与直角边平行，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，分当时，当时，两种情况，先根据直角三角形的性质和勾股定理得到，再由旋转的性质可得，解直角三角形得到，然后通过平行线构造直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， 过点C作，交的延长线与H， 则， ∵在中，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 由旋转的性质可得， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， 设于点H， ∵在中，， ∴， ∴； 综上所述，点到点C的距离为或， 故选：D． 46．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形、菱形的性质，分别求出、的长，再由每旋转次后，菱形回到原位置，可知第次旋转后点在轴正半轴，即可求点坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 每次旋转次后，菱形回到原位置， ， 菱形旋转次后，点关于原点对称， 点在直线上， 第次旋转后点在轴正半轴， ， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直线上点的坐标特征等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 47．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．先证明，推出，，证明，推出，据此可判断①正确；设，则，求得，证明，分别求得，，据此可判断②正确；利用等积法求得，由，再用分别表示和的长，据此可判断③错误；当时，同理可判断④正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由正方形中知，即， ∴， ∴， ∴，①正确； 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴，②正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，， ∴， ∴， ∴，③错误； 当时，，， ∴，， 又， ∴，④正确； 综上，①②④正确， 故选：B． 48．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形是矩形，，得出，设，，证明用含的式子表示，再根据，推出，，，最后利用勾股定理求出和的长，代入矩形面积计算即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，， ∵，，且这四个三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴ ，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 49．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，则，，，根据，可得，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，推出为等腰直角三角形，根据三角形的外角和，得到，延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，即，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，得到，最后，，求出；再根据，即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 延长至点，使得，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 50．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ∴， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 51．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴解得：或， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 52．（23-24九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 53．（2024·广东深圳·一模）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形是正方形 ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 又， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 过点作于，过点作于， 由题意可得，， ，， ，故③正确； ， ， ， 又与同高， ， 又 ，不是中点， ， ，故④错误； ，， ， ， ， 又，， ，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 54．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 55．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得 ，于是得到，故①正确．②由于，推出，得到故②错误；③由于，推出，得到，等量代换得到 ，故③正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在正方形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 56．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，与交于点，延长交于点，再连接，，，若，，共线，，，共线，为中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形的性质得，，，为中点，则，再证明 ，得，设 ，则，，所以 ， 由 ，得 ，，求得，则所以，于是得到问题的答案． 【详解】∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∵，，共线，，，共线，为中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 57．（2024·安徽合肥·三模）如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，求得，即，即可得到；根据，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；证明，得到，则，  即可得到． 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到，故③错误； 是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选B． 58．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证，为公共边，根据可证明三角形全等；③可证，可判断③错误；④可证，有，可求出，进而求出的长，即可判断；⑤过作于，另交于点，可证≌，而，，则可判断． 【详解】解：①∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵翻折之后为， ∴≌， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故①正确； ②∵为等腰直角三角形，为正方形的对角线，    ∴， ∵、关于对称， ∴ 在和中， ∴≌ 故②正确； ③∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， 故③错误； ④∵，与对称， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 有， ∴， ∴， 故④正确； ⑤过作于，设交于点，    ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 在和中， ∴≌ ， ∴， 而，， ∴． 故⑤正确． 正确的说法有①②④⑤， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键． 59．（2024·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，且，点F是边上的点，连结，将四边形沿直线EF翻折得到四边形．当D，M，N三点共线时，的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，一是，，三点共线，且点在线段的延长线上，连二是，，三点共线，且点在线段上，设交于点，求得，由，求得，则，由，求得，则． 【详解】解：如图1，，，三点共线，且点在线段的延长线上，连接，设交于点， 四边形是矩形，，，点在上，且， ，，，， ，， 由翻折得，，，， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，，，三点共线，且点在线段上，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或， 故选：C． 【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出的长是解题的关键． 60．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积S（）随时间t（s）变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，平行四边形的性质．由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，进求出的长，分和两种情况进行讨论求解即可．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图可知：当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 当时，过点作，如图，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 当的面积为时，则：， 解得：或（舍去）； 当时，作， ∴， 即：， ∴， ∴的面积， 当的面积为时，则：， 解得：； 故选B． 61．（23-24九年级上·海南儋州·期末）如图，正方形中，边长为4，为的中点，为正方形内部一点，连结、，若平分且，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得出，结合E为中点，即可得出是等腰三角形，过点E作，则有，即可得出，再根据锐角三角函数即可解答． 