山东省日照市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测（1月）数学试题

日照一中2025-2026学年高二上学期第二次质量检测 数学试题 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、用0.5毫米的黑色墨水的签字笔填写在试卷和答 题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在 试卷、演草纸和答题卡上的非答题区均无效 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上相应的答题区域内。写在试卷、演 草纸和答题卡上的非答题区域均无效： 4.考试结束后，请把本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.复数z满足泸.z=1+i,则川z日 A.2 B.5 C.2 D.3 2.“a=-2”是直线l:(a-2)x+2y+1=0与直线l2:4x+ay-1=0平行的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 .既不充分也不必要条件 3.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面 积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C的离心率为，面积为15x,则椭圆C的标准方程为 A. x2,y2 &. x2.y2 25+16 =1 =1 259 C.x =1 D. 25191 25+i61 4.如图，在三棱锥P-ABC中，点D满足 PB=4PD,CD=xAB+yAC+zA亚，则x-y+2= C.2 D.4 5.已知A和B相互雅或，PA,PA+B)二周PBE A. B.5 1 1 0 C. 10 D. 6.设a>0,b>0,直线ax+by-1=0经过圆C:￥+y-2x-2y=0的圆心，则+2的 2a b 最小值为 7 B. 2 C.4 D.6 7.已知在三棱柱ABC-AB,C中，|AB曰AC=2,AA=3,∠A,AB=∠A,AC=60°， AB⊥AC,D,E分别为AB,CC的中点，则DE= A.22 B. V35 C.3 D. √38 2 已知双曲线C为Q>06>0的左焦点分别为、，且关于的二 渐近线的对称点为P,若以P为圆心，P℉为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为 A.5 B.2 c.5+1 D.V3+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若(3-x2x-1)°=a+ax+a2x2+…+ax1,x∈R,则下列选项正确的有 A.a2=560 B.a。=0 C.a+a2+…+a1=0. D受+经+号++=-3 10.在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占40%，在女生中 喜欢体育锻炼的学生点30%，从这个班的学生中任意抽取一人则下列结论正确的是 4 A.抽到的学生是男生但喜欢体育锻炼的概率为 25 17 B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 50 8 C若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 17 0 D若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 17 11.“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：C:y=4+√-x2+4x, C2:y=4+√-x2-4x和抛物线C3:x2=2py的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C, 焦点F的直线I交C3(包含边界点)于A,B两点（点B在第一象限），P是C,或C,上的动 点，下列说法正确的是 A.抛物线C3的方程为x2=4y B.IPB|+|FB的最小值为5 B C,若2AF=F厅，则直线1的斜率为√ 4 D.若P在C上，则PA.PB的最小值为4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线过点(1,2√2)，其渐近线方程为y=±2x,则双曲线的标准方程是」 13.7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同 安排方式。 14、已知椭圆C等+岁=a>6>0)的上顶点为A,两个焦点为R.乃，短箱长是长转长的 5倍，则直线，的斜率为 过点R且垂直于AE的直线与椭圆C交于D,E两 点，|DE=6,则△ADE的周长是 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算骤 15.（13分) 己知动点M到两个定点4AL,0),B4,0)的距离比为2 (1)求点M的轨迹方程； (2)若过点P(1,-3)的直线1被点M的轨迹截得的弦长为23，求直线1的方程， 16.（15分) 在四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD,O, E分别是AD,AB的中点，AB=6,AP=5,∠BAD=60°. （1)求证：AC⊥PE; (2)求直线PB与平面POE所成角的正弦值+ (3)在DC边上是否存在点F,使BF与PA所成角的余弦值 为35，若存在，确定点F的位置：若不存在，说明理由， 10 2 17.(15分) 2025年9月19日~21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1 日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量含不低尹55%为优级品，固 形物含量低于55且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品.现有 6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2 次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检 验，记检验次数为X,求随机变量X的分布列与期望. 18.(17分) 已知4(2,0)，B(-2,0),点P是动点，直线4P与直线BP的斜率之积为-】 (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点(1,0)且斜率不为0的直线1与C交于M、N两点. ①求△AMN面积的最大值； ②直线x=4分别与直线AM、AN交于点E、G,以EG为直径的圆是否过x轴上的定 点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19.(17分) 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小字参与 了基于特制教具的概率游戏。该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”)出现概率更 高的特制骰子，其余五个数字出现的概率想啊，.记"重点点数”的概率为常数（店<p<),点 数1、2、3为小点数，点数4、5、6为大点数， (1)游戏一：两人将点数互设置为"重点点数”，每局游戏中抛掷一次骰子，如果出现大点数则小 月得1分，否则小字得1分3局游戏结束后，记小明的得分为变量X,若p=。,求X的 布列与期望； (2)游戏二：每局游戏中，由小明设置”重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数 或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜 的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 4 日照一中2025-2026学年高二上学期第二次质量检测 数学试题参考答案 2026.01 一、单项选择题：ADCC DABB 二、多项选择题：9.AD 10.ABD 11.ABC. 三、填空题：2.上-=1 13.1200 14.-V5;13 4 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)设M(x,y),则|MA上Vx-1)2+y2,|MB卡√x-42+y2, V6G-12+1 故 =,整理得：x2+y2=4 V(x-4)2+y2 所以，点M的轨迹方程为x2+y2=4 (2)当直线斜率不存在时，直线1为x=1,此时弦长为2×√22-1=23，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线：y+3=k(x-1), 则圆心M(0,0)到直线距离为d=13+ V1+k2 由(3++W=2,解得：友= V1+K2 3 此时直线1的方程为4x+3y+5=0, 2 综上：直线1的方程为x=1或4x+3y+5=0. 16.(1)由菱形的性质可得：AC⊥BD,结合三角形中位线的性 质可知：OE∥BD,故OE⊥AC, PO⊥底面ABCD,AC∈底面ABCD,故AC⊥OP, 且OP∩OE=O,故AC⊥平面POE, D PEs平面POE,∴.AC⊥PE B (2)由题意结合菱形的性质易知OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB, 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O一灯z, 则：P0.04,B0,35,0,000,0,BC22 335,0) 设平面POE的一个法向量为m=(x,乃，2)， m0p=4z=0 则： m-0丽=3x+35y=0 2 2 据此可得平面P0E的一个法向量为m=(N3,-1,0),而PB=(0,3W5,-4), 设直线PB与平面POE所成角为O, 则sind= PBm 33 329. 1PB|ml2×V1386 3)由题意可得：D(-3,0,0),C(-6,3V3,0),A3,0,0),假设满足题意的点F存在， F(x,y,2),DF=ADC(0<A<1), x=-31-3 据此可得：(x+3,y,z)=(-3,3V5,0),即： y=3W3, z=0 从而点F的坐标为F(-3-3,3V3,0), 据此可得：BF=(-31-3,3V31-3W3,0),PA=(3,0,4), BF.PAI 92+9 3W5 结合题意有：1BFPA5×V9(1+1+27(2-1 10，解得：1= 故点F为CD中点时满足题意 17.(1)设第1次抽到优级品为事件A,第2次抽到一级品为事件B, 4 所以P(B|A)= P(AB)-15-4 P(A)151 故在第1次抽到代级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为号 (2)根据题意可知X的取值可能为2,3,4,5. A15 2 P(X=4)=A+CCiA:4 POX-5)-CCALCCA-8 As 15 则X的分布列为 X 2 3 4 5 1 2 4 8 15 15 15 15 所a0=2x*x+4×+5x-8 2 4 864 18.(D设Px),则w之2如 x+2且x≠2 所以22漫瑰可得写+y-切， 即点P的轨迹方程C:花+y=10x≠士2) 4 (2)如下图所示：设直线l方程为x=y+1, M(x,y2),N(x2,y2), x=my+1 联立可得 ,可得(m2+4)y2+2my-3=0, 1+y2=1 则△=4m2+4×3(m2+4)>0 -2m -3 所以为+⅓=m+4hm+4 ①弦长NFV+m1y-为上4W+mVm+3 m2+4 1 点A到直线的距离d= V1+m2, 时whw1d-23 2 m2+4√m2+3+ 1 m2+3 3 2 因为m2+3≥3，所以am= Vm2+3+ 2 √m2+3 于是，当m=0时，△AMN面积有最大值√3 @直线方为产-2.可得⅓=名即2兰。 七-2 -2 直线N的方程为y=22-2),可得%为2 七2-2 2业，即G42)： 女2-2 所以yeyc= 4y y2 4yy2 4yy2 (x-2)(2-2)(my-10(my2-1)m2yy2-m(y+y2)+1 -12 -12 m2+4 m2.3 一=m2+4=-3 -2m 4 +4m:m+4t1m+4 假设过定点H(t,0),则匹HG=0,即(4-(4-t)+yεy6=0, 即可得(4-)2-3=0，解得t=4±V5, 所以定点为(4+√5,0)和(4-√3,0). 19.（1)记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件A,其中i=1,2,3,4,5,6, 则P4)=P4)=P4)=P4)=P(4)=9=,P4)= 4 59 则小明得1分的概率为P(A)+P(4)+P、)= 2 小字得1分的概率为P(A)+P(4,)+P(4)=3' 1 X的取值有0,1,2,3， Px=0==7rx==C对名号 x=2)-c39-号-0=)-- 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 2-9 4 8 P 2 9 27 EX0=0×7+1x号+2×号+3×2 2 =2,所以X的期望为2. 27 9 9 (2)假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件A,则“每次抛 掷出现小点数”为事件A, 则P(0=p+ Px2=3p+2,Pa0=1-3p+2-3-3p 55 则小明获胜的概率 月=P0+P团=PP④+P0P④=(D+2+23y=18p6p+B 5 5 25 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记每次抛掷出现大点数”为事件B,则每次抛掷出 现小点数为事件B,则PB)=1-卫x3=3-3卫，P(网=1-3-32_3p+2 5 5 5 5, 则小明获胜的概率 B=8+P5E=KP0+Pr@P回=(2+(23-18P-0+B 25 所以无论设置哪个"重点点数”，小明获胜的概率均为定值18p-6p+13 25 1 25 因为。p1,则爱{-名+片分，即小明获胜的概率大于号 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率.