专题06 数列的概念、等差数列与等比数列的基本量运算（16个题型）（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题06 数列的概念、等差数列等比数列基本量运算（16个题型） 考点01 数列的通项 考点02 判断或写出数列中的项 考点03 根据数列的单调性求参 考点04 利用an与Sn的关系求通项或项 考点05 数列周期性的应用 考点06　等差数列的判断与证明 考点07　等差数列的通项公式及其应用 考点08　等差数列性质的应用 考点09　等差数列前项和的比值问题 考点10　等差数列片段和性质及前n项和其他性质 考点11　等差数列的奇数项与偶数项和 考点12　等比数列的判断与证明 考点13　等比数列的通项公式及其应用 考点14　等比数列性质的应用 考点15　等比数列片段和性质及前n项和其他性质 考点16　等比数列的奇数项与偶数项和 考点01 数列的通项 1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 2．下列命题： ①已知数列，，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，，，，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①令从而判断是否是数列的项，结合数列单调性判断；②找规律即可判断；③先求出通项公式，然后代入求解；④根据数列的单调性定义判断. 【解析】对于①，令，易知最大项为第1项．①正确； 对于②，数列变为 可知是一个符合的通项公式，②正确； 对于③，，且．③正确； 对于④，由，则数列是递增数列，④正确． 故选：A 3.已知数列的前项之和为且，若已经算出，，则猜想等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出，归纳推理出即可得解. 【解析】，，，， 同理可得， 观察1，，，，…，猜想． 故选：D. 4．（多选）下列有关数列的说法正确的是（  ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 【答案】AD 【分析】利用数列的概念、通项公式一一判定选项即可. 【解析】对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量， 所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为， 所以该数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：AD. 5.（多选）已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【解析】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 6．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 【答案】(1)（）；(2)（）；(3)（）． (4)（）；(5)（）． 【分析】先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律把这五个数列表示成式子即可． 【解析】（1）数列的前几项可记为，，，，…， 所以该数列的一个通项公式为（）； （2）数列的整数部分1，2，3，4，…，，…恰好是序号，分数部分，，，，…与序号的关系为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （3）将原数列改写为，，，，…， 易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式． 第2项－1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号的关系可记为． 而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号的关系可记为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （5）因为，，，所 以该数列的一个通项公式为（）． 考点02 判断或写出数列中的项 7．已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【解析】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C. 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法求解出的通项公式，由此可求的值. 【解析】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以， 故选：D. 9．（多选）若数列的通项公式为，则（  ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【解析】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 10．已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）；（2）为数列中的项，为第3项；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据数列的通项公式，直接计算，即可得出结果； （2）令，列出方程求，即可判断出结果； （3）化通项公式，判定，即可得出结论成立. 【解析】（1）根据题意可得； （2）令，即，解得， ∴为数列中的项，为第3项； （3）由题知， ∵，∴，∴，∴，即 考点03 根据数列的单调性求参 11.已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【解析】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C. 12.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【解析】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：C. 13.已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【解析】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 14.已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可. 【解析】命题若是上的减函数，得 ，解得， 命题对于任意的正整数，，都有， 不妨令，可得，有 ， 由题，知，解得， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 15.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【解析】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得. 当时，单调递增， 若对任意，都有，则且， 即且，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为： 考点04 利用an与Sn的关系求通项或项 16．已知数列的前项和，则（  ） A．191 B．192 C．193 D．194 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【解析】因为，则， 故选：C 17.已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【解析】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 18.设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果. 【解析】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 19．记为正项数列的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得的值，当时，由得出，两式作差可推导出数列为常数列，求出数列的通项公式，即可得解. 【解析】因为为正项数列的前项和，且， 令可得，故， 当时，， 两式相减得到，即，故， 于是为常数列，故，故，故. 故选：B. 20.已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【解析】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以 故答案为: 21.已知数列满足：，，则___________ 【答案】4 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【解析】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故答案为:4 考点05 数列周期性的应用 22.已知数列的前项和为，若，且，，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，得，可得数列的周期，利用周期性求和的方法，即可得解. 【解析】由，得，所以数列是周期为4的数列， 所以由，，得，， 所以， 所以， 故选：D． 23.在数列中，中，则的前项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到数列是以为周期的周期数列，即可求解. 【解析】因为， 所以，， 而，所以数列是以为周期的周期数列， 所以的前项和， 故选：C． 24.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 25.（多选）设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项. 【解析】对于A选项，因为数列满足，，则， ，，，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列， 即对任意，，B对； 对于C选项，因为，且， 则，C对； 对于D选项，因为， 则，D错. 故选：ABC. 26.已知数列的首项为，且，则 ． 【答案】 【分析】求出，得到数列是以4为周期的周期数列，从而求出. 【解析】由题可得， 所以数列是以4为周期的周期数列，故． 故答案为： 27.已知数列满足，，则_________ 【答案】-1 【分析】先求出数列的周期为，可得. 【解析】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故答案为：-1 考点06　等差数列的判断与证明 28．若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【解析】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 29．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【解析】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 30．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 31．（多选）已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，结合赋值法逐项分析判断. 【解析】数列中，， 对于A，，则，有， 即存在，满足，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则， ，构成公差为4的等差数列，C正确； 对于D，，，则，D正确. 故选：ACD 32．已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）利用可得，然后整理得，即可证明数列为等差数列，然后求通项即可； （2）利用裂项相消求和即可. 【解析】（1）由可得， 相减可得， 所以，可得， 因为为正项数列，所以，， 则，数列为等差数列，且公差为2， 故． （2）因为， 所以． 33．已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【解析】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2）由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是：. 考点07　等差数列的通项公式及其应用 34．在等差数列中，，则（  ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【解析】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 35．在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式列方程求解. 【解析】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 36．已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d， 已知 ， 作差得，即， 所以. 