3.5 确定圆的条件 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“确定圆的条件”，核心为“不在同一直线上的三个点确定一个圆”及三角形外接圆、外心概念。以考古复原圆形瓷器碎片情境导入，通过“过一点、两点到三点作圆”的阶梯式探究，衔接圆的基本性质与垂直平分线知识，构建完整认知脉络。 此设计以探究式学习为主，结合动手操作（如尺规作图）培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过问题链引导逻辑推理（数学思维），实际应用环节（复原圆盘）强化模型意识（数学语言）。助力学生提升探究能力，为教师提供清晰教学路径，夯实圆的性质与应用基础。

3.5确定圆的条件 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第3章“圆”的第5节。内容包括探索并理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，掌握三角形外接圆、外心的概念，了解“过同一直线上的三点不能作圆”的原因 （二）教学内容解析 本节课是在学习了圆的基本概念和性质后，对圆的确定问题的进一步研究，从“过一点”、“过两点”到“过三点”，体现了由特殊到一般的认知规律， “不在同一直线上的三个点确定一个圆”是核心结论，为后续学习三角形的外接圆、圆内接三角形以及直线与圆的位置关系奠定基础，从数学思想上看，本节课渗透了转化、分类讨论和数形结合的思想基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 理解并掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆；了解三角形的外接圆、外心等概念；会过不在同一直线上的三点作圆。 2.通过动手操作、观察、分析和归纳，经历探索确定圆的条件的过程，培养学生的探究能力和动手实践能力。 3.在探索活动中体验成功的喜悦，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 （二）教学目标解析 达成知识与技能目标的标志是：学生能准确说出确定一个圆需要的条件，并能在图中找到三角形的外心，正确作出三角形的外接圆。 达成过程与方法目标的标志是：学生能主动参与探究活动，通过画圆、讨论、合作交流，自己总结出结论，并能清晰地表达自己的思考过程。 达成情感态度与价值观目标的标志是：学生在小组合作中积极参与，乐于分享，面对困难不退缩，对数学探究活动表现出兴趣。 三、学生学情分析 已有知识基础：已经学习了圆的定义、圆心、半径以及垂直平分线的性质和作法，具备一定的动手操作能力和初步的几何推理能力 可能遇到的困难：从“过两点”到“过三点”的思维跨度较大，学生可能不易想到利用垂直平分线来找圆心， 对于“确定”的理解，即圆心和半径的唯一性，需要通过逻辑推理来确认，学生可能存在困难，区分“三角形的外心”与“三角形的内心”等概念时容易混淆 应对策略 设计阶梯式的探究问题，由易到难，引导学生逐步深入 加强动手操作环节，让学生在实践中感悟 通过对比和辨析，帮助学生理清易混淆概念基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】理解三角形的外接圆和外心的概念 四、教学策略分析 1. 教学方法 采用“探究式学习”为主，“讲授法”和“讨论法”为辅的教学方法 以学生为主体，教师为主导，引导学生自主探索、合作交流 2. 教学手段 利用多媒体课件辅助教学，展示作图过程和动态变化，增强直观性 学生准备圆规、直尺、铅笔、白纸等工具，进行动手操作 五、教学过程分析 （一）复习引入 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现了……发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 思考： 要确定一个圆必须满足几个条件? 设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件. （二）主动参与、感悟新知 问题1：确定圆的基本要素有那些？ 问题2：过一个点可以作几条直线？ 问题3：过几个点可以确定一条直线？ 探究一：探索确定圆的条件 问题1 经过一个已知点A能确定一个圆吗? 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； 经过一个已知点能作无数个圆 问题 2 经过两个已知点A、B能确定一个圆吗? 经过两个已知点A、B能作无数个圆，经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎 样的一条直线上? 它们的圆心都在线段AB的中垂线上. 问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上). 你是如何做的? 你能作出几个这样的圆? 问题3：作圆，使它经过已知点 A，B，C（A，B，C 三点不在同一条直线上） .你能作出几个这样的圆？ 作法：1. 连结 AB，BC. 2. 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O. 3. 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. 经过 A，B，C 三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 现在你知道了怎样要将一个如图的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1. 在圆弧上任取三点 A，B，C； 2. 作线段 AB，BC 的 垂直平分线，其交点 O 即为圆心； 3. 以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆.⊙O 即为所求. 探究二：三角形的外接圆及外心 已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆. 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 三角形外接圆的作法： (1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； (2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可． 练习一：判一判： 下列说法是否正确 (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) 2、分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况. 3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 课本习题3.6 第1,2,3题 （五）板书设计 确定圆的条件 1. 确定圆的条件： - 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2. 三角形的外接圆和外心： - 外接圆：三角形的三个顶点确定的圆。 - 外心：三角形三边垂直平分线的交点。 3. 外心的位置特点： - 锐角三角形：外心在三角形内部。 - 直角三角形：外心在斜边中点。 - 钝角三角形：外心在三角形外部。 4. 实际应用： - 复原圆形瓷器的方法。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $