上海师范大学附属外国语中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

上师大附属外国语中学高二月考数学试卷 2025.12 一.填空题 1.直线5x-2y-3=0的倾斜角为 2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，m的取值范围为 3.直线l:x+y+3=0与直线l2:2x+2y+5=0间距离为 4.圆(x-1)2+(y-2)2=4与圆(x-3)+(y-4)2=1的位置关系为 5.若将一个底面半径为16cm、高为9cm的实心圆柱形铁料，熔铸成一个球形实心工件， 则该工件的半径为 cm(损耗忽略不计) 6.将V(x+3)2+y2+√(x-3)2+y2=10化简为椭圆标准方程的形式，结果为 2π 7.边长都是为1的正方形ABCD和正方形ABEF所在的两个半平面所成的二面角为 3 P、Q分别是对角线AC、BF上的动点，且AP=FQ,则PO的取值范围是 8.若关于x的方程V4-x2-k(x-3)-2=0有且只有两个不同的实数根，实数k的取值范 围为 9.直线(a-1)x+(3-2a)y+a+1=0所过的定点为 10.椭圆E:￡+上-1的两焦点分别为F(-c,0)、F(c,0),设椭圆的离心率e∈() k4 则实数k的取值范围是 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中， B PQR在棱AB、BC、BB上，且PB= P 2 QB=有RB=子，以△POR为面作-个三棱柱 D PQR-P2R,使点P、2、R分别在平面AADD、 B D,DCC、AB,CD,上，则这个三棱柱的侧棱长为 12.正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，P为该正方体侧面CC,D,D内的动点（含边界）， 若PA、PB分别与直线AD所成角的正切值之和为√2，则四棱锥P-ABCD的体积的取值 范围为 二.选择题 13.“两直线l、,平行”是“两直线1、1，斜率相等”的()条件 A.充分非必要 B.既不充分也不必要 C.必要非充分 D.充分必要 14.已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点， 则这个三棱锥与正方体的表面积之比为() A.1:V2 B.1:V5 C.2:√2 D.3:6 知结分卡宁0>h>0饰冰ah图。一a翻 ·个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r,平面α与圆 柱底面所成的锐二面角大小为日(0<日<产)，则下列对椭圆E的描述中，错误的是( A.短轴为2r,且与0大小无关 B.离心率为cos0,且与r大小无关 C.焦距为2rtan0 D.面积为 2-3 cos0 16.已知圆C:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:x2+y2+6x+2y-2=0交于两点，点P 在圆C,上运动，点Q在圆C,上运动，则下列说法正确的是() A.圆C和圆C,关于直线8x+6y-5=0对称 B.圆C和圆C,的公共弦长为V 2 C.|PQ1的取值范围为[0,5+3√3] D.若M为直线x-y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为V109-4V3 三.解答题 17.己知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=3,AC=4,M为BC中点，过点M 分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E、F. (1)求直线PM与平面ABC所成的角： (2)证明：平面MEF∥平面PAB,并求直线ME到平面PAB的距离. A ◇ 18.直角三角形ABC的斜边BC在x轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标 是(2,4) (1)设直线AB的斜率为k（k≠0)，试求点C和点B的坐标（用k表示)； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标. 19.如图，某海面上有O、A、B三个小岛（小岛面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏 东45°方向距0岛30√2千米处，B岛在O岛的正东方向距0岛20千米处.以0为坐标原 点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过 O、A、B三点. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有暗礁，现有一船D在O岛的北偏西45°方向距O岛20V2千米处， 正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20.己知椭圆E: a +存=1（a>b>0,F、E分别为椭圆E的左、右焦点，A、B 分别为椭圆E的上、下顶点，且|AB曰EF=2. (1)求椭圆E的方程： (2)已知过F的直线I与椭圆E交于M、N两点，且直线I不过椭圆四个顶点. (i)若直线的倾斜角为120°，求△MNF,的面积： (ii)若M在x轴上方，直线AM与直线AN的斜率分别为kAM、kN,且kAM·k4N=1, 求直线I的一般式方程. F2 21.如图，点P(x,y)是圆O:x2+y2=9上一动点，过点P作圆O的切线1与圆 O:(x-a)2+(y-4)2=100(a>0)交于A、B两点，当直线1过圆心O时，|OP=4. (1)求a的值： (2)当线段AB最短时，求其长度|AB|: (3)判断满足条件4P=的点P有几个？ B BPI 3 请说明理由，并写出符合条件的点P的坐标 0 参考答案 一.填空题 1.arctan3 2 2.m<1 3. 4.相交 5.12 4 x2,y2 6. =1 7 8.(0 9.(-5,-2) 2516 10.ks16 3 12. 12 3 二.选择题 13.B 14.B 15.B 16.D 三.解答题 6 17.(1)arctan-;(2)2 18.(1)C(2- 0，B2+4k,0):(2)16,(6,0) 19.(1)根据题意可知O(0,0),B(20,0),A(30,30), 易知圆C的圆心在线段OB的垂直平分线x=10上， 所以设C(10,b),由10C曰CA1可得V102+b2=V10-30)2+(b-30)2 解得b=20,所以半径为0C=10V5,因此圆C的方程为(x-10)2+(y-20)2=500. (2)由D在0岛的北偏西45°方向距0岛20√2千米处，可得D(-20,20) 由行驶方向为北偏东30°可知行驶轨迹所在直线的斜率为√3 因此行驶轨迹所在直线的方程为V3x-y+20(V3+1)=0.因为圆心C(10,20)到行驶轨迹 所在直线的距离d=10W5-20+20W5+2030W3 W3+1 2 -1550C, 所以行驶轨迹所在直线与圆C相离，因此该船没有触礁的危险， a2=b2+c2.a=2 20.(1)由题意知 2b=2c=2…b=c=1 :.椭圆方程为+y=1 (2)(i)设：x=- 3)-LM().N() X三 3 3 联立 ，消去x得7y2+23-3=0,y+为=25 3 -7%=-7 +y2=1 (i)已知直线1的方程为x=m-10m≠)，与椭圆方程)+少=1联立： 将x=m-1代入5+少=1可得侧-+2y=2 展开并整理得（m2+2)y2-2my-1=0· 所以△=(-2m)2-4m2+2)×(-1)=4m2+4m2+8=8m2+8>0. 由韦达定理可得+y2=-二= m2+2y-=-1 b 2m am2+2 因为kwkw=1,根据斜率公式可得：当14二=1，即(-1(-)=x:· X2 x 又因为x=my-1,x2=my2-1，所以（y-1)(y2-1)=(my-1)(my2-1)· 展开得y2-(y+2)+1=m2yy2-m(+2)+1· 移项可得（m2-1yy2=(m-1)(y,+y2)· 2m 将+》2= 2+2m十2入代入m=(m=+》 因为m≠1，等式两边同时除以m-1得(m+14=y+为·即(m+1)×-L=2m m2+2m2+2 两边同时乘以m+2得-(m+1)=2m·移项可得3m=-1,解得m= 3· 把m=写代入=心-1得x=子-1。整理得3x+y+3=0。 3 21.(1)当直线l过圆心O,时，O,P=V00P-|OP2=Va2+7=4,解得a=3(负舍). (2)因为直线1与圆O相切，所以直线1的方程为xx+yy=9,且x+y后=9， 所以圆心0到直线1的距离d=Bx,+4。-9_3x+4,-9 Vx+哈 3 记z=3x+4y。，则直线3x+4y。-z=0与圆x行+y6=9有公共点， 所以圆心00,0到直线3x+4y-2=0的距离d=-z<3,解得-15<≤15， V32+42 所以当z=-15时，dx=8,此时弦长|AB|最短. 9 联立 3x+4y+15=0, x后+8=9， 解得 5 所以直线1的方程为3x+4y+15=0. % 12 5 (3)因为 LAP=,所以设APFt,则1BP卡3，所以|ABF4H· BPI 3 设点O到直线1的距离为d,则d2+(2)2=100·① (i)如图，当点O,O在直线AB的同侧时，t2曰MPP=25-(d-3)2,② 联立①②解得d=6或d=2, 当d=6时，直线AB可看作是圆x2+y2=9与圆(x-3)2+(y-4)2=36的公切线， 两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个：←3,0)，(： 当d=2时，直线AB可看作是圆x2+y2=9与圆(x-3)2+(y-4)2=4的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个 675 12+2V6 675 675 -12+26 675 -131+1661 15 V131+16√6 V131-16√6 15 V131-166: (ii)如图，当点O,O在直线AB异侧时，t2=MPP=25-(d+3)2.③ 联立①③解得d=-6(舍)或d=-2(舍)，满足条件的P点不存在. 综上，满足条件的点P共有4个」