故选：C 37．在无穷等差数列中，若，且，则 ． 【答案】0 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，进而求出答案. 【解析】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 38.记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【解析】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 考点08　等差数列性质的应用 39．已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【解析】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 40．等差数列中，若，则等于（  ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质和通项公式即可求解. 【解析】在等差数列中，有，所以， 公差， 所以， 故选：C. 41．在等差数列中，若，则的值为（  ） A．6 B．16 C．24 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值，根据通项公式计算即可得出结果. 【解析】由等差数列的性质：，设等差数列的公差为， 而. 故选：C. 42．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 43.在等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】40 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【解析】由可得，故， 则， 故答案为：40. 考点09　等差数列前项和的比值问题 44．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【解析】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 45．已知等差数列 的前项和分别为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【解析】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 46．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【解析】由题意得 所以. 故答案为： 考点10　等差数列片段和性质及前n项和其他性质 47．在等差数列中，为其前项的和，若，则为（  ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【解析】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 48．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【解析】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：D 49.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解析】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 50．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（  ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可判断其公差，即判断AC，再利用前项和公式即可判断BD. 【解析】对A，因为等差数列，则，则，故A错误； 对B，设等差数列的公差为，则，则， 则的最小值为，故B正确； 对C，因为，则数列为递增数列，故C错误； 对D，因为，，则， 则，故D错误. 故选：B. 51.已知为等差数列的前项和，若且则（  ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式，求解即可. 【解析】由题意可得，，化简， 所以，. 故选：B. 52.（多选）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【答案】AC 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【解析】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 53．（多选）记为数列的前项和，已知，，则（  ） A． B．取最小值时 C．是等差数列 D． 【答案】CD 【分析】利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D. 【解析】对于A，由， 可得，即，故A错误； 对于B，条件变形有， 所以是以为首项为公差的等差数列，则， 所以， 由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误； 对于C，由作差得， 而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确； 对于D，由上可知， 所以，故D正确. 故选：CD 54.（多选）已知等差数列的前项和为，若，则（  ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【解析】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 55.（多选）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（  ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【解析】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确； B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以本选项正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确， 故选：ACD 56.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【解析】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 考点11　等差数列的奇数项与偶数项和 57．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（  ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 58．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系 【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 59．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【解析】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 60．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1)；(2)；(3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【解析】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 考点12　等比数列的判断与证明 61．设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解析】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 62．（多选）已知等比数列满足，则（  ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 【答案】ACD 【分析】A选项，利用求出公比；B选项，求出，相加得到答案；C选项，，从而得到；D选项，，得到，D正确. 【解析】A选项，设公比为，由得，解得，A正确； B选项，因为，所以，B错误； C选项，因为，所以，则， 故，为等比数列，C正确； D选项，因为，所以， 所以，所以数列的公比为16，D正确． 故选：ACD 63．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【解析】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 64．（24-25高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【解析】（1）， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 65．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【解析】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可知是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以. 考点13　等比数列的通项公式及其应用 66．已知数列是公比为的等比数列，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式即可求解. 【解析】由题意得，由，得. 故选：B. 67．设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解析】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 68．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 69．在等比数列中，，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的基本量计算求解得出公比. 【解析】依题意得， 两式相除得，所以， 即. 利用试根法分解因式得，解得． 故答案为：2. 70.已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式. 【解析】因为， 所以，， 又是的比例中项，所以，即， 显然且，故解得； 当是奇数时，，， 所以，而， 所以数列是等比数列， 则，即； 当是偶数时，则； 综上可得. 故答案为： 71.已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题中所给的条件，将分别代入求得结果； （2）得出数列的相邻两项之间的递推关系，验证前两项，从而得出数列为等比数列，从而写出数列的通项公式. 【解析】（1）当时，可得，解得，. 当时，可得，， 解得. （2）因为，当时，. 所以， 即，（）， 另由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. . 考点14　等比数列性质的应用 72．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质可求得的值，再由，即可求得的值. 【解析】在等比数列中，已知，，可得， 所以，解得. 故选：D. 73．在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解. 【解析】等比数列中，，则， 故. 故选：C. 74．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（  ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【解析】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 75．已知数列为等比数列，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算以及等比数列下标和的性质可得，然后代入计算，即可求解. 【解析】由于， 则，所以． 故答案为： 考点15　等比数列片段和性质及前n项和其他性质 76．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【解析】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 77．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【解析】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 78．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （  ） A．， B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列求和公式得到，再结合的单调性即可求解. 【解析】由， 由等比数列求和公式可得， 当为奇数时，， 又， 所以时，得最大值 当为偶数时，， 又， 所以时，得最小值 由函数，在单调递增， 所以当时，取得最大值， 所以当时，取得最小值， 故选：A 79.已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【解析】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 80.已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析；(2)10 【分析】（1）对已知数列的递推公式两边取倒数，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列的前项和公式可得，可得为递增数列，由即可求解. 【解析】（1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 考点16　等比数列的奇数项与偶数项和 81.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 82.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 83.已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】对分奇数偶数讨论求求解即可. 【解析】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 84.已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【解析】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列的概念、等差数列等比数列基本量运算（16个题型） 考点01 数列的通项 考点02 判断或写出数列中的项 考点03 根据数列的单调性求参 考点04 利用an与Sn的关系求通项或项 考点05 数列周期性的应用 考点06　等差数列的判断与证明 考点07　等差数列的通项公式及其应用 考点08　等差数列性质的应用 考点09　等差数列前项和的比值问题 考点10　等差数列片段和性质及前n项和其他性质 考点11　等差数列的奇数项与偶数项和 考点12　等比数列的判断与证明 考点13　等比数列的通项公式及其应用 考点14　等比数列性质的应用 考点15　等比数列片段和性质及前n项和其他性质 考点16　等比数列的奇数项与偶数项和 考点01 数列的通项 1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 2．下列命题： ①已知数列，，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项； ②数列，，，，…的一个通项公式是； ③已知数列，，且，则； ④已知，则数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知数列的前项之和为且，若已经算出，，则猜想等于（  ） A． B． C． D． 4．（多选）下列有关数列的说法正确的是（  ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 5.（多选）已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 6．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 考点02 判断或写出数列中的项 7．已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（  ）    A． B． C． D． 9．（多选）若数列的通项公式为，则（  ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 10．已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 考点03 根据数列的单调性求参 11.已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 12.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 13.已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 14.已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是_____________ 考点04 利用an与Sn的关系求通项或项 16．已知数列的前项和，则（  ） A．191 B．192 C．193 D．194 17.已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 18.设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 19．记为正项数列的前项和，且，则（   ） A． B． C． D． 20.已知数列的前项和为，且，则___________． 21.已知数列满足：，，则___________ 考点05 数列周期性的应用 22.已知数列的前项和为，若，且，，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 23.在数列中，中，则的前项和为（  ） A． B． C． D． 24.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 25.（多选）设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（   ） A． B． C． D． 26.已知数列的首项为，且，则 ． 27.已知数列满足，，则_________ 考点06　等差数列的判断与证明 28．若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 31．（多选）已知数列的前项和为，满足，则（   ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 32．已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 33．已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点07　等差数列的通项公式及其应用 34．在等差数列中，，则（  ） A．18 B．20 C．22 D．24 35．在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 36．已知是等差数列，且，则（   ） A．55 B．58 C．61 D．64 37．在无穷等差数列中，若，且，则 ． 38.记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 考点08　等差数列性质的应用 39．已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 40．等差数列中，若，则等于（  ） A． B．0 C． D．1 41．在等差数列中，若，则的值为（  ） A．6 B．16 C．24 D．60 42．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 43.在等差数列中，若，则的值为 ． 考点09　等差数列前项和的比值问题 44．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 45．已知等差数列 的前项和分别为，且，则（  ） A． B． C． D． 46．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 考点10　等差数列片段和性质及前n项和其他性质 47．在等差数列中，为其前项的和，若，则为（  ） A．42 B．48 C．60 D．72 48．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 49.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 50．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（  ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 51.已知为等差数列的前项和，若且则（  ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 52.（多选）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 53．（多选）记为数列的前项和，已知，，则（  ） A． B．取最小值时 C．是等差数列 D． 54.（多选）已知等差数列的前项和为，若，则（  ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 55.（多选）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（  ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 56.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 考点11　等差数列的奇数项与偶数项和 57．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（  ） A．15 B．17 C．19 D．21 58．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 59．已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 60．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 考点12　等比数列的判断与证明 61．设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 62．（多选）已知等比数列满足，则（  ） A．公比 B． C．为等比数列 D．数列的公比为16 63．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 64．（24-25高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 65．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 考点13　等比数列的通项公式及其应用 66．已知数列是公比为的等比数列，且，则（  ） A． B． C． D． 67．设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 68．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 69．在等比数列中，，且，则公比 ． 70.已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 . 71.已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 考点14　等比数列性质的应用 72．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 73．在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 74．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（  ） A．32 B．34 C．65 D．67 75．已知数列为等比数列，，则 ． 考点15　等比数列片段和性质及前n项和其他性质 76．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 77．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 78．已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （  ） A．， B． C． D． 79.已知等比数列的前项和为，若，则 ． 80.已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 考点16　等比数列的奇数项与偶数项和 81.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 82.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 83.已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（  ） A．2 B． C． D． 84.已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $