海南省海口市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

海口市第一中学2026届高三12月月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设集合，则=（ ） A． B． C． D． 3.抛物线的焦点到直线的距离为，则p＝（     ） A．1 B．2 C．2 D．4 4．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知公差不为零的等差数列前项和，且成等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 6.已知向量不共线，，则 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上的最小值为 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 11．设首项为1的数列的前项和为，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是单调递增数列 D．若，则正整数的最小值为19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 13．如右图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示 .  14．已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，是公比大于1的等比数列，，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 16．（15分）如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． (1)求证：； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值． 17．（15分）记为数列的前n项和，且，，其中 (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线过定点； (3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围． 19．（17分）已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，记函数，求证：函数有唯一的极大值点，且. 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口市第一中学2026届高三12月考试（答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D B D C A D BC ACD BCD 12．2 13． 14． 11．【解析】解：由，得，， ，，，A错， 当n为偶数时，， 则，又，此时是首项为4，公比为2的等比数列， 则； 当n为奇数时，，则，又， 此时是首项为4，公比为2的等比数列，则，B对， 综上，且， 则，且， 所以是单调递增数列且各项均为正，则数列单调递增，C对， 当m为奇数时， ，又， 当m为偶数时， ， 又，所以正整数m的最小值是19，D对． 14. 【详解】作图可得的零点为1，故不妨设，， 则，，当时，， 当时，. 由导数的几何意义知，． 因为的图象在P，Q两点处的切线互相垂直，所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故，故的取值范围为. （1）设公差为，则，解得，所以； ………3分 设等比数列的公比为，则，所以，解得或， 若，则，解得；若，则，解得（舍） 所以 …………7分 （2）由（1），所以 . …………13分 16.（1）如图，设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， ………1分 则，∴，， …………3分 ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． …………5分 ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴，又，，∴． …………7分 （2）设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， …………9分 ∴，∴， ∴，，． …………10分 设平面的法向量为，则取，则，， ∴平面的一个法向量为． …………13分 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为 …………15分 【解析】证明：当时，由，得 ………4分 两式相减得，整理得 ………6分 两边除以得，即 又，故是等差数列，且，得 ………8分 解：由，得 不等式等价于， …………10分 记，，，，； …………12分 当时，，递增． 故的最小值为，得 …………15分 18.（1）由题设得，解得，所以的方程为； …………4分 （2）由题意可设，设，， 由，整理得，． 由韦达定理得，， …………6分 由得， …………7分 即，整理得， 因为，得，解得或， …………9分 时，直线过定点，不合题意，舍去； 时，满足，所以直线过定点． …………11分 （3））由（2）得直线，所以，…………12分 由，整理得，， 由题意得， …………14分 因为点与连线的斜率为，所以，所以， 令，， …………15分 所以，在上单调递减，所以的范围是．…17分 19.【详解】（1），因函数在处的切线方程为， 则，，得； …………4分 （2），， …………6分 当时，，则在上单调递减；当时，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，…………9分 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. …………10分 （3）当时，， 则， …………11分 令，则，则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 又，，， …………13分 则由零点存在性定理可知，使得， 则或时，，；时，，， 故在和上单调递增，在上单调递减，则有唯一的极大值点， 且， ………15分 令，则， 则在上单调递增，则，故. …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $