2.2.4 点到直线的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式，从两点间距离公式切入，通过“点到坐标轴距离”“如何推导一般公式”等问题链搭建学习支架，引导学生从特殊到一般探究公式推导及两平行线间距离公式。 其亮点在于融合直接法、等面积法、向量投影法多种推导思路，结合数学思维的推理意识与运算能力，如向量投影法用向量工具体现数学语言。例题一题多解（如例1两种方法），总结强调分类讨论，助力学生发展逻辑推理与创新意识，也为教师提供多元教学资源提升教学效果。

2.2.4 点到直线的距离 两点间距离公式 特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是 P到直线l的距离是从P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. 问题2:点P0(x0，y0)到 x 轴, y 轴的距离？ 问题1:什么是点到直线的距离？ 点P0(x0，y0)到直线 x =x1, 直线 y =y1的距离？ P Q l x0 y0 |y0| |x0| x y P0 (x0,y0) O |x1-x0| |y1-y0| 问题3:能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？已知点P0(x0，y0)，直线l: Ax+By+C=0, 如何求点P0到直线l的距离？ x y O Q P 直线l的方程 直线 l 的方程 直线PQ的方程 交点 点P的坐标 直线PQ的斜率 点P的坐标 点Q的坐标 两点间距离公式 思路简单运算繁琐 直线l的斜率 l⊥PQ 点P、Q之间的距离|PQ |（ P到l 的距离） l 思路一：直接法 x y O Q 能否不求点Q的坐标？ (1)方法:根据点到直线距离的定义，将点到直线距离转化为两点之间的距离. (2)缺点:思路自然但运算量较大. (3)思考:仔细观察求解过程， 思考引起复杂运算的原因是什么? (4)对策:由此能否给出简化运算的方法? 追问：能否从方程组中直接求出x-x0，y-y0 ？ ① ② ③ ④ ③式的平方+④式的平方得： 改进：用设而不求法推导 “整体代换” “设而不求” 在上述方法中，若设垂足Q的坐标(x，y），则　　 结合方程组 　　　　　 　 我们能直接求出 　　　　　　，进而 求出|PQ|．　　　　 思路二：间接法（等面积法） x y O S R l Q P 求出|PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 面积法求出|PQ| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 x y O S R l Q P M(x，y) x y O P P1 P2 n 点P到直线l的距离，就是的模， 设是直线l上任意一点M(x，y)，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量 追问:如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？ 思路三：向量投影法 问题4:我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？ 解：l的方向向量为m=(B，-A)，与m垂直的向量为(A，B) 所以与l的方向向量垂直的单位向量n= 从而 ·n=(x-x0，y-y0)· = 因为点M在直线上，所以Ax+By+C=0，所以Ax+By=-C，代入上式得 ·n= 因此|PQ|= = ·n= M(x，y) x y O P P1 P2 n 平面内一点P(x0，y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式： 分子是P点坐标代入直线方程左边 分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根 1.用此公式时直线方程必须先化成一般式； 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立. 提醒 知识梳理 例1 已知直线l经过点M(-1，2)，且A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 解：(方法一)当过点M(-1，2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1， 恰好A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，故x=-1满足题意; 当过点M(-1，2)的直线l的斜率存在时， 设l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0， 由A(2，3)与B(-4，5)两点到直线l的距离相等，得， 解得， 综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 此时l的方程为y-2=(x+1)，即x+3y-5=0. (方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点. 当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为k，则kAB=k=， 此时直线l的方程为y-2=(x+1)，即x+3y-5=0. 当l过AB的中点(-1，4)时，直线l的方程为x=-1. 综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0. 例1 已知直线l经过点M(-1，2)，且A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程. 用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意. 归纳总结 问题5:已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，如何求l1，l2间的距离？ 定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. y x O l2 l1 Q P 思路：求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离． 两平行线间的距离处处相等 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 y O x l1 l2 P Q 在直线l1上任取一点P (x0 ， y0)，点P(x0， y0)到直线Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离，即 注意：(1)把直线方程化为直线的一般式方程; (2)两条直线方程中x，y的系数必须分别相等. 两平行线间的距离公式 解：依题意得，两直线的斜率都存在， 设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0， l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. ∵l1与l2的距离为5，∴， 解得k＝0或， ∴l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 例2 两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程. 1.点到直线的距离公式 2.两条平行直线间的距离公式 两条平行线的距离： 点到直线直线的距离： 1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( ) D C 2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为(　　) 3.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( ) 4.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( ) A.3x－4y－1＝0 B.3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0 C.3x－4y＋1＝0或3x－4y－21＝0 D.3x－4y－21＝0 AB B A.eq \f(7,5) B.eq \f(7,15) C.eq \f(4,15) D.eq \f(2,3) A.1 B. C.2 D.  A.0 B. C.3 D.2 $