3.5 确定圆的条件（九大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.5 确定圆的条件 题型一 判断确定圆的条件 1．下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是 ． 3．矩形中，，． (1)如图1，矩形的对角线，相交于点O． ①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积． (2)如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值． 题型二 求能确定的圆的个数 4．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 6．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 题型三 三角形外接圆的概念辨析 7．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 8．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 9．如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 10．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 11．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 12．如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 题型五 确定圆心（尺规作图） 13．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 15．（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 题型六 判断三角形外接圆的圆心位置 16．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 18．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 题型七 求三角形外心坐标 19．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是 ． 21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 题型八 求特殊三角形外接圆的半径 22．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 23．如图，点E是四边形的边上一点，，，，，则的外接圆面积等于 ． 24．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 题型九 画圆（尺规作图） 25．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 26．已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 27．阅读理解： 课上，小徐提出一个命题：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”为充分运用该命题，老师作出两个图（图①、图②），完成练习： (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 确定圆的条件 题型一 判断确定圆的条件 1．下列命题不正确的是（   ） A．过一点有无数个圆 B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C．过三点能作一个圆 D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 2．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 3．矩形中，，． (1)如图1，矩形的对角线，相交于点O． ①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积． (2)如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值． 【答案】(1)①见解析；② (2)8 【分析】（1）①根据矩形的性质，得到，得到点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，根据矩形的性质，得，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆； ②过点E作在于点D，根据，得到，结合，，得到，设，则，利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可． （2）根据折叠的性质，得到，根据，得到，当点C，D，H三点共线时，最小，此时面积的为，最小． 【详解】（1）①∵矩形， ∴，， ∴点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点D在以O为圆心的同一个圆上， 故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上； ②如图，过点E作在于点D， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得（舍去）， ∴的面积． （2）根据折叠的性质，得到， ∵， ∴， ∴当点C，D，H三点共线时，最小， 此时面积的为，最小． 题型二 求能确定的圆的个数 4．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 5．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 6．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 题型三 三角形外接圆的概念辨析 7．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 8．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 9．如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 10．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 11．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 12．如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②30 【分析】（1）由菱形的性质及，利用边角边即可证明； （2）①连接交于点，过作于点，由菱形的性质及正弦函数关系可求得；由，得，由正弦函数关系求得，此即平行线与之间的距离； ②由题意知，是锐角三角形；当时，；当时，，从而得，即得，，最后求得的值． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； （2）解：①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 题型五 确定圆心（尺规作图） 13．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、． 若， 四边形的面积为．则（           ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图、菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， 四边形的面积为， ， ． 故选：C． 14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 15．（1）小丽家的房前有一块空地，空地上有三棵树A、B、C（如图），小丽想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小丽把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，求花坛的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，，由圆周角定理得，则可得，即花坛的半径长为． 【详解】解：（1）如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． （2）连接，， ， ， ， 花坛的半径长为． 题型六 判断三角形外接圆的圆心位置 16．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外心，关键是熟练掌握三角形的外心的概念．根据三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点， 三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为， 则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点． 故选：C． 17．如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 18．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握图形的旋转性质，三角形外接圆性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据三角形外接圆性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【详解】（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转得到， 连接，得到, 如图所示： ②分别取边垂直平分线上的格点， 作边的垂直平分线相交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 得到的外接圆，如图所示： （2）连接， ∴的面积为． 题型七 求三角形外心坐标 19．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知，的外心坐标应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求三角形外心坐标，解题关键是掌握三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴与的交点即为所求的的外心， ∴的外心坐标是， 故答案为：． 21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 题型八 求特殊三角形外接圆的半径 22．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 23．如图，点E是四边形的边上一点，，，，，则的外接圆面积等于 ． 【答案】 【分析】连接，，作的外接圆，圆心为，连接，，由，得，，结合，得出，由角的差得，故，可证，得，结合得，由圆周角定理可得，结合，由勾股定理得半径为，利用圆的面积公式即可得出． 【详解】解：如图，连接，，作的外接圆，圆心为，连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得， 即的半径为， ∴． 故答案为：． 24．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 题型九 画圆（尺规作图） 25．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 26．已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 【答案】① 【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作这条直线的垂线，作直径所对的圆周角，理解尺规作图的依据是解题的关键．按尺规作图的要求依次判断即可． 【详解】解：图以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于；再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；过点作射线，射线即是所求的射线；图符合题意； 图以点为圆心，长为半径画弧交于点E；再以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于，直线，且直线不一定过点C，即射线不一定与垂直，所以射线不是所求的射线，图不符合题意； 图中不是射线，故图不符合题意． 故答案为：． 27．阅读理解： 课上，小徐提出一个命题：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”为充分运用该命题，老师作出两个图（图①、图②），完成练习： (1)在图①中，在上求作一点D满足； (2)在图②中，在上求作一点D满足． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）要满足，先将其转化为比例式，因等式两边有公共角，故只需构造一组对应角相等；用尺规在内部作，使与交于点，利用两角对应相等可得，根据相似三角形对应边成比例即可推出，点即为所求； （2）要满足，需先构造辅助圆以获得直角条件；连接，用尺规作的垂直平分线，找到的中点，以为圆心、为半径作与的交点即为；因是的直径，故，结合（同圆半径相等）及圆周角定理，可推得，再由公共角，证明，根据相似三角形对应边成比例推出，同理可证满足条件． 【详解】（1）解：以为一边，在内部作与的交点即为所求的点． 理由：由作图可知：， ， ， ， ∴； 即点为满足题意的点； （2）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，与的交点，即为求作的点． 理由：连接， ∵是的直径， ∴，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为满足题意的点，同理可证为满足题意的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $