精品解析：四川省达州市外国语学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

四川省达州市外国语学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行 D. 同旁内角互补 2. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分 95 98 95 98 方 差 1.4 0.1 0.5 1.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 6. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 8. 已知关于x，y的方程组，其中﹣2≤a≤0．下列结论：①当a＝0时，x，y的值互为相反数；②是方程组的解；③当a＝﹣1时，方程组的解也是方程2x﹣y＝1﹣a的解；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个数的算术平方根是，则这个数是 ____． 10. 一次函数的图像不经过第__________象限. 11. 如图，是的角平分线，，若，则的度数为____． 12. 住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为_______________． 13. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1） 计算： （2）解方程组： 15. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 16. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 17. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 18. 已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在AB、CD之间，O、B、D三点均在直线EF的同侧． （1）如图1，求证：∠EOF＝∠BEO+∠DFO； （2）如图2，若OE⊥OF，EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，求∠G的度数； （3）如图3，若∠EOF的度数为α，EM平分∠BEO交FO的延长线于M，FN平分∠DFO交EO的延长线于点N，求∠M+∠N的度数（用含α的式子表示）． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若是直线上的两点，则_____ （填,或=） 20. 将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为________． 21. 如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、点B，P是上的一点，若将沿折叠，使点B恰好落在x轴上的点处，则直线的表达式是_____． 23. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ________（填写序号）． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ． （2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ． 【拓展延伸】 （3）化简． 25. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）_______，_______，点的坐标为_______； （2）当点移动4秒时，求出点的坐标； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． （1）求点P的坐标． （2）点D是y轴上一动点，当时，求点D坐标． （3）点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线于点M，点N，设点Q的横坐标为m，当时，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市外国语学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，垂直于一条直线的两条直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角； B、错误，当被截的两条直线平行时形成的同位角才相等； C、正确，必须强调在同一平面内； D、错误，两直线平行同旁内角才互补． 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分 95 98 95 98 方 差 1.4 0.1 0.5 1.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案． 【详解】解：由表知四位同学中乙、丁的平均成绩较好，又乙的方差小于丁， 所以乙的成绩好且稳定， 故选：B． 3. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为． 故选：B． 4. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换． 5. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质． 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，得到，据此利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分平分， ∴ ∴， 由勾股定理可知． 故选B． 6. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ） A. a－b＝0 B. a＋b＝0 C. ab＝1 D. a2＝b2 【答案】C 【解析】 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项． 【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-， ∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意； a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意； ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意； ∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4， ∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 8. 已知关于x，y的方程组，其中﹣2≤a≤0．下列结论：①当a＝0时，x，y的值互为相反数；②是方程组的解；③当a＝﹣1时，方程组的解也是方程2x﹣y＝1﹣a的解；其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】把a＝0代入方程组，可求得方程组的解，把代入方程组，可得a＝1，可判断②；把a＝﹣1代入方程可求得a的值为2，可判断③；可得出答案． 【详解】解：①当a＝0时，原方程组为，解得， ②把代入方程组得到a＝1，不符合题意． ③当a＝﹣1时，原方程组为，解得， 当时，代入方程组可求得a＝﹣1， 把与a＝﹣1代入方程2x﹣y＝1﹣a得，方程的左右两边成立， 综上可知正确的为①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 一个数的算术平方根是，则这个数是 ____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴这个数是 故答案为： 10. 一次函数的图像不经过第__________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数经过或不经过的象限． 【详解】解： 一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键，，图像经过第一、二、三象限；，图像经过第一、三、四象限；，图像经过第一、二、四象限；，图像经过第二、三、四象限． 11. 如图，是的角平分线，，若，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，最后再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为，饭店的坐标为，则小明家点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；由题意可在图中作出坐标系，然后问题可求解． 【详解】解：由骑手A点的坐标为，饭店的坐标为可建如下坐标系： ∴小明家点的坐标为； 故答案为． 13. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是___________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为25． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1） 计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二次根式的化简，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算绝对值，负整数指数幂，利用平方差进行计算，再合并即可； （2）先整理方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2） 整理可得， 得 ， 解得， 把代入①可得， 解得， 所以是原方程的解． 15. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 16. “低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： （1）填空：样本中的总人数为 ；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？ 【答案】（1）80，20，72； （2）16，补全统计图如图所示； （3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 【解析】 【分析】（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解. （2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可. （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可． 【详解】解：（1）80，20，72. （2）骑自行车的人数为：80×20%=16人， （3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车， 由题意得，，解得x≥50. 答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用． 17. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【小问1详解】 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 【小问2详解】 解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 18. 已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在AB、CD之间，O、B、D三点均在直线EF的同侧． （1）如图1，求证：∠EOF＝∠BEO+∠DFO； （2）如图2，若OE⊥OF，EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，求∠G的度数； （3）如图3，若∠EOF的度数为α，EM平分∠BEO交FO的延长线于M，FN平分∠DFO交EO的延长线于点N，求∠M+∠N的度数（用含α的式子表示）． 【答案】 （1）证明：如图，过点O作OP∥AB，则∠EOP＝∠BEO ， ∵OP∥AB，AB∥CD， ∴OP∥CD， ∴∠FOP＝∠DFO， ∴∠EOF＝∠EOP+∠FOP＝∠BEO+∠DFO． （2）∠G＝45°． （3）∠M+∠N＝α． 【解析】 【分析】（1）如图，过点O作OP∥AB，则∠EOP＝∠BEO，∠FOP＝∠DFO，等量代换即可得证； （2）由（1）可知∠G＝∠BEG+∠DFG，根据OE⊥OF，EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO，即可求得； （3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y，则由（1）得，x+y＝α，进而根据（1）的结论，求得∠M和∠N，即可求得∠M+∠N． 【详解】解：（1）略 （2）∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， 由（1）知∠BEO+∠DFO＝90°，∠G＝∠BEG+∠DFG， ∵EG、FG分别平分∠BEO和∠DFO， ∴∠G＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEO+∠DFO）＝＝×90°＝45°． （3）设∠BEO的度数为x，∠DFO的度数为y， 则由（1）得，x+y＝α， 由（1）得，∠M＝∠BEM+∠DFM＝x+y①， ∠N＝∠BEN+∠DFN＝x+y②， ①+②得，∠M+∠N＝（x+y）＝α． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，掌握平行线的性质是解题的关键． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若是直线上的两点，则_____ （填,或=） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：中，， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 20. 将长方形分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形的周长为________． 【答案】58 【解析】 【分析】题目主要考查列代数式，设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y，则，设，根据题意确定，即可得出边长，然后求周长即可，找准图中各边的关系是解题关键． 【详解】解：设正方形①的边长为x，正方形②的边长为y， 则左下角正方形的边长为，右上角正方形边长为， ∴， 设，则， ∵两个阴影部分周长之和为68， ∴即， ∴， 解得：， ∴正方形①的边长为，正方形②的边长为， ∴， ∴长方形的周长为：， 故答案为：58． 21. 如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A、点B，P是上的一点，若将沿折叠，使点B恰好落在x轴上的点处，则直线的表达式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 由解析可得、，根据勾股定理，中，构建方程求解得，于是，然后运用待定系数法建立方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，, ∴ ∴，， ∴， 由折叠知，， ∴． 在中，， ∴，解得∶． ∴ 设直线的解析式为，得 ，解得， ∴． 故答案为：． 23. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点，的落点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质和平行线的性质分别求出各个角之间的数量关系，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，但不一定等于， ∴不一定垂直于， ∴不一定与平行，故②不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴即，故③正确； ∵， 又∵， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，且、均为正整数，则 ______ ， ______ ． （2）若，当、均为整数时，则 ______ ， ______ ． 【拓展延伸】 （3）化简． 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）由，得，可解得答案． （2）由，可得答案． （3）把被开方数配成完全平方式可得答案． 【详解】解：（1）， ， 解得：负值已舍去， 故答案为：，； （2）， ，， 故答案为：，； （3）． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算及化简，解题的关键是掌握完全平方公式． 25. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． （1）_______，_______，点的坐标为_______； （2）当点移动4秒时，求出点的坐标； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，求点移动的时间． 【答案】（1）4；6； （2） （3）当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据，可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【小问1详解】 解：∵a、b满足， ∴，， 解得：，， ∴点B的坐标是． 故答案是：4；6；． 【小问2详解】 解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴， ∵，， ∴当点P移动4秒时，在线段上，离点C的距离是：， 即当点P移动4秒时，此时点P在线段上，离点C的距离是2个单位长度，点P的坐标是． 【小问3详解】 解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时, 点P移动的时间是：秒， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． （1）求点P的坐标． （2）点D是y轴上一动点，当时，求点D坐标． （3）点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线于点M，点N，设点Q的横坐标为m，当时，请直接写出m的值． 【答案】（1）点P的坐标为； （2）点D的坐标为或； （3）或8． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积． （1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解； （2）求得点C与点E的坐标，利用三角形面积公式，列式，求解即可； （3）点Q的横坐标为m，由轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，求得点M坐标为，点N坐标为，根据列式求得即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组， 解得， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设点D的坐标为，点E为直线与轴的交点， 令，则； 令，则，解得； ∴点C的坐标为，点E的坐标为， ∴， 由题意得， 解得或， ∴点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：点Q的横坐标为m， ∵轴， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由题意得， 整理得或， 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $