专题2.8 函数图象与函数零点问题（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题2.8 函数图象与函数零点问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 1 【题型2 函数图象的识别】 4 【题型3 函数图象的应用】 6 【题型4 函数零点所在区间的判断】 8 【题型5 求函数的零点或零点个数】 10 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 12 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 15 【题型8 嵌套函数的零点问题】 18 【题型9 导数中的函数零点问题】 21 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 1．（25-26高三上·北京·月考）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【答案】C 【解题思路】根据函数平移的原则一一分析即可. 【解答过程】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得，故A错误； 对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误； 对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确； 对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·广东佛山·月考）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图像的变换即可求解. 【解答过程】由图像可知的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得函数的图像， 所以. 故选：A. 3．（2025高一·全国·专题练习）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解法一：利用函数对称和平移直接求解即可； 解法二：先求出的定义域即可排除BD，再结合特殊值排除A，即可求解. 【解答过程】解法一：将函数的图象关于轴对称，可得函数的图象， 再向右平移2个单位长度得函数的图象，即的图象． 解法二：由的定义域可知，，则， 即的定义域是，排除BD， 由题图可知，所以在中，时，， 排除A，而C满足题意. 故选：C． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数图象的翻折变换判断即可. 【解答过程】因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分， 然后将轴左侧图象翻折到轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是. 故选：C. 【题型2 函数图象的识别】 5．（2025·四川成都·三模）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分、将函数解析式化简，分别说明函数的单调性与函数的取值情况，即可判断. 【解答过程】函数的定义域为， 当时，所以在上单调递增，且， 当时，所以在上单调递增，且. 所以符合题意的只有D. 故选：D. 6．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项． 【解答过程】由已知，定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C； 又，故D错误，A正确． 故选：A． 7．（2025·甘肃白银·三模）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数的奇偶性及零点逐个排查即可. 【解答过程】因为，所以函数是奇函数，排除选项A； 因为，当时，，排除选项D； 由知函数在时的第一个零点为，且，由图中所标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误． 故选：B． 8．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合即可求解. 【解答过程】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B. 【题型3 函数图象的应用】 9．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由可得或，利用指数函数的单调性与图象可得出原不等式的解集. 【解答过程】因为函数的定义域为，由可得或， 解不等式组，结合图形可得，得， 解不等式组，结合图形可得，得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 10．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【解题思路】根据函数的图象和性质分别进行判断即可. 【解答过程】由图象知函数的定义域为，故A错误， 函数的值域为，故B错误， 函数在定义域内既不是增函数也不是减函数，故C正确， 对任意的，存在两个不同的自变量与之对应，故D错误， 故选：C. 11．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【解答过程】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 12．（25-26高一上·北京房山·期中）如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【解题思路】根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可. 【解答过程】解：当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加， 所以，由图（2）可知，这段路程为，即， 同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变， 由图（2）知，这段路程为，即， 当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少， 由图（2）知，这段路程为，即， 所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形， 所以， 所以，在中，易得，即 所以，的面积为 故选：B. 【题型4 函数零点所在区间的判断】 13．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【解答过程】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C. 14．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在定理计算求解. 【解答过程】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 15．（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在定理计算判断即可. 【解答过程】函数是由指数函数和幂函数相减而成. 单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. ， 因为为减函数，所以，即， ， 因为在上为增函数，所以，即， 所以，所以该区间存在零点，C正确； 结合在上单调递减. 在、、无零点，故ABD错误. 故选：C. 16．（25-26高一上·四川达州·月考）函数零点所在的大致区间为，则为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先根据函数的单调性判断函数零点个数，再利用函数零点存在性定理进行判断. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 所以函数在上至多1个零点. 又，， 所以函数在上有零点. 综上，函数只在有1个零点. 故选：B. 【题型5 求函数的零点或零点个数】 17．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【解答过程】直接解方程即得函数的零点. 【解题思路】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 18．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【解答过程】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B. 19．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由单调性结合，与0的大小可得，由单调性结合与0的大小可得，据此可得答案. 【解答过程】注意到在上单调递增， ，注意到， 又，则，则， 又，则； 令，得； 在R上单调递减，注意到. 则，即. 故选：D. 20．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 21．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数零点的定义先确定当时，有1个零点，进而得到当时，只有一个零点，进而转化问题为方程在时有一个解，再结合指数函数的性质求解即可. 【解答过程】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点， 即方程在时有一个解， 即方程在时有一个解， 因为函数为增函数， 且当时，， 则，即. 故选：B. 22．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【解答过程】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D. 23．（25-26高一上·上海宝山·月考）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】将问题转化为方程有2个非零根，画出 的图象，再根据与直线有2个交点数形结合求解即可. 【解答过程】方程即， 显然为方程的一个根， 由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点， 画出函数的图象，如图所示： 由图可知，故实数的取值范围为. 故答案为：. 24．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围即可. 【解答过程】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为：. 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 25．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【解答过程】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 26．（2025·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【解答过程】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 27．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【解答过程】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C. 28．（2025·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合可得且、，从而将转化为，令，，判断函数的单调性，从而求出的值域，即可得解. 【解答过程】因为，所以，，，， 又函数对称轴为， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 因为方程有四个不同的解，，，，且， 即与有四个交点，所以， 由图可知， 又，关于对称，即， 又，且， 即，则， 所以，则； 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又，， 所以， 即． 故选：D． 【题型8 嵌套函数的零点问题】 29．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【解答过程】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图：      又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当 ，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B. 30．（2025·安徽·一模）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 【答案】A 【解题思路】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【解答过程】先作出的大致图象，如下    令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又 ， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A. 31．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【解答过程】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 32．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】作出函数的图象，则在时直线与的图象有4个交点，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【解答过程】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 【题型9 导数中的函数零点问题】 33．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）若，则，，设切点，此切线的斜率，求出切线方程，再由过原点，求出切线方程; (2) ,分为当时，当时，求解单调性，再由函数有两个零点，求出参数的范围. 【解答过程】（1）若，则，，设切点， 此切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，， 则切线方程为； （2）， ①当时，，，， 在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意； ②当时，令，解得（舍去），， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，，，，，， 所以要使函数有两个零点，则， ， 令，， 令，， 所以在上单调递增， 又因为，得到，解得． 综上所述：． 34．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导得到表达式，把代入，能得到含的等式，算出.再代入到算出另一个未知量b. （2）根据第（1）问结果得到和. 令，对处理，根据结果判断在不同范围的增减情况. 依据正负，判断在不同范围的增减，得出最小是. 算出小于，再找两点使式子值大于，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为，发现也是，所以和为. 【解答过程】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. ，算出. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，， 经计算， 所以也是零点，零点和为. 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数的导数，按讨论单调性，借助零点存在性定理及函数最值情况分类得解. （3）由（2）可得，再利用不等式性质及累加法推理得证. 【解答过程】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 36．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据指数函数和一次函数性质得到为单调递增函数，再利用零点存在性定义即可判断零点所在区间. 【解答过程】因为指数函数在上单调递增，一次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. ；；； ；； 因为函数在上单调递增，且， 所以函数的零点所在区间为. 故选：D. 2．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解. 【解答过程】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【解答过程】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】寻找图象中函数的性质，代入函数式验证. 【解答过程】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负， 对于A：, ，满足，A正确； 对于B：，不满足，B错误； 对于C：，不满足，C错误； 对于D：， ，不满足，D错误； 故选：A. 5．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【解答过程】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 6．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】先求出零点满足，再结合特殊值及角的范围求解零点个数. 【解答过程】函数零点满足 所以或舍， 在上的值为， 所以函数在上的零点个数为6个. 故选：C. 7．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【解答过程】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 8．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【解答过程】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 9．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【解答过程】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 10．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【解答过程】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A. 二、填空题 11．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【解题思路】令，得解出即可求解. 【解答过程】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 12．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【解答过程】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：.    B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可. 【解答过程】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数， 对于B，的定义域为，且，奇函数； 对于D，的定义域为，，奇函数； 因此排除选项B，D这两个奇函数； 由图象知，若取一个很小的正数，比如， 对于A：，函数值为正数，因此排除A. 对于C: 的定义域为， ，，综上只有C符合， 故选：C. 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平移变换可得，判断函数的奇偶性，结合赋值法可得结论. 【解答过程】因为，所以，其定义域为， 且，所以为偶函数，故排除BC； 又时，， 当时，，故排除A， 故选：D. 3．（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象，比较零点的大小. 【解答过程】令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则；化简得， 即，换底后得到； 分别画出它们的图象为：      由图可以看出. 故选：A. 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【解答过程】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 5．（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先对已知等式进行变形，构造出函数，然后将、、分别转化为函数与、、交点的横坐标，最后通过画出这些函数的图象，根据图象的位置关系来确定、、的大小关系. 【解答过程】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为； 同理，由，可得到，即； 由，可得到，即； 令，，对求导得， 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减； 当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增； 当时，； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标；   在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示：    从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 故选：A. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【解答过程】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D. 二、填空题 7．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解题思路】由得出关于对称，根据时的表达式结合对称性作出的图象，分，，三种情况讨论与的交点情况，并利用交点数恰好为得出对应的实数的范围，从而求解． 【解答过程】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线， 由时，，作出与的图象如下图所示， 当时，函数是过定点，开口向上的折线， 如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点， 设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为， 所以，解得，满足条件，所以； 当时，函数与的交点情况如下图所示， 所以时，函数与的图象有个交点，满足条件； 当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示， 此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件； 综上所述，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 8．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【解答过程】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 函数图象与函数零点问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 1 【题型2 函数图象的识别】 3 【题型3 函数图象的应用】 4 【题型4 函数零点所在区间的判断】 5 【题型5 求函数的零点或零点个数】 6 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 6 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 6 【题型8 嵌套函数的零点问题】 7 【题型9 导数中的函数零点问题】 7 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 1．（25-26高三上·北京·月考）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 2．（25-26高三上·广东佛山·月考）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　）    A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【题型2 函数图象的识别】 5．（2025·四川成都·三模）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（2025·甘肃白银·三模）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数图象的应用】 9．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应 11．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·北京房山·期中）如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．24 【题型4 函数零点所在区间的判断】 13．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 15．（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·四川达州·月考）函数零点所在的大致区间为，则为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 求函数的零点或零点个数】 17．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 18．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，，的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 20．（2025·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 21．（2025·陕西西安·二模）已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·上海宝山·月考）已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为 . 24．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 25．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 26．（2025·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足 ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·四川成都·二模）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 嵌套函数的零点问题】 29．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 30．（2025·安徽·一模）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 31．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 32．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【题型9 导数中的函数零点问题】 33．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 34．（2025·安徽合肥·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 35．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 36．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 6．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、填空题 11．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 12．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $