27.2.2 相似三角形的性质课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，通过回顾判定方法导入，以合作探究对应高、中线、角平分线的比为支架，衔接前后知识，帮助学生掌握对应线段、周长、面积比的性质及应用。 亮点在于通过“探究-归纳-应用”教学链，结合例题、变式练习及实际问题，培养学生推理能力与应用意识。如折叠矩形证明相似及面积比计算，助学生用数学思维解决问题，教师可借助分层练习提升教学效率。

人教版数学9年级下册培优备课课件 27.2.2 相似三角形的性质 第二十七章 相似 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质，并运用其进行计算与推理. 通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题. 相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三 角形与原三角形相似. 3. 三边对应成比例的两三角形相似. 4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 5. 两角分别相等的两个三角形相似. 6. 两边对应成比例的两直角三角形相似. 导入新知 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 相似三角形对应线段的比 A B C A' B' C' 合作探究 ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B'． 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°． ∴△ABD∽△A'B'D'． A' B' C' D' ∴ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比． C A B D 仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 试一试： 返回 B 1. 若△ABC∽△DEF，且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的相似比为(　　) A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16 中考考法 7 返回 2. C 已知△ABC∽△A′B′C′，AC∶A′C′＝2∶3，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，若BD＝6 cm，则B′D′的长是(　　) A．3 cm B．4 cm C．9 cm D．12 cm 中考考法 类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳： 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比). ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C 典例精析 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想： 如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'. 从而 归纳： 相似三角形周长的比等于相似比. 返回 3. [教材P39练习T2变式]如图，△ABC∽△A′B′C′.AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3.若BE＝6，则B′E′＝________. 中考考法 返回 4. B 已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 中考考法 相似三角形面积的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？ 合作探究 A B C A' B' C' 由前面的结论，我们有 D' D A B C A' B' C' 分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′. 故 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 归纳： 返回 5. 2 中考考法 返回 6. 18 cm　 两个相似三角形的最短边长分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差是12 cm，那么小三角形的周长为________. 中考考法 返回 7. D [2024重庆中考]若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 中考考法 返回 8. B [2025石家庄模拟]嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了(如图所示)，已知△ABC∽△DEF.测得AC＝3 cm，DF＝ 4 cm，△DEF的面积为16 cm2，则△ABC的面积为(　　) A．6 cm2 B．9 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 中考考法 9. 中考考法 21 返回 中考考法 返回 10. C 图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 中考考法 23 返回 11. D 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(　　) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 中考考法 24 返回 12. B [2025威海中考] 如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE.下列结论错误的是(　　) 中考考法 返回 13. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC交DE于点G.若AE＝3，EC＝1，AD＝2，BD＝4，则AG与AF的比为________. 中考考法 14. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°. 由折叠的性质，得∠APO＝∠B＝90°， ∴∠POC＝90°－∠CPO＝∠APD. 又∵∠C＝∠D. ∴△OCP∽△PDA. (8分)如图，矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O. (1)求证：△OCP∽△PDA； 中考考法 (2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求AB的长. 返回 中考考法 28 15. (1)若AB＝8，求线段AD的长； 中考考法 (2)若△ADE的面积为1，求▱BFED的面积． 返回 中考考法 30 16. (8分)[教材P58复习题T11变式]一块直角三角形木板的两条直角边AB，BC分别为1.5 m，2 m，怎样才能把它加工成一个无拼接且面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求. 中考考法 中考考法 返回 中考考法 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质的运用 相似三角形的周长的比等于相似比 如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AB上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点D，＝，AC＝4，则AE＝________. (4分)如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.若△DEF的面积为2，求四边形BCDF的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB. ∵DE＝CD，∴CE＝3DE，即＝， ∴＝＝.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18， ∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16. A．S△DEF＝S△BCF B．S△ADE＝S四边形BCED C．S△DBF＝S△BCF D．S△ADC＝S△AEB 解：∵△OCP∽△PDA，且△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴＝.∵AD＝8.∴CP＝4. 设AB＝x，则CD＝AB＝AP＝x，∴DP＝x－4. 在Rt△APD中，AP2＝AD2＋DP2，即x2＝82＋(x－4)2， 解得x＝10.∴AB＝10. 解：∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BF，∴△ADE∽△ABC. ∴＝＝. ∵AB＝8，∴AD＝2. (8分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，＝. 解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝＝， ＝＝.∴＝.∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝16. ∵四边形BFED是平行四边形， ∴EF∥AB.∴△EFC∽△ABC.∴＝＝＝. ∴S△EFC＝9.∴S▱BFED＝16－9－1＝6. 解：(甲)过点B作BH⊥AC，垂足为H，交DE于点M. 易知DE∥AC，∴BM⊥DE，△BDE∽△BAC.∴＝. 由勾股定理得AC＝＝＝2.5(m)． ∴易得BH＝＝＝1.2(m)．设DE＝x m，易知MH＝x m，∴＝，解得x＝，即DE＝ m. ∴甲木匠加工的正方形的边长为 m. (乙)由题意，易知△CDE∽△CBA，则＝. 设DE＝DB＝y m，则有＝， 解得y＝，即DE＝ m. ∴乙木匠加工的正方形的边长为 m. ∵＝>，∴乙木匠的方法符合要求． $