28.1.1正弦函数 课件 --2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正弦函数，通过“鞋跟高度”“山坡铺水管”等生活情境导入，引导学生从30°、45°特殊角的直角三角形入手，探究锐角固定时对边与斜边比值的不变性，构建从具体到抽象的概念形成支架。 其亮点在于融合现实问题与中考考点，以相似三角形推理比值固定培养推理意识，通过平面直角坐标系、菱形等实例发展几何直观与应用意识，帮助学生建立数学与生活的联系，提升教师教学的针对性与学生的学习兴趣。

人教版数学9年级下册培优备课课件 28.1.1正弦函数 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长. 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 11˚ 导入新知 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？ 情境引入 30° 已知直角三角形的边长求正弦值 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35 m ? 合作探究 A B C 30° 35 m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 返回 B 1. [2025广西中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7， AC＝3，则sin B＝(　　) 中考考法 7 返回 2. A 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则sin C的值为(　　) 中考考法 在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2， 思考1： 所以 ， 因此 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 思考2： 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． 归纳： 11 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 例如，当∠A＝30° 时，我们有 当∠A＝45° 时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边 sin A = 返回 3. A 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为(　　) 中考考法 返回 4. 如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，其顶点B的坐标为(－1，0)，则sin B的值是________. 中考考法 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和 sinB 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 典例精析 解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 返回 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是______. 中考考法 6. (4分)[教材P64练习T1变式]分别求出图①、图②中∠A，∠B的正弦值. 中考考法 返回 中考考法 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 解：∵∠C = 90°， ，∴ ， ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 返回 7. (4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，求sin A和sin B的值. 中考考法 例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长． 解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm. 即 24x = 24，解得 x = 1. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. ∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 返回 8. 12 中考考法 返回 9. 6 中考考法 26 返回 10. 中考考法 27 返回 11. C 如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值(　　) A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．没有变化 中考考法 28 返回 12. D 中考考法 29 返回 13. D 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　　) 中考考法 返回 14. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则sin α的值为________. 中考考法 返回 15. 中考考法 16. (8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，若∠ADC＝45°，BD＝2DC. (1)求sin∠ABC的值； 中考考法 中考考法 (2)求sin∠BAD的值. 返回 中考考法 35 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = A.　 B.　 C.　 D. A. B. C. D. A. B. C. D. 解：题图①：sin A＝＝＝， AC＝＝＝4 . ∴sin B＝＝＝. 题图②：AB＝＝＝2 ， ∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝. 解：∵BC＝3AC， ∴设AC＝k(k＞0)，则BC＝3k. ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴由勾股定理，得AB＝k. ∴sin A＝＝，sin B＝＝. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AB＝15，则AC的长是________. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是________. (4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，求sin B的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝，∴＝. ∵BC＝2，∴＝，∴AB＝6. ∴AC＝＝＝4 . ∴sin B＝＝＝. D．缩小到原来的 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D.若BD＝2，sin C＝，则线段AB的长为(　　) A．10 B．4 C．4 D．2 A. B. C. D. y＝ 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，边OA在x轴上，sin∠AOC＝，点A(5，0)，若点C在一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式是________. 解：∵∠C＝90°，∠ADC＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝DC. 设AC＝a，则DC＝a， ∴BD＝2a，AD＝＝＝a. ∴BC＝3a， ∴AB＝＝＝a.　 (1)sin∠ABC＝＝＝. 解：过点D作DE⊥AB于点E，如图． ∵S△ABD＝BD·AC＝AB·DE， ∴×2a×a＝×a×DE，解得ED＝a， ∴sin∠BAD＝＝＝. $