【详解】解：过点E作，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为中点，， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，锐角三角形函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 62．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点．给出下列结论：；；；．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是等边三角形，得，而，故正确；由，，可判定正确；如图，过P作于，于，设正方形的边长是，再分别表示，，则判定正确，由，得，则，可判定正确． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确； 如图，过P作于，于， 设正方形的边长是， ∵为正三角形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 63．（23-24九年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，，，点为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先说明等腰直角中，等腰直角中，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，可判定①；由为直角三角形，，可得，因为，，所以，所以不成立，则②错误；根据垂直平分线的性质可得，再结合可得，即可判定③，H作于M，则，可得，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④，为了便于计算，设，先求出，即有，再求出，即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴、是等腰直角三角形， ∴，即， ∴，则， 即，所以①正确； ∵等腰中， ∴， ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 不成立，②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，判定③正确； ∵在等腰中，， ∴， 过H作于M，则， ∴， ∴， ∴，故④正确． 为了便于计算，设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴等腰中，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． ∴正确的有①③④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 64．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 65．（2023·安徽合肥·一模）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，以为直角边，为直角，在同侧构造，点M为的中点，连接，则AM的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】取中点，连接，，由中位线和等边三角形的性质可知，，在同一直线上，过点作，交于点，连接，由点与直线上所连线段，垂线段最短可求得的最小值为3． 【详解】解：取中点，连接，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵为等边三角形，点为的中点， ∴，，平分， 则，， ∴，，在同一直线上， 即：点在直线， 过点作，交于点，连接， 则， 由点与直线上所连线段，垂线段最短可得：， 即：的最小值为3； 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，中位线的性质，解直角三角形，添加辅助线得到，，在同一直线上是解决问题的关键． 66．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理．熟练掌握翻折变换和矩形的性质,利用相似三角形列比例式是本题的关键． 由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明，求得，在中由勾股定理可得解． 【详解】解：四边形是矩形，是由翻折得到， ，， ，， 四边形是矩形， ，， 又， ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ，， ，， ，， ， 又， ， ，即 或舍去， 在中，， ， ， 在中，， 由勾股定理得，， 即， ， 解得：． 故答案为：． 67．（24-25九年级上·重庆·期末）在平行四边形中，，，，对角线、交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在上处，点C落在处，交于点P，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过点O作于H，过点作于N，由勾股定理逆定理可求，由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，由直角三角形的性质平行线分线段成比例可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于H，过点作于N， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转， ∴，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，求出的长度是本题的关键． 68．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角函数并运用分类讨论思想是解题的关键． 如图：作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①如图1，当位于异侧时， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当位于的同侧时， 由①知，，，， ∴， ∴． 综上，的面积是或． 故答案为或． 69．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，四边形中，对角线有交点，且．点与点在同侧，连接，若，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，先证明，过点作于，得到，设，则，相似三角形的性质，推出，进而推出，得到，进而推出，相似三角形的性质求出的长，过点作于，求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的内角和为，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 过点作于， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 过点作于， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． 70．（24-25八年级下·北京·期末）如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，，，菱形，，设，，，，，由，得即，根据勾股定理，故，，过点作于点，根据题意，得，设，，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，，，菱形，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得，（舍去），故， 过点作于点， 根据题意，得， 设，， 则，， 故， 解得，， 故，（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 71．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握以上性质． 过点作于点，过点作于点，连接，利用平行线和等边三角形的性质，求出相关线段的长度和数量关系，利用直角三角形斜边中线定理求出长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接. ， ． ，根据同高， ， 将看作两个三角形的同底，且，则等于的高， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ∴， ， ， ，点为中点， ∴， ． ． 故答案为：． 72．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得，，过点作，交于，可得，，过点作，交于，则，得到，即得，可得，设，，得到，，进而得到，即得，即得到，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于， 则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 74．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接，若点M，N分别是的中点，连接则长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先取的中点K，连接，作，再结合已知令，根据勾股定理求出，即可得出是等腰直角三角形，可知，然后根据中位线的性质，得，进而求出，最后根据三角形三边关系得出答案即可． 【详解】解：取的中点K，连接，过点A作于点H， ∵， 令， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴． 由旋转的性质得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形三边关系，三角形中位线的性质等，作出辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 75．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意证明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，证明可得，设，则，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ， 又， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去），， ， 故答案为：． 76．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点是外一点，，与相交于点，且，连接．若，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．过点作于点，可推出，得到，在中，利用三角函数和勾股定理求得、，在中，利用和勾股定理求得、，从而求得，可推出，即可证，进而求得，最后在中，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 77．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，平分，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据已知条件得，然后设，，接下来根据等积法可得，可表示，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵平分，， ∴. ∵点E是的中点，且， ∴. 设，， ∵， ∴， 即， ∴. 根据勾股定理，得，且， ∴， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， 则，. 根据勾股定理，得， ∴. 根据勾股定理，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等积法，角平分线的性质定理，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 78．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，延长交于点，过点作交的延长线于点，设，则：，，根据同角的余角相等，得到，利用正切值求出，进而求出，再利用正切值求出，证明，即可得出结论． 【详解】解：延长交于点，过点作交的延长线于点， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 79．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，，点是内部的一点，点关于三边、、的对称点分别是、、，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 过点作于，过作于，，，从而判定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求解； 【详解】解：连接、、、、，过点作于，过作于， 、关于对称， 垂直平分， , ， 同理：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 、关于对称， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积， ， ， ， 的最小值是， 故答案为： 80．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形判定及性质等．连接，过点作，交于点，求出，继而得到，再证明，继而利用相似性质求解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ∴， ∵点D为中点，， ∴是的中位线，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 题型六 反比例函数与一次函数综合问题（共20小题） 81．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求，，的值； (2)当时，求不等式的解集． (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入解析式即可； （2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论； （3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积. 【详解】（1）解：将点坐标代入得， 解得， 将点坐标代入得， ， 解得，                       将点坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）知， 由， 得或，                               则直线与双曲线的另一个交点坐标为：                  由函数图象可知： 当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧 所以当时，不等式的解集为； （3）解：由得， ∴点的坐标为，   ∵得，， ∴点的坐标为，                 ∴的面积为：. 【点睛】本题考查了直线与轴的交点、直线与双曲线的交点、求不等式的解集、三角形的面积等，关键是灵活应用知识点解决问题. 82．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． ()将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； ()利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； ()根据与的面积关系，可求出点E的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，， ， ，， ∴反比例函数表达式为， ∵一次函数图象过， ， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即 ∴不等式的解集为：或． （3）在一次函数中， 当时，； 当时，， ，， ， ， 设点的纵坐标为， ，解得， 点． 83．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点轴于点，轴于点．一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，． (1)求点的坐标． (2)求一次函数与反比例函数的解析式． (3)根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． ()本题需先根据题意一次函数与轴的交点，从而得出点的坐标． ()证明得到，进而得到，根据可得，即得到，代入一次函数与反比例 函数的表达式即可求解; ()根据图形从而得出x的取值范围即可，本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴相交， ∴令， 解得， ∴的坐标为． （2）∵轴于点， ∴轴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 把代入反比例函数得，， ∴ ∴反比例函数解析式为：． 把代入一次函数得， ∴ ∴一次函数的解析式为：， （3）根据图象可得： ， 解得： 或， 故直线与双曲线的两个交点为，， ∵， ∴当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 84．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)若，点A的坐标为． ①直接填空：m的值为 ，k的值为 ； ②若点P是x轴上一点，的面积为6，求点P的坐标； (2)过点作y轴的平行线l与函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线交于点P（点P、D不重合），问：当k为何值时，的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【答案】(1)①6，2；②或 (2)时，的值为定值1，此时m、n应满足 【分析】（1）①首先已知得到直线，再将A点分别代入直线与反比例函数中，可得m和k的值； ②首先求得点B、C的坐标，再设，即可得到，再利用A、C点的坐标，得到点A到点C的纵坐标长度，在中利用铅锤法，即可求得P点坐标； （2）首先利用反比例函数的解析式表示出点D、E的坐标，进而表示出点P的坐标，分点A在点D的右侧和点A在点D的左侧两种情况讨论，将表示出来，利用值为定值进行求解k的值即可，最后注意，的取值范围，进而求出m、n应满足的条件． 【详解】（1）解：①∵， ∴直线为， 将点A代入直线中，得，解得：， ∴k的值为2； 将点A代入反比例函数中，得，解得：， ∴m的值为6； 故答案为：6，2； ②令，则，即， 令，则，即， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∴或； （2）解：过点作y轴的平行线l与反比例函数的图象交于点D，与反比例函数的图象相交于点E， ∴，， ∴， ∵过点D作x轴的平行线与直线交于点P， ∴， ①如图，当点A在点D的右侧时， ∴， ∴， 要使的值为定值，则或， 解得：或， ∵，，， ∴此情况不满足题意； ②如图，当点A在点D左侧时， ∴， ∴， 要使的值为定值，则或， 解得：或（舍去）， ∴时，的值为定值1， ∵此时点P在直线的左侧， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立反比例函数与一次函数求解和注意分类讨论是解题的关键． 85．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． (1)m，k，b； (2)求的面积； (3)若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． （2）解：∵，当时， ∴ ， 又∵、， ∴． （3）解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 86．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点的横坐标为，的长度为，则与之间的函数关系式为______ ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中______； ②描点：根据上表中的数据，在图中描出各点； ③连线：请在图中画出该函数的图象观察函数图象，的最大值为______． ④阅读规律：当，都是正数时，有，即：，只有当时，才成立；如：已知，，只有当时，即：时，有最小值为． 请用这个规律说明中的最大值的正确性； (3)拓展应用：如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③见解析，4；④见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，的长度为y，可得，，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可；④根据，得到时，即时，由最大值为，于是得到有最大值为； （3）先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【详解】（1）解：点P的横坐标为x，的长度为y，可得，， ；     故答案为：； （2）解：①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； ④∵， ∴时，即时，由最大值为， ∴有最大值为， 故中的最大值正确； （3）解：∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由（2）得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 87．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析；② (3)当时，；当时， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法得出直线的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 设直线的解析式为，则 解得：，则直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为，即线段经过一定点； （2）①证明：由（1）知：， ∵点与点关于原点对称． ∴， ∵双曲线为常数，经过点， ∴, ∵双曲线与交于点， ∴， 设直线的解析式为，则。 解得：，则直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 轴， 轴， ； ②解：四边形是平行四边形， ，即， 即； （3）解：由（2）②知，轴，， ∵将直线沿轴向下平移经过点得到直线， ∴，把的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 88．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）先求出的坐标，进而求出的长，设，作于点，连接，进而得到，，根据等积法，列出方程进行求解即可； （3）先确定平移规则，设向右平移个单位，再向上平移个单位得到，求出，根据平行四边形的性质和平移思想，求出点坐标，再代入到反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得， ∴， ∴当时，， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数解析式中，得， ∴， ∴； （2）∵轴，与y轴交于点E，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设，则：，， 作于点，则：， ∴，解得：或， ∴或； （3）∵，设直线交轴与点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵将沿射线方向平移一定的距离后，得到， ∴设向右平移个单位，再向上平移个单位得到， ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是点向左平移5个单位得到的， ∴点向左平移个单位，得到点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象和反比例函数的图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，平行四边形的性质，图形的平移，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 89．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为． (1)当时， ①求直线的函数表达式； ②若，直接写出的取值范围； (2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：． 【答案】(1)①；②或； (2)详见解析 【分析】（1）①求得可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式； ②求出，观察函数图象可得x的取值范围； （2）取的中点K，连接，求出直线解析式为，可得，求得，可得直线的函数表达式为，即可得，故，从而，． 【详解】（1）解：①当时，，， 将这两点坐标分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为； ②在中，令，则， ∴， 由图可知，若，则的取值范围为或； （2）证明：取的中点K，连接，如图： 由题意，得，， ∵点B与点A关于原点O中心对称， ∴， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线解析式为， 令，则， ∴； 设直线的函数表达式为， 将，分别代入中， 得：， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴； ∵K为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，反比例函数与一次函数交点问题，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关直线解析式． 90．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 【答案】（1）①3；②为定值3；（2）或；（3）E的坐标为． 【分析】（1）①根据的定义可得； ②设，其中，即可得，故为定值3； （2）设，其中，，解得或，据此求解即可； （3）求出，知，取格点，连接交于E，则点E即为所求；求出直线解析式为，联立，解析式可解得答案． 【详解】解：（1）①如图： ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：3； ②在线段上任取一点P，为定值，理由如下： 如图： 设，其中， ∵， ∴， ∴为定值3； （2）设，其中， ∵， ∴， ∴， 解得或， 经检验，，都是分式方程的解， ∴D的坐标为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴， ∴， 取格点，连接交于E，如图： 点E即为所求； 理由：由，可得直线解析式为， ∴线段上的点，总有， ∴E为满足条件的点； ∵菱形在第一象限，直线与菱形的边除B，E外无另外的交点， ∴满足条件的点只有点E； 由菱形的对称性可得， ∵， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴E的坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数，一次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义的概念． 91．（24-25八年级下·海南儋州·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点B，经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C，以为斜边作直角，直角顶点H落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式； （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积； （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴； （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：（舍去）或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点， ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点， ∵点是的中点 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，勾股定理，角平分线的定义，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 92．（24-25八年级下·重庆·期末）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； (3)如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，反比例函数中平行四边形的存在性，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入，即可求解； （2）求出，利用，求出，可得，则，则，过点在轴下方作，过点作于点，则，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图，求解即可； （3）求出，直线的解析式为，由点为直线上一点，设，由点为第二、四象限的角平分线上一点，设， 分当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标列式即可求出坐标，再计算面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 则， ∵轴于点，交反比例函数图象于点， ∴， 即， 解得：， 当时，，得， 则， 当时，， 则， ∴， 如图，过点在轴下方作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图的长，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：由第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，即直线与交第四象限的函数图象于点， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， 由将直线向下平移8个单位得直线， ∴直线的解析式为， 由点为直线上一点， ∴设， 由点为第二、四象限的角平分线上一点， ∴设， 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 此时如图，过点作直线于点，过点作轴交直线于点， 则， 当时，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 综上所述，点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为． 93．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】(1)见解析 (2)对角线所在直线经过原点，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3）解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 94．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线经过点，求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）①由点，得到直线的解析式，求出点、坐标即可求解； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，根据平行四边形，得到，求出直线的解析式，联立得点的坐标，得到直线的表达式，当时，结合图象可知，当直线在轴与之间，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，把点的坐标代入直线，得： ， ∴， 代入反比例函数，得： ，解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①当时，， ∴直线的解析式为：， 代入中，得：， 解得：， ∴， 把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴； ②过点作交反比例函数于点，过点作轴，交于点，如图2： ∵，轴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，且过原点， ∴直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， 代入，得， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，结合图象可知，当直线在轴与之间（可重合），且点在点下方， ∴． 95．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式． （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积． （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴ （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：延长交的延长线于点，如图 ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点 ∵点是的中点 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的综合应用，涉及反比例函数的性质与应用，一次函数的性质与应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理，角平分线的性质，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 96．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)过点的直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，在，，三点中，当其中一点是另两点连线的中点时，求点的坐标； (3)过点的直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，在线段上取点，使若是以为腰的等腰三角形，求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式等知识点．分类讨论问题求解是解答本题的关键． （1）把点坐标代入直线的表达式求得即可得到点坐标，然后根据求得反比例函数表达式． （2）先联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标，然后分、、三点分别为中点的情况进行计算求出点坐标． （3）分和两种情况进行讨论，根据双曲线图象的性质判定的情况不存在，再利用点在的垂直平分线上由求得点坐标，最后通过、两点坐标由待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线：得： ，则，点坐标为， 根据反比例函数的性质，， 反比例函数的表达式为， 故点坐标为，反比例函数的表达式为 （2）解：联立直线和反比例函数表达式求解点的坐标： ，解得或 点坐标为 当点为的中点， 、两点关于点中心对称． 反比例函数的图象关于原点对称． 故点与平面直角坐标系原点重合，如图所示． 点与点关于原点对称． 、两点横纵坐标分别互为相反数． 点坐标为 当点为的中点时，，如图， 则 ， 点坐标为 当点为中点时，如图． ， 点坐标为 故点的坐标为或或 （3）解：由、两点坐标可得 以为腰的等腰三角形分为两种情况： 当时， 如图，图象与关于直线相交于、两点轴对称． 根据反比例函数图象的性质，图象上两点在第一、三象限之间最短距离为 联立和，解得、坐标分别为、 故这种情况不存在． 当时，点在的垂直平分线上，即在直线上． 如图．直线与反比例函数在第三象限的图象交于点，与直线交于点，过点、分别作轴的垂线与点到轴的垂线分别交于点、，则轴． 设点坐标为，， 根据平行线分线段成比例的性质得： ，，， ，解得； ，解得 又 ， 解得或（负值舍掉）， 点坐标为 设直线表达式为：，代入、两点坐标建立方程组得： ， 解得 故直线的函数表达式为： 97．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 98．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 99．（24-25九年级上·广东东莞·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数（）过点A． (1)求a与k的值； (2)当时，对应的自变量x的取值范围是：______．（请直接写出答案） (3)在x轴是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)点D的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）由图像即可判断； （3）分点D在轴正半轴上时和负半轴上时两种情况，再分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵反比例函数（）过点A， ∴， ∴． （2）解：当时，由图可知， 故答案为： （3）解：当点D在轴正半轴上时，如图， 过点A作轴交于点，则，此时， 此时点； 当点D在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 100．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标； （2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案； （3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为： ∵一次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 联立反比例函数和一次函数解析式得，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为， 设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，    ∵， ∴设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴点P的坐标为； （3）解：设， 当点在第一象限时，如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时，如图，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得： ∴ 综上所述：点的坐标为或． 题型七 与一元二次方程有关的新定义问题（共8小题） 101．（24-25八年级下·上海徐汇·期末） 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． (1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； (2)求直线上的“倒数点”坐标； (3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解一元二次方程，理解“倒数点”在图象上，是解题的关键； （1）依题设点，代入，得，根据，即可求解； （2）联立，解方程，即可求解； （3）根据为锐角得出在第一象限，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得，即， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：依题可知，“倒数点”的坐标满足反比例函数， 联立 ， 解得：或， ∴直线上的“倒数点”坐标为或； （3）解：依题意，直线上有两个“倒数点”， 为锐角， ∴在第一象限， 此时， 当直线和有两个交点时， 联立得，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 102．（24-25九年级上·江西南昌·期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图像上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号） ①；②；③；④； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； (3)若抛物线（a，b是常数，）的图像上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数t，使得当时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③； (2) (3)存在，t的值为1或3 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立，依题意得出得出．分三种情况：当，当时，当时，求解即可． 【详解】（1）解：①联立，解得：， ∴一次函数的图像上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立，即， 解得：，故②不合题意； ③联立，解得：， ∴二次函数的图像上只有一个“纵三倍点”，故③符合题意； ④联立，解得：，故④不合题意； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． （2）解：联立，解得：， 依题意经过，则①， 联立， ， ∵抛物线均为常数）与直线只有一个交点， ②， 联立①②得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 即， 依题意，， ， ， 当，即时，在处，有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，有最小值1， ∴存在常数，使得时，的最小值恰好等于，符合题意； 当时，在处，有最小值， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了新定义“纵三倍点”、二次函数和一次函数的综合应用、一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图像上． 103．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)0或 (3)存在， 【分析】（1）根据“幸福点”的概念列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后根据两个函数图象有且只有一个交点，得到只有一个根，然后利用一元二次方程的判别式求解即可； （3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“幸福函数”的性质求解即可． 【详解】（1）∵为“幸福点”， ∴， ∴， 将代入，解得，． 故答案为：，，； （2）①当时，， ∵函数是“幸福函数”， ∴，此时，符合题意， ②当时， 将分别代入与中，有 ∵两个函数图象有且只有一个交点， ∴只有一个根，即：， ∴， ∴， ∴k的值为0或； （3）①如图所示，当点M在y轴正半轴上时， 设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有， 由直线可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设M点坐标为，则，， ∴， ∴，解得， ∴，设直线解析式为，将，代入， 解得，． ∴，若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴， 解得（与矛盾，舍去）， ∴此时，不存在“幸福函数”． ②如图所示，当点M在y轴负半轴上时， ， 设M点坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，又， 同理，用待定系数法可求得直线解析式为：， 若该函数为“幸福函数”，则直线过“幸福点”． ∴，得． ∴， 综上所述，存在“幸福函数”． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 104．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”． (1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”； (2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为 (2) 【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可； （2）根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴不是“快乐数”， ∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为， 又∵， ∴最大的“快乐数”为． （2）∵为“快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得：，，， ∴， 综上所述，满足条件的所有的值为． ∴满足条件的所有的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，不等式组应用．解题的关键是理解“快乐数”的定义． 105．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 106．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 107．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)所求直线解析式为或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定义是解决本题的关键． （1）将分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可； （2）由题意可得直线过点，可得，即，得出函数关系式为，再求出点A、B的坐标，再根据列出方程求解即可； （3）由为“明一方程”，可得，又，从而得出，且有，解不等式组得：．再由为的两根，且为其一个解，可得另一个解为，再求解即可． 【详解】（1）解：①将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； ②将代入方程得，， 不是方程的解， 不是“明一方程”； ③将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； 故答案为：①③； （2）解：当时，关于x的方程为“明一方程”， 直线过点， ，即， 函数关系式为， 令，得，即， 令，得，解得：，即， ， ， 解得：或， 直线解析式为或或； （3）解：已知为“明一方程”， 所以，又， 所以，且有， 解不等式组得：． 为的两根，且为其一个解， 所以另一个解为， 所以，令， 则是关于的一次函数，由一次函数的增减性可得： 108．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：， 解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； （2）①∵， ∴． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，； ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 题型八 相似三角形的判定与性质综合问题（共12小题） 109．（24-25九年级上·广东佛山·期末）综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． (1)过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． (2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； ； (2)． 【分析】（）设，交于点，当，则有，由四边形是矩形，得，所以，由，则，得，所以，证明，然后通过性质即可求证； 由知，，，所以，然后通过相似三角形性质即可求解； （）取的中点，连接，作，交于，所以，根据四边形是矩形，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，由题意得点和点关于对称，，所以，则有，由知，，得，不妨设，，则，由勾股定理得，则有，从而得． 【详解】（1）证明：如图， 设，交于点， 当，则有， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解：由知，，， ∴， ∴； （2）解：如图， 取的中点，连接，作，交于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点， ∴点和点关于对称，， ∴， ∴， 由知，， ∴， 不妨设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，矩形与折叠，轴对称的性质，同角的余角相等，平行四边形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 110．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于． (1)求证：． (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似和全等的判定条件是解题关键． （1）根据正方形性质得、，由推导出，再通过证明，从而证明； （2）设，结合中点及全等得各线段长，用勾股定理算出，再通过直角三角形正弦函数求，由正方形对边平行证得，利用相似比得，最终算出的比值． 【详解】（1）证明：根据正方形的性质，可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）设， ∵为的中点， ∴，， 由（）可知：， ∴， ∴由勾股定理可知：， ∵在和，， ∴， ∵在正方形中，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 111．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）（）已知中，，是过点的一条直线，且点，在的同侧，交延长线于点，交于点． ①若，如图，证明：； ②若，如图，请写出线段之间的数量关系，并证明； （）若，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系．（不需要说明理由） 【答案】（）①见解析；②，见解析；（） 【分析】本题主要考查的知识点涵盖直角三角形的角 度互余性质、全等三角形的判定()与 性质、相似三角形的判定()与性质，同 时结合线段的和差关系，考查在图形位置变 化(直线旋转)的情况下，运用几何推理分 析线段间数量关系的能力，是对三角形全等 与相似核心知识及几何动态思维的综合考查． （）①根据题意可得，结合，直接用证明，进而可得；②根据题意可得，结合，证明，根据，结合，进而可得； （）直线旋转后，仍可通过角度关系证明，相似比依旧为， 结合线段的位置变化，直接得出的数量关系． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②， 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （）， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 112．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点运动．当点不与点、重合时，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，以为边向其下方作正方形．设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当与边重合时，的值为______； (2)当正方形与的重叠部分图形是五边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当所在直线平分正方形的面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，由中点和正方形的性质，可得，则，计算出t的值即可； （2）根据与的位置关系，进行分类讨论．当在上方或重合时，五边形的面积为正方形减去三角形；．当在下方时，五边形的面积为正方形减去三角形和一个矩形，同时正方形的边不能超过点B．用含t的代数式表示出各个面积后，得出答案； （3）所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点．用含t的代数式表示出，解方程求出t的值． 【详解】（1）解：如图， 由题意可知，；由旋转的性质可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，； （2）解：设线段与交于点E，与交于点F， 当时，由（1）可知，此时在上方或与重合， 如图， 由（1）可知，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∴； 当时，则 在下方， 如图，设与交于点G，与交于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 要构成五边形，则，即，解得，， ， ∴， 综上所述，； （3）如图，所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论并用代数式表示出所需的量是解题关键． 113．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在矩形中，动点E从点D开始沿边以的速度运动，动点F从点B开始沿射线以的速度运动，点E和点F同时出发，当点E到达终点A时，点F也随之停止运动，设动点的运动时间为（）． (1)如图1，若，分别连接，交于点O．求证：． (2)如图2，若，，，分别连接，交于点O，沿将四边形翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，当点落在的延长线上时． ①求的长． ②请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形，勾股定理等综合应用． （1）根据路程速度时间，得到，利用全等得到结果即可； （2）①根据勾股定理可得的长度，再根据，即可得到答案； ②连接，作，垂足为点H，由对称性可得，再由平行线成比例可得和的长度，进而得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，且，运动时间相同都是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴； ②如图3，连接，作，垂足为点H， 由折叠可知，与关于所在直线对称， ∴， 由①知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 114．（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ 【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键． （1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答． 【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中， 由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时， 则有， ∴， ∴． 当时， 则有， ∴， ∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过点作，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 115．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据题意得出为等边三角形，确定，再由平行四边形的性质得出，结合图形求解即可； （2）①根据题意得出，再由各角之间的等量代换确定，利用全等三角形的判定即可证明； ②过点C作，延长交于点H，交于点G，作，根据题意得出、均为等边三角形，再由全等三角形的判定确定，得出，，，再由解三角形得出，根据相似三角形的判定得出，，，利用其性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②过点C作，延长交于点H，交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 116．（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图， 若，则 ； 若，则 （用含的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，② 【分析】（1）由折叠知，，四边形是矩形，则，从而得，则可得，从而得四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形； （2）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得的长，从而证得； （3）①设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得结果的值； ②设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明，由相似三角形的性质求得的长，即可求得结果的值． 【详解】（1）证明：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）①解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； ②解：设正方形的边长为1，，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中折叠性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 117．（25-26九年级上·全国·期末）四边形和四边形有公共顶点A，连接和． (1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长交于H，证明≌，得，，从而证明结论； （2）延长交于，证明∽，得，，从而证明结论； （3）当在上方时，作于，由（2）知，利用含角的直角三角形的性质得，，，在中，利用勾股定理求出的长，再根据，可得答案，当在下方时，同理可得答案． 【详解】（1）解：如图，延长交于H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 延长交于， ∵，， ∴∽， ∴，， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当在上方时，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由（2）知，， 当在下方时，作，交延长线于G， 同理可得，， 由勾股定理得，， 由（2）知，， 综上：或． 118．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 【分析】（1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）先判断出，得出即可；由得出，再由知，即可得出结论； 本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． 119．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，E是菱形对角线上的一点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质． （1）连接，根据菱形的性质得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，同理：，则，即可证明； （2）根据菱形的性质得到，根据等边对等角得到，即，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分，． ∵是上一点， ∴． ∵， ∴，， ∴． 同理：． ∴． 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴． 由（1）得， ∴． 在和中， ∵，， ∴， ， 即． 120．（24-25九年级下·全国·期末）【图形感知】如图①，在四边形中，已知． (1)求的长； (2)【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点E，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中分别是的对应点．其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点F，如图②．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图③．求的长； (3)如图④，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①矩形，理由见解析；② (3)存在，线段的最小值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、图形的折叠性质、矩形和正方形的判定与性质以及圆的性质，解题的关键是利用折叠的对称性得到线段和角的等量关系，结合相似三角形、圆的性质将几何问题转化为线段最值问题求解． （1）由得，进而证；用勾股定理求出，再根据相似三角形的对应边成比例，计算得． （2）①由折叠性质得，结合推出，再根据，依据三个角是直角的四边形是矩形，判定四边形是矩形；②延长和交于点，由折叠及证四边形是正方形，得，证；用勾股定理求，结合得，进而求出． （3）由折叠性质得是的垂直平分线，，判定点在以为直径的圆上；设圆心为中点，根据，当在上时最小；用勾股定理求出，，得的最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴． 又∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：①四边形是矩形．理由如下：由折叠的性质得， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ②如图①，延长和相交于点Q，连接， 由折叠的性质得， ， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴四边形是正方形． ∵ ， ∴点E在对角线上． ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴ ， ∴ ． （3）存在．线段的最小值为． 理由：由折叠的性质得， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点P在以为直径的圆上，圆心为的中点． 设圆心为O，如图②，连接， 由三角形三边关系及点P在圆上的运动特点可得， 即点P在上时，线段取得最小值． ∵ ， ∴线段的最小值为． 题型九 锐角三角函数实物模型问题（共7小题） 121．（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 128．（2025·山东青岛·二模）图1是一台工业用机械臂，图2是其示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于点，且．将绕点向下旋转，使得落在的位置（如图），此时，求点到水平地面的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】点到水平地面的距离约为 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线将复杂线段分解，利用三角函数和矩形性质计算各部分长度，再求和得到最终距离是解题的关键．通过作辅助线，将点到地面的距离分解为多个线段的和，利用三角函数和已知线段长度分别计算各部分，最终求和得到总距离． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，过点作垂足为，延长交于点， 由题意得：， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 点到水平地面的距离约为． 129．（24-25九年级上·福建泉州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下． 项目 设计遮阳棚前挡板 素材 厦门是福建省的一座沿海旅游城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数小时左右，因此大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳棚． 素材 我市某景点的游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图，遮阳篷的长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面的高度为．如图，通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影． 运算过程 …… 该报告运算过程还没有完成，请帮助实践兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数、矩形的判定和性质．首先过点作，过点作，延长交于点，可得四边形和四边形是矩形，根据，利用三角函数可得，，从而可得，根据，从而可得关于的方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，延长交于点， 则， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， 又， 则， 又， ， 又， ， ， ， 解得：， 前挡板的宽度为． 130．（23-24九年级上·辽宁·期末）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m； (2)铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的概念和直角三角形问题中的常见视角；掌握利用锐角三角函数求线段长的方法及运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法是解题关键． （1）过A作交延长线于E，利用锐角三角函数就可以求出所要求的结果． （2）过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H，则四边形为矩形，再利用锐角三角函数求出，，最后求出． 【详解】（1）解：如下图，过A作交延长线于E， ，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m． （2）如上图，过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H， 则， 四边形为矩形， ． ， ； ， 在中，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 131．（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．      (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：．    （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． 132．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：    (1)测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．    如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示） 【答案】(1)； (2)山高为69米； (3)山高的高为米．． 【分析】（1）利用互余的性质即可求解； （2）先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解； （3）先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，      ∴； （2）解：在中，．    ∴， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， 在中，，米， ∴(米)， ∴山高(米)， 答：山高为69米； （3）解：如图，由题意得，，    设山高，则，    在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，山高 答：山高的高为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 133．（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 参考数据：，． 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天点，小明坐在离支架米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？ 任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围． 【答案】任务1：米；任务2：会被照射到；任务3： 【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出。可证，最后利用三角函数即可得出的长度 （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可； （3）时，在到之间，通过三角函数分别求出两种极端情况下的长度，即为的取值范围． 【详解】解（1）如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）．      （2）方法1： 如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ． 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到．    方法2： 如图2，过点作交于点． 与方法1同理得，得，， ． 在中，． 小明会被照射到． （3）由（2）知，当时，； 由（1）知，， 当时， 在中，， ， ， 在中，， 在中，当时，， ； ． 1．如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为9，则的值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积；比例系数k的几何意义可得，由三角形中线的性质可得，进而得出，再由，可列出方程求解. 【详解】解：过M点作，垂足为， ∵的中点为，， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得. 故选：C. 2．如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.依据题意，由是的中点，，从而，进而设，再表示出，进而代入反比例函数解析式可以得解． 【详解】解：由题意，∵由是的中点，， ∴， 设， 又， ∴， 又∵在函数， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 4．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到， 然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高， 由题意可得，， ∴. 即物体的高为， 故答案为：． 5．（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，不等式的性质． （1）分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围； （2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与的差的绝对值，比较大小即可证明结论． 【详解】解：（1）当时，显然成立， ∴； 当时，不等式对一切实数x都成立， ∴， 解得， 综上，k的取值范围为； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴比远离． 6．【问题探究】 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____________； (2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且．求的值； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及添加合理的辅助线是解题的关键． （1）利用可证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）根据可证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，根据可证明，列出比例式，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与交于点， ∵四边形是正方形， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ， ∴四边形为矩形， ， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ． 7．如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)的长为或 (2)关于的函数解析式及的取值范围为： 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）如图所示，过点作延长线于点，则，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可； （2）如图所示，在上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∴， 整理得，，则， 解得，或， ∴当时，； 当时，； ∴的长为或； （2）解：如图所示，在上取点，使得，则，， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合， ∴， ∴关于的函数解析式及的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $