3.6 直线和圆的位置关系（十一大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 题型一 判断直线和圆的位置关系 1．已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是 （填相交、相切或相离） 3．如图，在中，，点D为中点， (1)以点O为圆心作圆，使该圆经过A，B，D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点D作于点E，判断（1）中直线与的位置关系，并说明理由． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 6．如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r． (1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切； (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围； (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 8．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 9．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 11．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 12．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 14．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移 ，才能使l与相切？ 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D，P点在抛物线上运动，横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在第三象限时， ①求四边形面积的最大值； ②当以为直径的圆M与坐标轴相切时，求点P的横坐标m的值． 题型六 切线的应用 16．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 17．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为 ． 18．如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于孤的2倍． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)当时，求的长． 题型七 有关切线的概念辨析 19．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 20．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 21．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 题型八 判断或补全使直线为切线的条件 22．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （     ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 23．如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 24．如图1，中，，，延长到点D，使．点P是边上一点，以点P为圆心、长为半径作，交于点E，设． (1)如图2，点Q是射线上的一点，，当点Q在上时， ； (2)x为何值时，与相切？ (3)若与的三边有两个公共点，直接写出x的范围． 题型九 证明某直线是圆的切线 25．如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D．直线和都是的切线 26．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为 ． 27．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 题型十 切线的性质定理 28．如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 29．如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为 30．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 31．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 32．如图，是的直径，、是的切线，P是上一动点，若，，，则的面积的最小值是 ． 33．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 直线和圆的位置关系 题型一 判断直线和圆的位置关系 1．已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．点在圆上，点在圆外，直线经过和，因此直线与圆至少有一个交点，可能相切或相交． 【详解】解：点在上，直线与至少有一个公共点． 点在外，直线上存在点在圆外． 直线可能与相切（仅有一个公共点）或相交（有两个公共点，包括）． 直线与的关系是相交或相切． 故选：D． 2．若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是 （填相交、相切或相离） 【答案】相离 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心到直线的距离为5， ∴, ∴直线与圆相离， 故答案为：相离． 3．如图，在中，，点D为中点， (1)以点O为圆心作圆，使该圆经过A，B，D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)过点D作于点E，判断（1）中直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线与相切，见解析． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，尺规作图作三角形的外接圆． （1）取的中点O，以点为圆心，为半径作圆，则即为所作； （2）连接，利用三角形中位线定理求得，，即可推出直线与的位置关系为相切． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：连接， ∵点D为中点，点O为中点， ∴， ∵， ∴， ∵直线经过半径的外端， ∴直线与相切． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 5．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 6．如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r． (1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切； (2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围； (3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）根据圆心到直线的距离与半径比较，结合图象即可求解； （3）根据图象写出范围即可． 【详解】（1）如图，过点C作于D， 当时，与AB所在直线相切， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，与所在直线相切； （2）由（1）知，当时，与所在直线相切， 即此时与斜边只有一个公共点； 如图，可知当时，与斜边只有一个公共点， 综上，与斜边只有一个公共点时，或； （3）由图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵ 直线与没有公共点， ∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r， ∵， ∴， 故选：D 8．如图，已知直线l与相离，过点O作于点A，交于M，，．P为上一点，当P在上运动时，作于点B，则最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的有关性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平方式的非负性等知识，利用平方式的非负性求解是解答的关键． 分两种情况：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时，当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时，过点P作于N，连接，通过证明所构造的四边形是矩形，设，结合矩形的性质利用勾股定理可得关于的式子，再分别计算可求解． 【详解】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点O作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 则， ∴， ∴当最大值时，值最大， 令， 则， ∵，∴， ∴当，即时，y有最大值， ∴， 故当时，最大，最大值为：； 当P点不在过点O且平行于直线l的直线上方时， 过点P作于N，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ， ∴， ∵，， ∵时，随x的增大而增大，也随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为． ∵ ∴的最大值为． 故答案为：． 9．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 11．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 12．已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）6；（3）4﹣＜t＜4+ 【分析】(1)先得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥BC，则OD=1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，得到∠OC′D=60°，算出C′D=，进而得到2t+1+=5即可求解； (2)△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q=1，则D′B′=1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C1D=，则DB1=，进而得=2t，即；当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3，作O′H⊥A2C2于H，得到∠O′C2D′=30°，则C2D′=O′D′=，进而得=2t，解得，由此求解 ． 【详解】解：(1)∵AB=，BC=1，∠ABC=90°， ∴， ∴∠A=30°，∠ACB=60°， 作OD⊥直线BC，则OD=1， 当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E， ∵∠A′C′B′=∠ACB=60°， ∴∠OC′D=60°， 在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°， ∴C′D=， ∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5， ∴2t+1+=5， ∴， 故答案为：； (2)如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q， 则O′Q=1，∴D′B′=1， ∵BD=5，DD′=t，BB′=2t， ∴5+t+1=2t， ∴t=6， 故答案为：t=6； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3， 由(1)得C1D=， ∵BD=5，DD′=t，BB1=2t， ∴DB1=DD′﹣B1C1﹣C1D′= ， ∴， ∴； 当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3， 作O′H⊥A2C2于H， ∵O′C2平分∠A2C2B2， ∴∠O′C2D′=30°， ∴C2D′=O′D′=， ∵CD+DD′+D′C2=CC2， ∴， ∴， ∴当d＜1时，t的取值范围为＜t＜． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 14．已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移 ，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D，P点在抛物线上运动，横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在第三象限时， ①求四边形面积的最大值； ②当以为直径的圆M与坐标轴相切时，求点P的横坐标m的值． 【答案】(1) (2)①四边形面积的最大值；②m的值为或 【分析】（1）由题意可得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，过作轴交于，求出，得出，从而可得，求出直线的解析式为，设，则，得出，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②连接，由题意可得的中点坐标为，从而得出的半径满足，分两种情况：当与轴相切时，到轴的距离等于；当与轴相切时，到轴的距离等于，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①连接，过作轴交于，如图： ， 在中，令，得， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，为， ∴四边形面积的最大值为； ②连接，如图， ， ∵，，为的直径， ∴的中点坐标为， ∴的半径满足， 当与轴相切时，到轴的距离等于， ∴， 解得（此时与重合，舍去）或； 当与轴相切时，到轴的距离等于， ∴， 变形整理得：， 解得：（此时不在第三象限，舍去）或； 综上所述，m的值为或． 题型六 切线的应用 16．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 17．如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 18．如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于孤的2倍． (1)比较与的大小，并说明理由． (2)当时，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等角对等边，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，．由得是直径，由恰是圆的切线得，根据平分可得，求得，根据同弧所对圆周角相等可得结论； （2）连接，证明，得出．再证明，得出． 【详解】（1）解：． 理由：连接． ∵， ∴是直径． ∵是切线， ∴．即, ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴，即． （2）解：连接，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵弧等于弧的2倍， ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 题型七 有关切线的概念辨析 19．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 20．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 21．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 题型八 判断或补全使直线为切线的条件 22．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （     ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 23．如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 24．如图1，中，，，延长到点D，使．点P是边上一点，以点P为圆心、长为半径作，交于点E，设． (1)如图2，点Q是射线上的一点，，当点Q在上时， ； (2)x为何值时，与相切？ (3)若与的三边有两个公共点，直接写出x的范围． 【答案】(1) (2)时，与相切 (3)或 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由，可得的长，从而的长可求；当点Q在上时，如图，根据推得，从而列出方程，解得x的值即可； （2）作于点F，当时，与相切，如图2，由正弦函数得出关于x 的方程，解得x的值即可； （3）分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴， 当点Q在上时，如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：作于点F，当时，与相切，如图1，    则，， ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， ∴时，与相切； （3）解：或， 由（2）可知，当时，与的三边有两个公共点， 如图3，当点B在上时，   ，即， 解得； 当点A在上时，，    ∴当时，与的三边有两个公共点， ∴x的取值范围为或． 题型九 证明某直线是圆的切线 25．如图，是的外接圆，是延长线上一点，连接，且，点是中点，的延长线交于点，则下列说法错误的是（    ） A． B．垂直平分 C． D．直线和都是的切线 【答案】C 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，切线的判定等知识，理解图示，掌握圆的基础知识是关键． 根据圆周角定理可判定A选项；根据题意得到，即可判定B选项；假设正确，结合角度的关系及题意可判定C选项；根据切线的判定，角度的和差转换可判定D选项． 【详解】解：点是中点， ， ， ， 垂直平分，故B正确，不符合题意； ，， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， 都是的半径，， 直线和都是的切线，故D不符合题意； 假设正确，则， ， ，无法得证， ，不正确． 故选：C． 26．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点C，且，连接．直线与的位置关系为 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点． 先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论． 【详解】解：， ∴在中，， 又∵为的半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 27．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若A，，则的半径是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． （1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：． 故答案为：。 题型十 切线的性质定理 28．如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 29．如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 30．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 题型十一 切线的性质和判定的综合应用 31．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 32．如图，是的直径，、是的切线，P是上一动点，若，，，则的面积的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据题意知当P到的距离最小时的面积最小，过P作，交于点E，交于点F，可知当与相切时，P到的距离最短，连接并延长交于点Q，过O作，交于点G，交于点H，则有可知为梯形的中位线，为梯形的中位线，可求得，过D作于点M，则，，则有，根据切线长定理可知，，求得，则和，结合平行线的性质得，可求得，利用面积公式即可． 【详解】解：由是固定的，所以当P到的距离最小时的面积最小，如图，过P作，交于点E，交于点F， 当与相切时，P到的距离最短，连接并延长交于点Q， 过O作，交于点G，交于点H， 则可知为梯形的中位线，为梯形的中位线， ∵，， ∴， 过D作于点M，则，， ∴， 由切线长定理可知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 33．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $