利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练——2026届高三数学一轮复习

利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 利用导数图像研究函数的图像与性质 考点一 恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·福建福州·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，时，由得，， 令，则． 令，，则， 故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的， 使得，即，即，所以， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以， 故，． 故选：B 例2．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则， 则，因为，，当，即时，恒成立， 此时在上单调递增，所以， 当，即时，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，， 又，当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又时，，时，， 所以时，，不恒成立，所以不合题意， 当时，由，得到（舍）或， 所以时，，时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以时，， 要使对任意，恒成立，也即对任意，， 则或，解得或， 所以， 故选：A. 例3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：，且， 则，可知在内单调递增， 构建，， 可知在内单调递减，且， 当且仅当时，， 对于不等式， 1.当时，不等式恒成立，； 2.当时，可得， 构造，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 若，则，可得，即； 若，则，可得，即； 又因为， 可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 为了保证连续性，规定， 构造，即， 且. （1）若，则，符合题意； （2）若，则在定义域内单调递增， 且当趋近于0时，均趋近于； 当趋近于时，均趋近于； 则在定义域内均存在唯一零点，分别设为， 由前述分析可得，原题意等价于，则， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】令函数，， ， 则，故在上单调递增； 因为在上恒成立，即在上恒成立； 故在上图象恒在上方或者只有一个切点； 考虑临界情况，当直线与曲线相切时，可以求解的最值. 设切点为 ，则 ， 由，可得，解得， 故， 令 ，所以； 令则，， 当时， ，则在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 所以，所以的最小值是； 故答案为： 例5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数. (1)若，求的最大值； (2)证明存在唯一的极大值点，且； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）当时，，则. 易知在上单调递减，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值即最大值，为； （2），设， 因为，所以在上单调递减，又，时，， 因此，使得，即，即， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此存在唯一的极大值点， ， 当且仅当时等号成立，得证. （3），即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 例6．（25-26高三上·江苏·月考）已知，，. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）由， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或， 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减； （2）当时，要证明，即证明， 即证明：，令，， 则 ， 所以在上单调递增， 即， 所以原不等式得证； （3）由可得： ， 因为，所以，即原不等式， 令，，， 又令，则， 又令，则， 先判断必要性： 因为，，， 要证明当，， 则必满足在及附近单调递减，则必有， 当时， 此时必存在区间，使得，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 则，从而可判断原不等式不成立， 即是原不等式成立的必要条件； 再证明充分性： 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，即， 即可得， 从而可得，即可证明原不等式成立. 所以实数的取值范围是. 例7．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若，求最大值的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），          因为为增函数，故，即，     又因为，所以，       所以 （2）若时，因为在单调递减， 所以存在唯一使得，即        又因为，故，． 当，，单调递增； 当，，单调递减；     所以最大值为． 令，      则， 所以在单调递增，        故的取值范围为， 故最大值的取值范围 （3）由，得． 设，，则，        ，       设，则， 所以当时，；当时，， 所以， 又，          ①当，即时，， 在上单调递减，则，不满足题意；       ②当，即时， （ⅰ）若，，即时，，使得， 且时，， 在上单调递减，，不满足题意；      （ⅱ）若，，即时，，使得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以成立，满足题意；   （ⅲ）若，，即时，，在上单调递增， 则，满足题意．       综上可得，即实数的取值范围是 变式1．（25-26高三上·安徽淮北·月考）对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，即， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又时，， 所以的值域为，即. 所以，，即，恒成立， 当时，即为，令，则， 所以函数在上单调递减，故，则， 当时，对任意的成立； 当时，即为，由， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 所以，故； 综上， . 故选：D. 变式2．（25-26高三上·安徽六安·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 变式3．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知，若对任意的，恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为对任意的恒成立， 所以，则， 变形为，， 令，则， 因为在上恒成立， 所以单调递增， 所以，即在上恒成立， 令， 则，令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以， 所以，则正实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·贵州·月考）已知连续函数. (1)讨论的单调性； (2)定义在的函数满足，且. （i）讨论的单调性； （ii）若，求的取值范围. 【答案】(1)在区间单调递增，在单调递减. (2)（i）答案见解析；（ii） 【详解】（1），       令得，令得，    故在区间单调递增，在单调递减. （2）（i）因为，则， 根据的单调性可知，； 若，由并结合的单调性可知， 或， 因，故， ，当时，，故， 又，故， 进而在区间上单调递减； 若，由、的单调性且当时，当时可知， 或， 因，故， ，当时，，故，    又，故，进而在区间上单调递减； 综上所述，在上单调递减.       （ii）先证明符合题意：即证.       ①当时，， 因为在上单调递减，故只需证， 又，即证，即， 即证； ②当时，，故只需证， 又，即证，即； ③当时，，故成立， 下面针对①②进行证明： 令且，则， 令，则， 解得；得， 故在上单调递增，在上单调递减，故， 则，故在区间上单调递减， 令，则， 由得；得， 则在上单调递增，在上单调递减，故， 即，等号成立时， 则当时，；当时，， 故在上单调递减， 故与时均有， 故在时成立； 当时，，故此时也成立；    下证不符合题意： 先证明：在时成立，以及恒成立， 令，，， 则，， 则得；得； 得；得； 故在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 又，故，即在时成立， 又，即恒成立， 故有， 整理得：， 因此只需要取满足0的， 就有，而这与矛盾. 综上所述，的取值范围为. 变式6．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 变式7．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；最小值是0，没有最大值 (3) 【详解】（1）因为，，所以． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，所以函数的最小值是0，没有最大值． （3）设， 则，． 当时，在上恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以函数在上单调递增，所以，满足题意． 当时，设函数，则，． 解得，解得． 当，即时，在上恒成立， 函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，满足题意． 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在区间上单调递减． 因为，所以在区间上恒成立，与已知矛盾，不合题意． 综上，实数的取值范围是． 考点二 利用导数图像研究函数的图像与性质 例1．（25-26高三上·河北邢台·月考·多选）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 【答案】ABC 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 例2．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 例3．（24-25高二下·广东湛江·期末·多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 例4．（25-26高三上·江西·月考·多选）已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 【答案】BC 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以是的极小值点，无极大值点，在上单调递减，在上单调递增． 故答案为：BC. 变式1．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．在上单调递减 B．为的极小值点 C．函数有极大值 D．函数有三个零点 【答案】AC 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项A正确； 不是的极值点，选项B错误； 2为的极大值点，函数有极大值，选项C正确； 由于不知道的极小值与极大值的符号， 所以不能确定函数的零点的个数，选项D错误． 故选：AC． 变式2．（24-25高二下·广东江门·期末·多选）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D． 【答案】AD 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误； 由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误； 在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确. 故选：AD. 变式3．（24-25高二下·江西抚州·期末·多选）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数的单调递减区间为 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 【答案】BC 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 变式4．（24-25高二下·广东江门·期中·多选）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．的极小值点为，； B．的极大值点为； C．在区间上单调递增； D．函数在上的极值点的个数为 【答案】BD 【详解】由图可知，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以函数在上的极值点的个数为，极小值点为，极大值点为， 所以选项A和C错误，选项B和D正确. 故选：BD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 利用导数图像研究函数的图像与性质 考点一 恒成立求参数问题 例1.(2526高三上福建福州月考)当x>0时，不等式c-1>血@恒成立，则实数的取值范围为() A.(0,1 B.(0,e) C.(1,e D.(（1,e2) 例2.(25-26高三上河南郑州期中)已知函数f(x=(e-2ax)(2mr-ar2-,若对任意x>0,f(x≤0恒成立， 则a的取值范围是() B. [周 c[ D. 例3.(25-26高三上·上海浦东新·期中)对任意满足5+6=11'的实数x,y，不等式 [x(x-l)-alnx]·[y(x-l)-alnr]≥0恒成立，则实数a的取值范围是 例4.(25-26高三上：陕西威阳P月考)设a,beR,若关于的不等式nx+2x≤ar+6在0，+0上恒成立，则的 最小值是 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 例5.(2025湖南水州-校拟预测>已如函数f-（任a加x,a>0 (1)若a=1,求f(x的最大值； (2)证明fx)存在唯一的极大值点x,且∫xo)≥0； 3)若对任意的x>0,不等式f()<恒成立，求a的取值范围 2x 例6.(25-26高三上江苏月考)已知f(x)=anx,gx)=x+1,h(x)=ax'+xaeR). (I)讨论函数h(x的单调性： ②求证：当xe0时，fg>1, (③若g(<1在x0引 时恒成立，求实数a的取值范围 2 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 例7.(25-26高三上·福建福州月考)己知函数f(x)=2sinx-ax,x∈[0，π (I)若(x)为增函数，求a的取值范围； (2)若1≤a≤V3,求∫(x)最大值的取值范围； (3)若f(x)≥xcosx,求实数a的取值范围. 变式1.(25-26高三上·安微准北月考)对Hx>0,x-axInx≥0恒成立，则a的取值范围是() A.0,e B. c（ 变式2.(25-26高三上安徽六安月考)若不等式2+nx≥3b,(a>0)对x>0恒成立，则的最大值为() a A.1 B君 c D. 1 变式3.(2526高三上江苏宿迁期中)已知a>0,若对在意的x∈[2,5列，ae2≤恒成立，则实数a的最大值 2e 为」 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 变式4.(2526高三上·江西南昌·期中)己知f(x)=aer-lnx+1,若对任意的x∈(e,+o),f(x)≥0恒成立，则正 实数a的取值范围是 变式5.(2526高三上贵州月考)已知连续函数f()=n(x>0). (1)讨论f(x)的单调性； (2)定义在(L,+oo)的函数g(x)满足f(g(x)=f(x),且x,≠，gx)≠x, (i)讨论g(x)的单调性； 位若8之怎，求的取值范围 变式6.(24-25高二下·福建漳州期末)设函数f(x)=mx-e+2,(m∈R),f'(x)为f(x)的导数. (I)讨论函数f(x)的最值： (2)若a为整数，m=1,且Hxe(0,+o),不等式(x-a'(x)<x+1恒成立，求a的最大值. 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 变式7.(25-26高三上河北邢台·期中)己知函数f(x)=e-x-1. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； (②)判断函数∫(x)的单调性并求其最值； (3)若不等式f(x)-kx2≥0对Vx∈[0，+o)恒成立，求实数k的取值范围. 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 考点二 利用导数图像研究函数的图像与性质 例1.(25-26高三上河北邢台月考多选)已知f'(x)是定义域为 35 22 的函数f(x)的导函数，且函数 g(x)=(x+a)f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.f(x)可能有三个极值点 B.若a=0,则f(x在(-1,2)上单调递减 C.若a=-2,则f(x的极大值点为-1 D.若f四)=+br,则a+b=0 例2.(2425高二下·福建漳州期末·多选)如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是() 45方 A.f(x)在-2，-1上是增函数： B.当x=-1时，f(x)取得极小值： C.∫(x)在-1,2上是增函数、在2,4上是减函数； D.当x=3时，f(x)取得极小值. 6 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 例3.(24-25高二下广东湛江·期末多选)已知函数∫(x)的定义域为R,f(x的导函数∫'(x的图像大致如图所 示，则下列结论中正确的是() 0123 A.f(x在(2,3)上单调递减 B.x=0是f(x)的极小值点 C.x=3是fx)的极大值点 D.曲线y=∫(x在x=2处的切线斜率为2 例4.(25-26高三上·江西·月考·多选)已知函数∫(x)的导函数为f'(x),f'(x)的图象大致如图所示，则下列选项正 确的是() A. a是f(x)的极大值点 B.C是f(x)的极小值点 C.f(x)在(-o,c)上单调递减，在(c,+o)上单调递增 D.f(x)在(-oo,a)和(b,+∞)上单调递增，在(a,b)上单调递减 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 变式1.(2425高二下·河南信阳期末·多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x,函数y=x+2)f'(x的 图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A.f(x在(-0，-2）上单调递减 B.-2为∫x)的极小值点 C.函数f(x)有极大值f(2) D.函数f(x)有三个零点 变式2.(24-25高二下·广东江门期末多选)定义在(-5,2)上的函数f(x)的导函数∫'(x)的图象如图所示，则下列 结论正确的是() 0 12 A.函数f(x)在(0,2)上单调递增 B.函数f(x在(-4，-2)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.-2> 变式3.(24-25高二下·江西抚州期末·多选)定义在[-1,3]上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列结 论正确的是() A.函数∫(x)在[-1，]上单调递减 B.函数f(x)的单调递减区间为[0,3 C.函数f(x)在x=0处取得极大值 D.函数∫(x)在x=2处取得极大值 6 利用导数图像研究函数的图像与性质、恒成立求参数问题专项训练 变式4.(24-25高二下广东江门期中多选)函数∫(x的导函数'(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是 y=f(x) X4 A.f(x的极小值点为X,x4: B.f(x的极大值点为x; C.f(x在区间(x4,b)上单调递增； D.函数f(x在(a,b)上的极值点的个数为2 9