3.3 垂径定理 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦北师版九年级下册“3.3垂径定理”，系统呈现垂径定理及逆定理的探索、证明与应用，通过绍兴石拱桥实际问题导入，从现实情境抽象出弦与直径的位置关系，结合“作直径垂直弦”的探究活动，借助轴对称分析和全等证明构建定理，辅以“火眼金睛”条件辨析、几何语言规范等支架，衔接圆的基本性质与定理应用。 其亮点在于以情境化、探究式、应用化为特色，融合数学核心素养。情境导入（石拱桥问题）引导学生用数学眼光观察现实空间形式，探究活动（轴对称分析、等量关系猜想）发展几何直观与空间观念，分层应用（弯路半径、赵州桥拱半径计算等）强化模型意识与应用意识。通过“知二推三”推论总结和辅助线策略，帮助学生形成结构化知识，提升抽象、推理与应用能力，也为教师提供从情境到建模的完整教学路径，便于高效教学。

第三章　圆 3.3 垂径定理 北师版 九年级 数学（下） 全品初中 导入 绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，求水面宽AB. C A B D O 探究新知 探究 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ C D A B M O 是，对称轴是CD所在的直线； AM=BM （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O 连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， 和 重合， ⌒ AC ⌒ BC 和 重合， ⌒ AD ⌒ BD ∴ = ， ⌒ AC ⌒ BC = . ⌒ AD ⌒ BD CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 C D A B M O 结论 AM = BM 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. = ⌒ AC ⌒ BC = ⌒ AD ⌒ BD 归纳 C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AM = BM， , = ⌒ AC ⌒ BC = . ⌒ AD ⌒ BD 归纳 判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 火眼金睛 探究新知 探究 垂径定理的证明 已知：如图，AB是⊙O一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. C D A B M O 求证：AM＝BM， 证明：连接OA，OB，则OA＝OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA＝OB，OM＝OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC， ∴ ∵∠AOD＝180°－∠AOC， ∠BOD＝180°－∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOD， ∴ C D A B M O 探究新知 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 探究 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． 是，对称轴是直径CD所在的直线； （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O 探究新知 理由是：连接OA，OB，则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵ OA=OB，AM=BM. ∴ △OAM≌△OBM. ∴ ∠AMO=∠BMO. ∴ CD⊥AB ∵ ⊙O关于直径CD对称， C D A B M O ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， ∴ 和 重合， ⌒ AC ⌒ BC 和 重合， ⌒ AD ⌒ BD ∴ = ， ⌒ AC ⌒ BC = . ⌒ AD ⌒ BD C D A B M O 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （不是直径） 垂径定理的逆定理 归纳总结 ∵CD为⊙O的直径， AM = BM， ∴ CD⊥AB， 几何语言: 典例精讲 O E D C F 例1 (教材P75例题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点 O 是 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E 为 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径. O E D C F 解：连接OC.设弯路的半径为R m，则 OF＝(R－90)m. ∵OE⊥CD， ∴CF＝CD＝×600＝300(m). 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2， 即R2＝3002＋(R－90)2，解这个方程，得R＝545. 所以，这段弯路的半径为545 m. 典例精讲 例2 如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径为_____． 分析： 根据垂径定理，得CM＝DM＝ CD＝2. 连接OD，设OD＝R，则OM＝8－R. 在Rt△OMD中，由勾股定理，得OM2＋DM2＝OD2， ∴(8－R)2＋22＝R2，∴R＝ . 典例精讲 课堂小结 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 当堂检测 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为____． 5 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm，则截面圆心O到水面的距离OC是______． 6 cm 当堂检测 3. 赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 当堂检测 解：如图， OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. AB = 37.4， CD = 7.2 当堂检测 4. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 圆心在平行弦外 圆心在其中一条弦上 圆心在平行弦内 当堂检测 解： 理由是：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则 ， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）. M N 若⊙O中弦AB∥CD.那么 吗？为什么？ 当堂检测 5.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值. 解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C， 则 . 在Rt△ACO中， 故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6. C ┌ 当堂检测 6.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？ 解：AC=BD.理由如下: 如图所示,过点О作OE⊥AB于点E. ∵在大圆中, AE=EB,在小圆中,CE=ED, ∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD. E ┌ 当堂检测 ＝，＝. ＝，＝. ＝. ＝. AM＝BM，＝，＝. ＝，＝. ∴CF＝CD＝×600＝300(m). ∴＝ ∴-＝- ＝ ＝ ＝ ＝ $