精品解析：吉林省白城市通榆县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

吉林省白城市通榆县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； D．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C. 射击运动员射击一次，命中 环 D. 任意掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的定义是解题的关键，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．根据必然事件的定义，分析各选项是否一定发生即可． 【详解】解：A、任意选择电视频道可能不播放动画片，是随机事件； B、只装有黑球的袋子一定摸出黑球，是必然事件； C、射击运动员射击一次可能不命中 环，是随机事件； D、任意掷一枚硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件． 故选：B． 3. 关于 的一元二次方程的一个根为0，则 值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件，代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由方程的一个根为0，则将 代入可得到关于a的方程，同时，一元二次方程要求二次项系数不为0，求解即可得a的值． 【详解】解：将 代入原方程： 则，， 化简得，， 解得， , 方程为一元二次方程， 二次项系数, ， , 故选：C． 4. 如图， 是 绕点 顺时针旋转得到的，若，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理．理解旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵是 绕点 旋转得到的， ， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图， 是 的弦，于H，连接 、 ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A： ，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知， 垂直平分 ， ∴ ， D： ，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意．   故选：B ． 6. 如图，抛物线经过点 ，对称轴是直线 ，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，核心是利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合特殊点的函数值，判别式分析代数式的符号． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：已知抛物线经过 ，对称轴是 ，结合图象开口向下，因此， 抛物线与 轴交于正半轴，故 ， ， ，故A错误； 抛物线与 轴有2个交点，说明一元二次方程 有两个不相等的实数根， 判别式，即，故B错误； 当 时，函数值为， 根据图象可得，当 时，，故C错误； 对称轴公式，整理，即，故D正确． 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，代数式求值，由题意求出， ，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为： ． 8. 已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，然后利用S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′进行求解. 【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′， ∴AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°， ∴△ACC′为等腰直角三角形， ∴S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′＝×4×4﹣×4×1＝6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和三角形面积计算，熟知旋转不改变图形的大小与形状是解题关键. 10. 如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转 ，则物体上升的高度为______ ．（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】解：， ∴物体上升的高度为 故答案为：． 11. 用总长为 米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为 米，窗框的面积为 米， 关于 的函数图象如图2，则 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当 时，窗框的面积最大，最大值为 ，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为 ，即可求得 的值． 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当 时，窗框的面积最大，最大值为 ， 即 故答案为： ． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【详解】解：移项得， 配方得， ，． 13. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，某学习小组在活动课上制作了 、 、 三张卡片，这三张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这三张卡片放置于暗箱中摇匀．小华从暗箱中随机抽取两张，用画树状图或列表的方法求小华抽到两张内容均为化学变化的卡片的概率． ．面包发霉 ．铁丝生锈 ．冰雪融化 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数 ，再从中选出符合条件事件 的结果数目 ，则事件 发生的概率为．先判断所给卡片内容属于化学变化还是物理变化，再画树状图表示出所有可能情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ．面包发霉和 ．铁丝生锈属于化学变化， ．冰雪融化属于物理变化， 画树状图如下： 共有 种等可能结果，其中小华抽到两张内容均为化学变化的卡片结果有，，共 种， 所以 （抽到两张内容均为化学变化的卡片）． 14. 如图，在 中， 为的中点， 于点 ， 于点 ．求证： ． 【答案】 证明：如图，连接 ， ∵在 中， 为的中点， ∴， ∴ ，即 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得 ，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】略 15. 已知平行四边形 的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m为何值时，平行四边形 是菱形？并求出此时菱形的边长． 【答案】 ，菱形的边长为4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得出 ，结合根的判别式，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】解：∵平行四边形 是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ∴，即菱形的边长为 4 ； 答： ，平行四边形 是菱形，菱形的边长是 4 ． 16. 如图，图 、图 、图 都是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点 、 、 均是格点， 的外接圆的圆心记为点 ，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图 中标出圆心 ； （2）在图 中的 上找一格点 ，使得； （3）在图 中的 上找一点 ，使 平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，涉及圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握网格中的基本作图方法和相关性质定理． （1）利用勾股定理的逆定理可得到 ，则 为 的直径，取 的中点即为圆心 ； （2）在劣弧上任取一点 ，根据圆内接四边形的对角相等即可得解； （3）取线段 与网格的交点 ，过点 、 作射线 与 的交点即为点 ，易知点 为 的中点，由垂径定理可得 平分． 【小问1详解】 解：如图所示，点 即为所求； ，，， ， ， 为 的直径， 的中点即为圆心 ； 【小问2详解】 解：如图所示，点 即为所求； 在劣弧上任取一点 ，则 与 互为圆内接四边形的对角， ； 【小问3详解】 解：如图所示，点 即为所求． 取线段 与网格的交点 ，过点 、 作射线 与 的交点即为点 ， 易知点 为 的中点， ， ， 平分． 17. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元． 求6、7两月平均每月降价的百分率； 如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由． 【答案】(1) 10%;(2) 不会跌破元． 【解析】 【分析】（1）设6、7两月平均每月降价的百分率是x，则6月份的房价为10000（1-x），7月份的房价为10000（1-x）2，然后根据7月份的8100元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出9月份商品房成交均价，然后和6500元/m2进行比较即可作出判断． 【详解】 设 、 两月平均每月降价的百分率为 ， 根据题意得：， 即， 解得或 （舍去）． 答：6、7两月平均每月降价的百分率是10%；   ∵（元）． ∴不会跌破元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 18. 如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接 ，，过点A作交 的延长线于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 【答案】（1）证明见详解 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接 ，根据 为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得 的值，进而得到 的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ， ∵ 为直径， ∴ ，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵ ， ，， ∴， ∴， ∴ 的半径为3． 19. 如图，在矩形 中，， ．点 从点 出发，沿运动，速度为每秒 个单位长度；点 从点 出发向点 运动，速度为每秒个单位长度． 、 两点同时出发，当点 运动到点 时，两点同时停止运动，设点 的运动时间为 （秒）．连接 、、． （1）点 运动到点 时，____________；当点 运动到点 时， 的长度为____________． （2）当点 在上时，用含 的代数式表示 的长． （3）当的面积为 时，求 的值． 【答案】（1） ； （2） （3） 的值为或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点 运动到点 时，所走路程为，根据速度可得出 的值；点 从点 出发向点 运动， 点回到 中点，可直接求出 ． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示 的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点 在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形 中，， ， ， 点 运动到点 时，所走路程为， 点 的速度为每秒 个单位长度， （秒）， 点 从点 出发向点 运动，速度为每秒个单位长度，， 当点 运动到点 时，（秒）， 此时点 的运动路程为 ， 点 从点 出发，沿运动，速度为每秒 个单位长度，，，， 此时点 在边 上，． 故答案为： ， ． 【小问2详解】 解：当点 在时， ，， ，如图所示： 此时． 【小问3详解】 解： 当点 在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点 在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点 在时，同时当点 运动到点 时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为 时，则 的值为或． 20. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离 （单位： ）与滑行时间 （单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得 关于 的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出 关于 的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 【答案】（1）二次函数 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出 与 的二次函数关系式是解题的关键． （1）由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数； （2）据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可； （3）把代入解析式求出 的值即可得出． 【小问1详解】 解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数， 故答案为：二次函数； 【小问2详解】 解：设函数解析式为，把，，， ， 解得：， ∴ 关于 的函数解析式为：； 【小问3详解】 解：把代入解析式得：， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴当滑行距离为时，滑行时间为． 21. 如图，四边形 是正方形，连接 ，将 绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接． （1）如图1，当 时，求证：． （2）如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到，即可证明． （2）连接，通过证明得到，进而证明，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是正方形， ∴ ∵ 绕点A逆时针旋转得到， ∴ ∵O为的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 成立，理由如下： 连接， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ 绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴即 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∵O为的中点， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握选装前后对应边相等，对应角相等． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点，与 轴交于点． （1）求该抛物线与直线 的解析式． （2）点 是第一象限内抛物线上一动点，过点 作轴，交直线 于点 ，过点 作轴交抛物线于点 ，以 ， 为边作矩形．设点 的横坐标为 ． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线 将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出 的值． 【答案】（1） ， （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）①根据解析式写出点的坐标，表示出矩形的周长，再用二次函数的性质求出最值即可；②根据面积比为1：3，得出坐标关系，代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入 得， ， 解得， 抛物线解析式为 ； 设直线 的解析式为，把，代入得， ，解得， 直线 的解析式为 ． 【小问2详解】 解：①点 的横坐标为 ， 则点 的坐标为，点 的坐标为， 因为抛物线的对称轴为直线 ， 所以点 的坐标为， 当点P在对称轴右侧时，，， 矩形的周长为， 即， 当时，矩形的周长最大，最大值为； 当点P在对称轴左侧时，， 矩形的周长= 周长最大值为； 综上，矩形的周长最大值为； ②直线 将矩形分成面积比为1：3的两个部分， 当直线 与 相交所得的三角形占一份时，交点为 中点，则， ， 解得，（舍去）； 当直线 与 相交所得的三角形占一份时，交点为 中点，则， ， 解得，（舍去）． 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，利用点的坐标解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白城市通榆县2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C. 射击运动员射击一次，命中 环 D. 任意掷一枚硬币，正面朝上 3. 关于 的一元二次方程的一个根为0，则 值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 4. 如图， 是绕点顺时针旋转得到的，若，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 是 的弦，于H，连接 、 ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线经过点 ，对称轴是直线 ，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 已知点和点关于原点对称，则___________． 8. 已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为________． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为_____． 10. 如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转 ，则物体上升的高度为______ ．（结果保留 ） 11. 用总长为 米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为 米，窗框的面积为 米， 关于 的函数图象如图2，则 的值是______． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 13. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，某学习小组在活动课上制作了、、三张卡片，这三张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这三张卡片放置于暗箱中摇匀．小华从暗箱中随机抽取两张，用画树状图或列表的方法求小华抽到两张内容均为化学变化的卡片的概率． ．面包发霉 ．铁丝生锈 ．冰雪融化 14. 如图，在 中，为的中点， 于点， 于点．求证： ． 15. 已知平行四边形 的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m为何值时，平行四边形 是菱形？并求出此时菱形的边长． 16. 如图，图、图、图 都是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点、、均是格点，的外接圆的圆心记为点 ，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图中标出圆心 ； （2）在图中的 上找一格点，使得； （3）在图 中的 上找一点，使 平分． 17. 在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元． 求6、7两月平均每月降价的百分率； 如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由． 18. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在 上取一点C，延长至点D，连接 ，，过点A作交 的延长线于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 19. 如图，在矩形 中，， ．点从点出发，沿运动，速度为每秒 个单位长度；点 从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、 两点同时出发，当点 运动到点时，两点同时停止运动，设点 的运动时间为 （秒）．连接 、、． （1）点运动到点时，____________；当点 运动到点时， 的长度为____________． （2）当点在上时，用含 的代数式表示 的长． （3）当的面积为 时，求 的值． 20. 吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离 （单位： ）与滑行时间 （单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得 关于 的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出 关于 的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 21. 如图，四边形 是正方形，连接 ，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接． （1）如图1，当 时，求证：． （2）如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点，与 轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以 ， 为边作矩形．设点的横坐标为 ． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $