27.2.3 相似三角形应用举例课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦相似三角形应用，涵盖测量高度、宽度及解决遮挡物问题。课堂导入先回顾相似三角形判定与性质，再结合塔高、河宽等实际问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于融合历史案例与生活实例，以数学眼光将实际问题转化为相似三角形模型，通过推理和比例推导培养数学思维，归纳测高测宽方法提升数学语言表达。学生能发展应用意识，教师可高效开展实践教学。

人教版数学9年级下册培优备课课件 27.2.3 相似三角形应用举例 第二十七章 相似 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题. 1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？ 2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？ 导入新知 导入新知 用我们学过的知识怎样测量前面那些物体的高度呢？ 利用相似三角形测量高度 传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 5 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ． ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 6 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 返回 C 1. 小菲和妈妈去某景区游玩．在景区门口，小菲利用皮尺，测得身高1.7 m的妈妈的影长为1 m，同一时刻，她测得该景区大门的影长为10 m，则大门的高为(　　) A．15 m B．16 m C．17 m D．18 m 中考考法 8 返回 2. B [教材P43习题T10变式]如图，为测量亭子的高度，小菲在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、平面镜和亭子底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到亭子的顶端．已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m， 镜子与亭子的水平距离为10 m， 则亭子的高度为(　　) A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m 中考考法 A F E B O ┐ ┐ 还有其他的测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用“镜子的反射原理”去解决. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) B 试一试： A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据，计算河 宽 PQ. 利用相似三角形测量宽度 P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ P R Q S b T a 45 m 90 m 60 m 例 3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD = 80 m， DC = 30 m，EC = 24 m，求 两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 解：∵∠ADB =∠EDC，   ∠ABC =∠ECD = 90°，   ∴△ABD∽△ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致 距离为 64 m. E A D C B 30 m 24 m 80 m 测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三角形求解. 归纳： 返回 3. D 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2 m， AC＝3.2 m，AE＝0.8 m，那么CD为(　　) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 中考考法 4. (4分)[2025保定期中]如图，小南利用自制的三角形纸板DEF测量大树AB的高度，她通过不断调整自己的姿势和三角形纸板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知三角形纸板的两边长分别为EF＝0.2 m，DE＝0.3 m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6 m，测得AM＝21 m， 求树高AB. 中考考法 返回 中考考法 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进， 当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边 较高的树的顶端 C 了? 利用相似解决有遮挡物问题 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和 Ⅱ 都在观察者看不 到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C 点了. 故当她与左边较低的树的距离小于 8 m 时，就看不到右边较高的树的顶端 C. 解：如图，假设观察者向右走到点 E 时，她的眼睛的 即 解得 EH = 8. 位置点 E 与两树的顶端点 A，C 恰在一条直线上. ∵ AB⊥l，CD⊥l，∴ AB∥CD. ∴ ， ∴△AEH∽△CEK. 1. 有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m.在图纸上，这条边的长为 5 cm，其他两条边的长都为 4 cm，求其他两边的实际长度． 解：设其他两边的实际长度分别为 x m、y m，由题意得 ，解得 x = y = 20． 答：该草坪其他两边的实际长度都是 20 m． 4 cm 4 cm 5 cm 随堂练习 2．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由： （1）AB = 10 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm，A′B′ = 150 cm，B′C′ = 180 cm，A′C′ = 225 cm． 解：△ABC∽△A′B′C′，理由如下： ∴△ABC∽△A′B′C′. 随堂练习 （2）∠A = 70°，∠B = 48°，∠A′ = 70°，∠C′ = 62°. 解：△ABC∽△A′B′C′，理由如下： ∵∠A = 70°，∠B = 48°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B = 62°. ∵∠A′ = 70°，∠C′ = 62°， ∴∠A =∠A′，∠C =∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′． 随堂练习 3．如图， （1）判断两个三角形是否相似； 解：由图 (1) 可知： ∴△ABC∽△DEF. (1) 随堂练习 3．如图， （1）判断两个三角形是否相似； (2) 解： ∴△ABC∽△EDC. 随堂练习 （2）求 x 和 y 的值． 解：∵△ABC∽△EDC， ∴∠B = ∠D = 98°， ∴ y = 98，x = 40.5． (2) 随堂练习 4．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 证明：∵ DE∥BC， ∴∠AED =∠C． 又∵ EF∥AB， ∴∠A =∠FEC． ∴△ADE∽△EFC． 随堂练习 5．如图，△ABC 中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形． 解：△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC. 随堂练习 6．如果把两条直角边分别为 30 cm，40 cm 的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），根据题意得 ，解得 a = 18，b = 24. 所以面积为 随堂练习 7．如图，AD 是 Rt△ABC 斜边上的高，若 AB = 4 cm，BC = 10 cm，求 BD 的长． 解：∵ AD 是 Rt△ABC 斜边上的高，∴∠ADB =∠CAB，∠BAD +∠CAD = 90°，∠CAD +∠C = 90°. ∴∠BAD =∠C. ∴△ABD∽△CBA. ∴BD = 1.6 cm. 随堂练习 8．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA = 3OD，OB = 3OC），然后张开两脚，使 A、B 两个尖端分别在线段 l 的两个端点上，这时 CD 与 AB 有什么关系？为什么？ 解：∵OA = 3OD，OB = 3OC， ∴ OA:OD = OB:OC = 3:1. ∵∠AOB =∠DOC，△AOB∽△DOC． ∴ AB = 3CD． 随堂练习 9．如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，如果标杆 BE 高 1.2 m，测得 AB = 1.6 m，BC = 12.4 m，楼高 CD 是多少？ 解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC. ∴△ABE∽△ACD.∵BE = 1.2，AB = 1.6， BC = 12.4，∴AC = 14. ∴CD = 10.5，即楼高 CD 是 10.5 m． 随堂练习 10．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时∠LMK 等于∠SMT 吗？如果王青身高 1.55 m，她估计自己眼睛距地面 1.50 m，同时量得 LM = 30 cm，MS = 2 m，这栋楼有多高？ K 随堂练习 解：根据题意，∠KLM =∠TSM = 90°，∠KML =∠TMS， ∴△KLM∽△TSM. 所以这栋大楼高为 10 m． K 随堂练习 11．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 F 在对角线 AC 上运动，EF∥BC，FG∥CD，四边形 AEFG 和矩形 ABCD 一直保持相似吗？证明你的结论． 解：相似．理由： ∵EF∥BC，FG∥CD，∴△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD. 随堂练习 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD =∠B =∠BCD =∠D = ∠AEF =∠EFG =∠AGF = 90°． ∴四边形 AEFG∽矩形 ABCD． 随堂练习 12. 如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，试确定点 D（或 E）的位置. 解：∵ DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ∵ 平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分， 随堂练习 13．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求∠ACB 的大小． 解：∵ CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC =∠CDB = 90°. ∴△ADC∽△CDB.∴∠A =∠DCB. ∵∠A +∠ACD = 90°， ∴∠DCB +∠ACD = 90°，即∠ACB = 90°． 随堂练习 14．如图，△ABC 中，AB = 8，AC = 6，BC = 9. 如果动点 D 以每秒 2 个单位长度的速度，从点 B 出发沿边 BA 向点 A 运动，此时直线 DE∥BC，交 AC 于点 E．记 x 秒 时 DE 的长度为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式，并画出它的图象． 随堂练习 解：由题意可知 BD = 2x，则 AD = AB - BD = 8 - 2x， ∵ DE∥BC， 其图象如图所示. 随堂练习 返回 5. C [教材P40例5变式]如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝5 m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝8 m，DE＝4 m，则AB＝(　　) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 中考考法 返回 6. 20 [2024扬州中考]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上的成像为A′B′.若AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O 到A′B′的距离为________cm. 中考考法 返回 7. 0.5 [教材P57复习题T7变式]如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝ 3 cm，则零件的厚度x为______ cm. 中考考法 返回 8. D 一种燕尾夹如图①所示，图②是其在闭合状态时的示意图，图③是其在打开状态时的示意图(此时AB∥CD)，相关数据(单位：mm)如图所示，从图②闭合状态到图③打开状态，点B，D之间的距离减少了(　　) A．10 mm B．20 mm C．22 mm D．25 mm 中考考法 返回 9. [2025邢台期中]如图①是装了液体的长方体容器的主视图(数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所示，此时液面宽度AB＝________cm. 中考考法 48 10. (8分)晓玲打算去测量大雁塔南广场上的玄奘雕塑，她自制了一个矩形纸板CDEF，按如图所示方式在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C处悬挂一个铅锤M，恰好交DE于点M，测得点C到雕塑AB的距离CH为6 m，CD＝0.5 m，DM＝0.6 m，点C到地面BE的距离为1 m，AB∥CM，AB⊥BE，所有点都在一个平面内， 请求出玄奘雕塑的高AB. 中考考法 49 解：易知CH⊥AB， ∵AB∥CM，AB⊥BE，点C到地面的距离为1 m， ∴CM⊥CH，BH＝1 m， ∴∠ACH＋∠DCM＝90°， 在矩形CDEF中，∠D＝90°， ∴∠CMD＋∠DCM＝90°， ∴∠ACH＝∠DMC. ∵∠D＝∠AHC＝90°， 中考考法 50 返回 中考考法 11. (8分)某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB.如图，他们发现塔前有一棵高4 m的小树CD，并且水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在同一条直线上，经测量BD＝58.5 m．由于D，E之间有一个花圃，距离无法测量，于是同学们在E处放置一平面镜，某同学沿BE方向后退，退到G处时恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4 m，该同学的眼睛到地面的距离FG为1.6 m． 已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B，D，E，G在同一水平线上． 请你求出凌霄塔的高度AB. (平面镜的大小、厚度忽略不计) 中考考法 52 中考考法 返回 中考考法 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 解：根据题意得∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB，∴＝. ∵EF＝0.2 m，DE＝0.3 m，CD＝AM＝21 m， ∴＝，∴BC＝14 m，易知AC＝DM＝1.6 m， ∴AB＝AC＋BC＝1.6＋14＝15.6(m)． 答：树高AB为15.6 m. ∴△AHC∽△CDM， ∴＝，即＝， ∴AH＝5 m，∴AB＝AH＋BH＝6 m， ∴玄奘雕塑的高AB为6 m. 解：∵CD⊥BG，FG⊥BG， ∴∠CDE＝∠FGE＝90°. 由光的反射特点可知∠CED＝∠FEG， ∴△CDE∽△FGE.∴＝. ∵CD＝4 m，FG＝1.6 m，EG＝2.4 m， ∴＝.∴DE＝6 m. ∵BD＝58.5 m，∴BE＝BD＋DE＝58.5＋6＝64.5(m)． ∵AB⊥BG，CD⊥BG， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°. 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△ABE∽△CDE. ∴＝，即＝.∴AB＝43 m. ∴凌霄塔的高度AB为43 m. $