直线与椭圆 专项训练-2026届高三数学一轮复习

直线与椭圆 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　) A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个 2．已知直线y＝－x＋2与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)交于A，B两点，线段AB的中点为P(2,1)，则椭圆C的离心率是(　　) A． B． C． D． 3．(2024·张家口调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在直线的方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． 4．(2024·汕头一模)如图，设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．－3 二、多项选择题 5．已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，则(　　) A．x1＋x2＝8 B．x1＋x2＝16 C．直线BT的斜率k＝ D．直线BT的斜率k＝－ 6．(2025·嘉兴期初)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P，延长线段PF2交C于点Q．若|PF2|＝2|QF2|，则( ) A．|QF2|＋|PF1|＝|QF1| B．S△PQF1＝ C．离心率e＝ D．kQF1＝－ 三、填空题 7．(2024·娄底一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且|AB|＝，则椭圆C的标准方程为____． 8．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点分别为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是____． 四、解答题 9．已知A1(－2,0)是椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点，且M经过点． (1) 求椭圆M的方程； (2) 若直线l：y＝k(x－1)与M交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且＋＝－1，求弦AB的长． 10．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点． (1) 求C的离心率； (2) 若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． B组　滚动小练 11．(2025·苏州期中)若函数f(x)＝2sin(ω＞0)在区间[0,1]上的值域为[m，n]，且n－m＝3，则ω＝____． 12．(2025·济宁期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,2an＝Sn＋2(n∈N*)． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 记cn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若关于n的不等式n(2－Tn)≤恒成立，求实数λ的取值范围． 1. C　【解析】 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以>3，即m2＋n2<9，所以＋≤＋<1，即点(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2. 2. A　【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而＋＝0，故＝－.由题意可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，＝－，则－＝－，从而＝，故椭圆C的离心率e＝＝. 3. C　【解析】 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．因为AB的中点为M(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得＋＝0，所以＝－·，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝. 4. C　【解析】 如图，连接PF1，QF1，由点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2.又点P，Q在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，设|QF2|＝m，则|PF1|＝4|QF2|＝4m，则有|PQ|＝2a－4m＋m＝2a－3m，|F1Q|＝2a－m，则可得(4m)2＋(2a－3m)2＝(2a－m)2，解得a＝3m，故|PF2|＝2a－4m＝2m，则tan ∠PF2F1＝＝2，故kPF2＝tan (π－∠PF2F1)＝－tan ∠PF2F1＝－2. (第4题) 5. AC　【解析】 由题意知|AF|＝＝＝＝，同理|CF|＝.因为|x1|≤5，|x2|≤5，所以x1－5<0，x2－5<0.又|AF|＋|CF|＝2|BF|，所以5－x1＋5－x2＝2×，所以10－(x1＋x2)＝，所以x1＋x2＝8，故A正确，B错误．因为x1＋x2＝8，所以设线段AC的中点为D(4，y0).又A，C在椭圆上，所以＋＝1①，＋＝1②.由①－②得＝－，所以＝－＝－＝－，即kAC＝－，所以直线DT的斜率kDT＝－＝，从而直线DT的方程为y－y0＝(x－4).令y＝0，得x＝，即T，所以直线BT的斜率k＝，故C正确，D错误． 6. ACD　【解析】 对于A，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.又|PF2|＝2|QF2|，所以|QF2|＋|PF1|＝|QF1|，故A正确；对于B，如图，设|QF2|＝x(x>0)，则|PF2|＝2x.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－2x，|QF1|＝2a－x.因为F1F2为圆的直径，所以∠F1PQ＝90°.在Rt△PF1Q中，|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，即(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，整理得a＝3x，所以S△PQF1＝·|PQ|·|PF1|＝·3x·(2a－2x)＝a2，故B错误；对于C，在Rt△PF1F2中，|PF1|＝2a－2x＝，|PF2|＝，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即＋＝(2c)2，解得e2＝＝，即e＝，故C正确；对于D，在Rt△PF1F2中，tan ∠PF1F2＝＝＝.在Rt△PF1Q中，tan ∠PF1Q＝＝＝，所以tan ∠F2F1Q＝tan (∠PF1Q－∠PF1F2)＝＝＝，所以直线QF1的斜率为k＝tan (180°－∠F2F1Q)＝－tan ∠F2F1Q＝－，故D正确． (第6题) 7. ＋＝1　【解析】 设F(c，0)，由题意知，b＝c，a＝c，直线l的方程为y＝x－c，与椭圆C的方程联立化简得3x2－4cx＝0，所以xA＝0，xB＝c，故|AB|＝·|xB－xA|＝c＝，解得c＝，所以b＝，a＝2，椭圆C的方程为＋＝1. 　　 (第7题) 8. 13　【解析】 因为椭圆的离心率为e＝＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0.不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图，因为|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝，所以△AF1F2为正三角形．因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程为x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6cy－9c2＝0，判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，所以|DE|＝|y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6，所以c＝，得a＝2c＝.因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. (第8题) 9. 【解答】 (1) 依题意可得解得a＝2，b2＝3，所以椭圆M的方程为＋＝1. (2) 联立消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为y＝k(x－1)经过定点(1，0)，且点(1，0)在M的内部，所以Δ>0恒成立．由＋＝＝＝－1，解得k2＝1，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝×＝. 　　 (第9题) 10. 【解答】 (1) 由题意得解得所以离心率e＝＝＝. (2) 方法一：kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，|AP|＝＝.由(1)知C：＋＝1，设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为x＋2y＋c＝0，则＝，解得c＝6或c＝－18.当c＝6时，联立解得或即B(0，－3)或.当B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0；当c＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法二：同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝，设B(x0，y0)，则解得或即B(0，－3)或，下同方法一． 11. 　【解析】 若x∈[0，1]，则ωx＋∈.因为f(x)＝2sin 在区间[0，1]上的值域为[m，n]，且n－m＝3，故必有n＝2，m＝－1，如图所示，则ω＋＝，故ω＝. (第11题) 12. 【解答】 (1) 由2an＝Sn＋2，可得2an＋1＝Sn＋1＋2，两式相减可得2an＋1－2an＝an＋1，所以an＋1＝2an.令n＝1，可得2a1＝a1＋2，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为an＝2×2n－1＝2n. (2) 因为cn＝log22n＝n，所以＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－＝1－，所以Tn＝2－.因为n(2－Tn)＝≤，则≤λ，原题等价于关于n的不等式≤λ恒成立，即≤λ.记bn＝，令则解得n＝2或3，则b1<b2＝b3>b4>…，即当n＝2或n＝3时，bn取得最大值，所以λ≥，所以实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $