2026年湖南省高二学业水平考试数学模拟题

2026湖南学业水平考试模拟题解析版 一．选择题（共18小题，满分51分） 1．（3分）已知集合，2，3，4，，且，，则（　　） A． B． C． D． 2．（3分）有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是　　 A．11 B．13 C．22 D．33 3．（3分）若，则　　 A． B． C． D． 4．对于任意的，，“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（3分）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为　　 A． B． C． D．1 6．（3分）已知平面向量，若，则　　 A．2 B． C．3 D．5 7．（3分）已知函数，则下列说法错误的是　　 A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．在区间上是减函数 D．的一个对称中心是 8．（3分）已知、、，那么下列命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（3分）已知，，则　　 A． B． C．25 D．5 10．（3分）一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为　　 A． B． C． D． 11．（3分）函数的最大值为　　 A． B．3 C．6 D．9 12．（3分）已知连续函数对任意实数恒有，当时，（1），则以下说法中不正确的是　　 A． B．是上的奇函数 C．在，上的最大值是8 D．在上递减 13．（3分）函数与在的交点有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（3分）已知，，，，则下列命题中一定成立的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 15．（3分）抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作，2，3，4，5，，若事件，4，，事件，5，，事件满足（A）（B）（C），则事件前个数为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 16．（3分）已知定义在上的奇函数的周期为2，且当时，．则函数在区间，内的零点个数为　　 A．5 B．7 C．9 D．11 17．（3分）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 18．（3分）某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的100家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于80分的企业数为　　 A．5 B．15 C．20 D．25 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 19．（4分）已知，，，则　　． 20．（4分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 　　 ． 21．（4分）已知△为等腰三角形，且，则　　 ． 22．（4分）有专家根据相关数据建立了关于某地区在一段时间内感染某病毒的人数的单位：天）的相关模型：，其中为最大被感染数．当时，标志着已初步遏制住了该病毒传播，则约为　　 ．（注为自然对数的底数， 三．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）如图，直三棱柱中中，，，． （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小． 24．（10分）已知，设． （1）当，求函数的值域． （2）若，且，求的值． 25．（10分）已知，，分别为△的内角，，的对边，且满足，． （1）若，求； （2）设角的内角平分线交边于点，若，求△的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026湖南学业水平考试模拟题解析版 一．选择题（共18小题，满分51分） 1．（3分）已知集合，2，3，4，，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，，2，3，4，， 则集合中一定有1和4这两个元素，且集合中一定没有2，3，5这三个元素． 故选：． 2．（3分）有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是　　 A．11 B．13 C．22 D．33 【答案】 【解答】解：已知一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22， 则从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据， 由题意且， 则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即33．故正确． 故选：． 3．（3分）若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：依题意得，，所以，， 所以错误，正确． 故选：． 4．对于任意的，，“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解答】解：当时，或，不一定推出，充分性不成立， 当时，则，推出，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 5．（3分）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【解答】解：由， 故， 故的虚部为． 故选：． 6．（3分）已知平面向量，若，则　　 A．2 B． C．3 D．5 【答案】 【解答】解：平面向量， 则， 因，则，得， 则，则． 故选：． 7．（3分）已知函数，则下列说法错误的是　　 A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．在区间上是减函数 D．的一个对称中心是 【答案】 【解答】解：由题意得， 根据， 可知的图象关于对称，所以项正确； 根据函数的周期为，可知的最小正周期为，故项正确； 当，时，，， 根据，，结合余弦函数的性质，可知在区间，上是减函数，故项正确； 根据， 可知的图象关于直线对称，不能关于点对称，所以项错误． 故选：． 8．（3分）已知、、，那么下列命题中正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【解答】解：对于，若，，则，故错误； 对于，若，，则，但，故错误； 对于，若，此时，则，故正确； 对于，若取，，则，故错误． 故选：． 9．（3分）已知，，则　　 A． B． C．25 D．5 【答案】 【解答】解：由，， 可得， 则． 故选：． 10．（3分）一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设圆台的上、下底面的半径分别为，，由题知， 又母线长为14，则圆台的高为， 轴截面等腰梯形的底角为， 若球与圆台的下底面和侧面相切，如图， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，连接，，易知， 又，不合题意，舍去， 所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的表面积为． 故选：． 11．（3分）函数的最大值为　　 A． B．3 C．6 D．9 【答案】 【解答】解：， ，， ，当且仅当，即时，等号成立， 函数的最大值为3． 故选：． 12．（3分）已知连续函数对任意实数恒有，当时，（1），则以下说法中不正确的是　　 A． B．是上的奇函数 C．在，上的最大值是8 D．在上递减 【答案】 【解答】解：对于，对任意实数，恒有，令，可得，故正确； 对于，令，得，则，所以是奇函数，故正确； 对于，令，则，当时， 所以，即，所以在，均递减， 函数连续，所以在上递减，故正确； 对于，由（1），得；令，得， 所以（2），（3），则，函数在，上的最大值是6，故错误． 故选：． 13．（3分）函数与在的交点有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【解答】解：因为， 由，得，； 又， 所以函数在定义域上为偶函数； 所以当且，时，， 又因为， 所以在定义域上为偶函数， 所以当且，时， ， 因为两函数均为偶函数， 所以要求两函数在的交点个数， 只需求函数在的交点个数， 又因为两函数在、、、时，其中一个函数无意义， 所以当时， 令， 即， 即， 所以或（无解）， 解得； 当，时， ， 此时， 所以函数单调递增，且； 所以； 而， 此时与无交点； 当时， 令， 则， 即， 所以或（无解）， 解得； 当，时，，且单调递减； ， 因为与在，上均单调递减， 所以单调递减， 所以， 所以此时与无交点， 综上，函数与在上有2个交点， 所以函数与在上有4个交点． 故选：． 14．（3分）已知，，，，则下列命题中一定成立的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】 【解答】解：对于，，，取，，，则，故错误； 对于，若，则，所以，故正确； 对于，若，，取，，，，则，故错误； 对于，若，则，故错误． 故选：． 15．（3分）抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作，2，3，4，5，，若事件，4，，事件，5，，事件满足（A）（B）（C），则事件前个数为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】 【解答】解：根据题意，得到，（A）（B）（C）， 则， 当，，等式成立， 当，， 则， 中含6，从1，2，3，5的4个元素中选3个，共种， 当，， 则， 中含4，从1，2，3，5的4个元素中选3个，共种， 所以事件的个数为种． 故选：． 16．（3分）已知定义在上的奇函数的周期为2，且当时，．则函数在区间，内的零点个数为　　 A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】 【解答】解：是定义在上的奇函数，则， 又因为的周期，所以（2）（4）， 当时，，则（1）， 可知（1）（3）， 综上所述，在区间，内的零点个数为9． 故选：． 17．（3分）已知，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，， ． 故选：． 18．（3分）某市为了解全市餐饮行业卫生情况，对本市的100家餐饮企业的卫生情况进行了摸排，并把卫生情况各类指标的得分综合折算成标准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于80分的企业数为　　 A．5 B．15 C．20 D．25 【答案】 【解答】解：根据频率分布直方图的性质，可得不低于80分的企业的频率为， 则这次摸排中标准分不低于80分的企业数为（家． 故选：． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 19．（4分）已知，，，则　3　． 【答案】3． 【解答】解：，， ， ， 又， 则． 故答案为：3． 20．（4分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：取中点，连接，， 因为是中点，是中点，根据中位线性质，， 那么（或其补角）就是异面直线与所成的角， 已知平面，，， 在△中，， 则， 又因为， 在△中，， 而， 所以，则， 在△中，根据余弦定理， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 21．（4分）已知△为等腰三角形，且，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：设△的内角，，所对的边分别为，，， 因为，所以由正弦定理得：， 若为底边，则，，不能构成三角形， 所以为底边，则， 所以由余弦定理得：． 故答案为：． 22．（4分）有专家根据相关数据建立了关于某地区在一段时间内感染某病毒的人数的单位：天）的相关模型：，其中为最大被感染数．当时，标志着已初步遏制住了该病毒传播，则约为　62　 ．（注为自然对数的底数， 【答案】62． 【解答】解：， ，即， 则，（天． 故答案为：62． 三．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）如图，直三棱柱中中，，，． （Ⅰ）证明平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小． 解：（Ⅰ）证明：因为直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，得证； （Ⅱ）因为，， 所以平面，在平面的投影为， 所以为直线与平面所成角， 又， 可得， 所以． 24．（10分）已知，设． （1）当，求函数的值域． （2）若，且，求的值． 解：（1）因为，且， 所以， 因为， 所以， 所以函数的值域； （2）由（1）得， 因为， 所以， 可得， 所以． 25．（10分）已知，，分别为△的内角，，的对边，且满足，． （1）若，求； （2）设角的内角平分线交边于点，若，求△的面积． 解：（1）因为，所以由正弦定理得，由，得， 又因为，所以， 所以，即， 所以； （2）由（1）得，，化简得，所以， 所以， 所以因为，所以，， 又，所以， 在△中，， 由正弦定理，得， 所以△的面积为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $