精品解析：江西省上饶市上饶经开区中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第三次阶段作业 九年级・数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列事件属于必然事件的是（　　） A. 四边形的内角和是 B. 校园排球比赛，九年级1 班获得冠军 C. 任意三条线段可以组成三角形 D. 打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况 3. 在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 6. 如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的解是______． 8. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____． 9. 对实数，定义新运算“”如下：，如，，若的两根为，，则______． 10. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______．（结果保留） 11. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 16. 如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图，内接于，是劣弧的中点，画出的中线； （2）如图，是的直径，是内一点，画出的高． 17. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、、3，现将三张卡片放入一个不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字． （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，当时，的取值范围是______． 19. 如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、G，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出310件，若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 22. 已知线段是正方形的一条对角线，点在射线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点在射线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 六．（本大题共12分） 23. 如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．当四边形是菱形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次阶段作业 九年级・数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）为解题的关键．根据一元二次方程定义对给出的方程进行辨别即可求解． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为． 对于A：含分式，不是整式方程，不符合①，故不符合题意； 对于B：中可能为，当时不是二次方程，故不符合题意； 对于C：含两个未知数和，不符合②，故不符合题意； 对于D：可化为 ，满足①②③，是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 2. 下列事件属于必然事件的是（　　） A. 四边形的内角和是 B. 校园排球比赛，九年级1 班获得冠军 C. 任意三条线段可以组成三角形 D. 打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、四边形内角和是，是必然事件，故A符合题意； B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意； C、任意三条线段可以组成三角形是随机事件，故C不符合题意; D、打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意； 故选：A 3. 在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 4. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，排除B选项和C选项，根据A选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向上，排除D选项，即可得出A为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上， ∴可以排除B选项和C选项； A选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，可以排除D选项， 故选A． 5. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案. 【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选C. 本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的． 【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键. 6. 如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 则或， 解得，， 故答案为：，． 8. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离_____． 【答案】13 【解析】 【分析】如图，连接OB、OP，根据切线长定理可得AC=CE，ED=BD，PA=PB，根据△PCD的周长可求出PB的长，根据切线的性质可得OB⊥PB，利用勾股定理求出OP的长即可. 【详解】如图，连接OB、OP， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D， ∴AC=CE，ED=BD，PA=PB， ∵△PCD的周长为24， ∴PC+CE+ED+PD=24， ∴PA+PB=24， ∴PB=12， ∵PB是⊙O的切线，OB是⊙O半径， ∴OB⊥PB， ∴OP===13. 故答案为：13 【点睛】本题考查了切线长定理及切线的性质，从圆外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；圆的切线垂直于过切点的半径；熟练掌握切线长定理及切线的性质是解题关键. 9. 对实数，定义新运算“”如下：，如，，若的两根为，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．先解一元二次方程求出两根，再根据新运算的定义，比较两根的大小，从而得出结果． 【详解】解： ， ， 解得，． 若，，则，根据定义， 若，，则，根据定义， 综上，． 故答案为：． 10. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式． 根据弧长公式计算． 【详解】解：∵用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动， ∴重物上升了（）， 故答案为：． 11. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，设与交于点，与交于点；根据全等三角形的判定与性质证明，从而证明，根据等边三角形的判定与性质、三角形的面积公式计算出，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，连接． 设与交于点，与交于点． ∵四边形是菱形， ∴是角的平分线，． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， 同理，得． ∵，，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形和扇形的面积计算公式是解题的关键． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的条件、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先说明“美丽三角形”是直角三角形，然后分为斜边和直角边两种情况，分别运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是的中线，且为“美丽三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图：当为斜边时， 设点， ∵， ∴，， ， ∵为“美丽三角形”，即直角三角形， 当时， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或； 如图：当为直角边，时，， ∴，解得：； ∴ 如图：当为直角边，时，点P不在边上，不符合题意． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）该方程无实数根； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）根据两个式子的平方相等，那么运用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴该方程无实数根． 【小问2详解】 ， ， ①， ， ， ； ②， ． 综上，该方程的解为，． 14. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【答案】 证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【解析】 【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】略 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得，再解得，即可作答． （2）结合一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入，求出或，又因为，得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． 16. 如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图，内接于，是劣弧的中点，画出的中线； （2）如图，是的直径，是内一点，画出的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，垂径定理，三角形的中线，角平分线和高，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，延长交于点，连接，，延长，交于点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 如图，线段即为所求． 【小问2详解】 如图，线段即为所求． 17. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、、3，现将三张卡片放入一个不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字． （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、、3，运用概率公式计算出第一次抽到写有负数的卡片的概率，即可作答． （2）理解题意，先画出树状图，得出共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为、、3，且， ∴第一次抽到写有负数的卡片的概率是； 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果， 两次抽出的卡片上数字都为负数的概率为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点的坐标是______，顶点坐标是______； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，当时，的取值范围是______． 【答案】（1）；，；； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键． （1）令，可得二次函数图象与y轴的交点；令，可得二次函数图象与轴的交点；对进行配方，可得顶点式公式，得出顶点坐标； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时，对应的的取值范围． 【小问1详解】 解：∵令，则， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标是； ∵令，则，即，解得，， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是和； ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 二次函数图象如图所示： 【小问3详解】 由（2）图象可得：当时，的取值范围为或． 19. 如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，由正方形的性质，，进而得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，推出，继而根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， 四边形为正方形， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）有， ，， 四边形为正方形， ，则， 在中：． 20. 如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、G，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）BD与相切，理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，可得，可得、、，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 （1）解：与相切． 理由：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）中，得． ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 则，． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出310件，若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每天的销售量为210件 （2）（） （3）当销售单价为45元时，每天最大利润为3150元． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）先求出最高售价，再根据销售单价每提高1元，则每天销售量减少10件列出代数式即可； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质求出答案即可． 【小问1详解】 最高售价为：（元） 则销售量为：（件） 答：每天的销售量为210件． 【小问2详解】 由题意可得， （其中）． 【小问3详解】 图象开口向下，对称轴为直线 随的增大而增大， 时， 答：当销售单价为45元时，每天最大利润为3150元． 22. 已知线段是正方形的一条对角线，点在射线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点在射线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）分两种情况讨论：点E在线段上；点E在的延长线上，利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上，     ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴ ∴， 若点E在的延长线上时，     同理，， ∴， 同理， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 六．（本大题共12分） 23. 如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．当四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式． （2）连接，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，即，利用待定数法可得的解析式，令，得，再代入即可求解． （3）令，可得，，根据菱形的性质和线段中点公式，可得，设交轴于点，作轴于点，证明，均为等腰直角三角形，进而求得，待定系数法即可求得直线：，令，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线过点， ， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：连接， 平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上， ∴四边形是平行四边形， ， 设直线：， 代入点，得， 直线：． 令 得（舍），， 将代入，可得， ． 【小问3详解】 解：令， 得：，， 分别代入中， 得：，， ∴，， ∵四边形是菱形， 垂直平分， ∵， ∴， 交轴于点，交轴于点， ，，为等腰直角三角形， 设交轴于点， ， 作轴于点， 则，均为等腰直角三角形， ，， ， ∴，， 设直线的解析式为：， 代入，，即， 解得：， 直线：， 令， 得，（舍）， 将代入中，可得， 点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，平移的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 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