精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙江县2025-2026学年八年级上学期12月期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟．本考场试卷序号 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（ ）． A. 且 B. C. 且 D. 且 8. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 9. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A B. C. D. 10. 如图，△ABC中，∠C= 90°，∠B= 30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有（ ） ①△ADE≌△BDE；②DE垂直平分AB；③△ADC是等边三角形；④AE垂直平分CD；⑤BE=2EC；⑥AB= 4CE A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（每小题3分，共21分．） 11. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为________． 13. 若，则___________． 14. 如图，在△中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、； ②作直线交于点，连接． 请回答：若，，则的度数为___________． 15. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为______． 16. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______． 17. 如图，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为___________ 三、解答题 18. 因式分解： （1） （2） 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 21. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________； （3）在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹． （4）在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________． 23. 如图，在中，，平分，于，在上，．求证： （1）； （2）． 24. 问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，平分，垂足在延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； （2）类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． （3）解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末教学质量测查 八年级数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟．本考场试卷序号 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算中各类计算的法则是解题的关键． 通过合并同类项、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方、单项式乘法等知识，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】选项A中，和不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； 选项B中，，故B错误，不符合题意； 选项C中，，故C错误，不符合题意； 选项D中，，故D正确，符合题意； 故选D． 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A为最简分式； 选项B化简可得原式=； 选项C化简可得原式=； 选项D化简可得原式=； 故选：A． 考点：最简分式． 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求得AB的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由题意可知， ∴， 即：， ∴A选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，重点在于利用三边关系求得第三边取值范围． 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：A：，整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B：，右边不是积的形式，故本选项不符合题意； C：，右边不是整式，故本选项不符合题意； D：，右边是整式的积，符合因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 7. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（ ）． A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含参分式方程的解法．熟练掌握分式的解法，增根的概念，是解题的关键． 先解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零，得到且． 【详解】解：，且 ， ， 两边同乘 ，得：， 化简得：， ， ， 方程的解是正数， ，即 ， ， 又， ， ， 且． 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解. 【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BN+NC+BC=7（cm）， ∴AN+NC+BC=7（cm）， ∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=7（cm）， 又∵AC=4cm， ∴BC=7﹣4=3（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键. 9. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 10. 如图，△ABC中，∠C= 90°，∠B= 30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有（ ） ①△ADE≌△BDE；②DE垂直平分AB；③△ADC是等边三角形；④AE垂直平分CD；⑤BE=2EC；⑥AB= 4CE A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质即可判断②；根据直角三角形的性质可得∠BAC＝60°，根据30°角的直角三角形的性质和②的结论可得AC＝AD，进一步即可判断③；易得AE是∠BAC的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可判断④；由线段垂直平分线的性质可得DE＝CE，然后根据30°角的直角三角形的性质即可判断⑤；⑥易得AE＝2CE，BE＝2EC，AB＜AE+BE，进而可判断⑥，于是可得答案． 【详解】解：①∵△ADE由△BDE翻折而成， ∴△ADE≌△BDE，故结论①正确； ②∵△ADE≌△BDE， ∴∠ADE＝∠BDE＝90°，AD＝BD， ∴DE垂直平分AB，故结论②正确； ③∵∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴AC＝AD， ∴△ADC等边三角形，故结论③正确； ④∵△ADE≌△BDE，∠B＝30°， ∴∠DAE＝30°， ∴AE是∠BAC的平分线． ∵AC＝AD， ∴AE垂直平分CD，故结论④正确； ⑤∵AE垂直平分CD， ∴DE＝CE． ∵∠B＝30°，∠BDE=90°， ∴DE＝BE， ∴BE＝2EC，故结论⑤正确； ⑥∵∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE， ∵BE＝2EC，AB＜AE+BE， ∴AB＜4CE，故结论⑥错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共21分．） 11. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此即可获得答案． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义， 则由分母不为零，得 ，解得 ． 故答案为：． 12. 我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，注意公式的逆用．根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：12． 14. 如图，在△中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、； ②作直线交于点，连接． 请回答：若，，则的度数为___________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，所以，然后利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：， ， 由作法得垂直平分， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 15. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】找到点E关于AD的对称点E’,根据对称得BF+EF=BE’，利用等边三角形三线合一性质证明AD= B E’即可求出结果. 【详解】如下图,作点E关于AD的对称点E’, ∵△ABC是等边三角形,E为AB的中点, ∴E’是线段AC的中点, ∴AD垂直平分EE’,EF=E’F 即 BF+EF=BE’, 又∵D是BC中点, ∴AD=B E’=5（等边三角形三线相等）, 【点睛】本题考查了等边三角形三线合一性质,图形对称的实际应用,中等难度,证明BF+EF=AD是解题关键. 16. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图， 由题意可知，，，且， ∴， ∴； （2）当该三角形顶角为钝角时，如下图， 由题意可知，，，且， ∴， ∴． 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 17. 如图，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是根据点的坐标的变化寻找规律． 本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数）， 且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以单项式的法则进行计算； （2）根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 先化简：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式有意义的条件，可得：，，再根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，然后再把使分式有意义的的值代入化简后的分式中计算求值即可． 【详解】解：有意义， ，， ，， 当时，原式． 21. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 （2）21个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； 【小问2详解】 设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________； （3）在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹． （4）在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________． 【答案】（1）见详解 （2） （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】（1）首先确定点关于轴的对称，然后顺次连接即可； （2）结合图形，即可获得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可获得答案； （4）在轴上取点，结合勾股定理可得，，再结合，利用“”可证明，即可获得答案． 【小问1详解】 解：作出关于轴的对称图形，如下图所示； 【小问2详解】 解：由图可知，点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； 【小问4详解】 解：如下图，在轴上取点， 则，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题、勾股定理、全等三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，在中，，平分，于，在上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质， （1）首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，再根据“”证明，进而证明； （2）由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：是的平分线， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ． 24. 【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取角平分线； ②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________． 【答案】问题情境：；类比解答：；拓展延伸：，证明见解析；实际应用：10 【解析】 【分析】问题情境：证，得，即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 拓展延伸：延长、交于点，证，得，再由问题情境可知，，即可得出结论； 实际应用：延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：问题情境：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 类比解答：如图，延长交于点， 由问题情境可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展延伸：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由问题情境可知，， ； 实际应用：如图，延长交于， 由问题情境可知，，， ， ， ∴ ， ∴， 答：的面积是10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； （2）类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． （3）解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设交于点，结合等腰直角三角形的定义，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，即可证明； （2）结合等边三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，再证明，然后由三角形内角和定理即可获得答案； （3）在上取点，使得，证明为等边三角形，利用“”证明，，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，在上取点，使得， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了“手拉手模型”的应用，涉及的知识点包括全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $