三角函数图像与性质小节测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数图像与性质小节测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 3．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 4．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由 ， 因为函数 为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 5．已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】C 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故选：C． 6．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知得，由正余弦函数的性质依次判断各项的正误，即可得. 【详解】由已知得，易知，故是周期函数，故①正确； 当时，，，故②错误； 结合解析式，知在上单调递减，在上单调递减，而，故③错误． 故选：B 7．已知函数，若，且，则取最大值时的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由，可知函数关于x对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求 【详解】∵f（x）＝sin（2x+φ），满足， 函数关于x对称， 根据正弦函数的性质可知，当x时，函数取得最值， ∴φ，n∈z， ∴φ＝n，∈z，f（x）＝sin（2x）， ∵， 则n为偶数时满足题意，f（x）＝sin（2x）， ∴f（x）取最大值时，2x，k∈z， ∴x＝k， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的对称性，及函数取得最值条件的应用，属于函数性质的综合应用． 8．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由已知确定函数的奇偶性及单调性，变形给定不等式，再利用单调性，结合正弦函数性质求出解集. 【详解】令，由函数是上的偶函数，得， 则函数是奇函数，由，且，都有成立， 得，且，都有成立，则函数在上单调递减， 于是函数在上单调递减，函数在上单调递减， 不等式， 且，因此，且，则， 且，整理得，即，解得， 则，所以不等式的解集为，A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：抽象的函数不等式求解，探讨函数的奇偶性、单调性是求解的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．是图象的一条对称轴 D．在上单调 【答案】AB 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为， 所以函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，， 所以直线不是图象的一条对称轴，C错； 对于D选项，当时，，故函数在上不单调，D错. 故选：AB. 11．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为4 C．当时，函数在每一个闭区间上单调递减 D．在（0，2026）上恰有900个零点 【答案】AC 【分析】由余弦函数的对称性，若函数值在相距为3的两个点相等且其间恰有一个最小值，可判断对称轴为这两点的中点， 由此分析A选项，由对称轴处取最小值，结合，可列相位方程解得，从而得到周期， 由此判断B选项，把代入已得与，解余弦函数单调递减的不等式得到递减区间，据此检验所给区间是否落在这些递减 区间内，由此判断C选项，利用已求周期计算区间长度内的整周期数，结合余弦函数每周期有两个零点， 并讨论余下区间可能包含的零点个数范围，由此判断D选项. 【详解】选项：因为，且在上有最小值无最大值， 所以函数的图像关于直线对称，正确． 选项：由已知可得， 且在同一个减区间内，所以， 两式相减得， 所以的最小正周期为，故不正确． 选项：当时，由知， 所以， 由，解得， 所以的单调减区间为， 令，可得区间，该区间是的单调减区间，所以C正确． 选项，在一个周期内函数有2个零点， ，所以在内有个零点， 当时，， 所以在（0，1）上有0个或1个零点， 在（0，2026）上有900个或901个零点．错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】由正切函数的对称中心的求法可得答案. 【详解】令， 则其对称中心为，所以， 又因为，所以当 时，. 故答案为：. 13．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 . 【答案】11 【分析】由直线是曲线的一条对称轴，得到，进而得到在上单调递增，比较端点即可求解. 【详解】因为直线是一条对称轴，所以. 整理可得：，即， 由，得， 则函数在上单调递增， 因为函数在区间上不单调，所以，解得， 因为且，所以的最小值为11， 故答案为：11 14．函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，根据正弦函数的性质结合图象分析即可得解. 【详解】当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点， 所以，， 所以，则，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称， 所以，， 而，所以， 又因为，可得， 而，， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间；（2）在上的最大值为，最小值为. 【解析】（1）由正弦型函数的性质，应用整体代入法有时单调递增求增区间，由求最小正周期即可. （2）由已知区间确定的区间，进而求的最大值和最小值． 【详解】（1）由三角函解析式知：最小正周期为， 令，得， ∴单调递增区间为， （2）在上，有， ∴当时取最小值为，当时取最大值为. 16．(15分)设函数，图象的一个对称中心是. （1）求； （2）求函数的单调增区间. 【答案】（1）；（2）单调增区间为：，. 【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得； （2）由（1）得到，令，，解出x写成区间形式即可. 【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心， 所以，则，所以 所以，则， （2）由（1），令，， 即：，， 所以函数的单调增区间为：. 17．（15分）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）单调递增区间：；单调递减区间： (2)存在实数，证明见解析 【分析】（1）利用五点作图法来画出图象，根据图象写出单调区间. （2）由来进行判断和证明 【详解】（1）（i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. 18．（17分）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若函数，证明：函数的图象关于点对称； (3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）应用正弦函数性质得出周期求出，再代入点求出，即可求出解析式； （2）应用对称中心定义证明或根据奇函数得出对称中心结合图象的平移得出的对称中心； （3）根据正弦函数的对称轴计算求值. 【详解】（1）由题意可得：， 所以； （2）证法一：由题设及（1）可知：， ， ， ， 所以，函数的图象关于点对称. 证法二：由（1）知， 令，可证为奇函数，其图象关于对称. 而，所以将的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象，可知函数的图象关于点对称. （3）令，可得方程， 由的性质知，要使函数与在区间内共有8个交点， 则. 函数的对称轴方程为，其在区间内有7条对称轴， 分别是， . 19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，圆心在坐标原点的单位圆与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，锐角α的终边与单位圆交于点M，过M作y轴的垂线交y轴于点T，延长TM至点N，使得M为TN的中点． (1)若，求； (2)设的面积为S，四边形的面积为． （i）若，求S和； （ii）当时，求的取值范围（参考公式：）． 【答案】(1) (2)（i）；或；（ii） 【分析】（1）根据三角函数定义表示出M，再表示出N，T，根据求出，根据即可求解. （2）（i）表示出的面积S，结合可求得，再根据同角三角函数关系即可求解S；对于求，法一：弦化为切，建立关于正切的方程即可求解；法二：先求出，再求出正弦和余弦，从而求出正切；（ii）表示出，采用换元法并结合函数单调性即可得到答案.换元法一：，构造函数，对函数进行研究即可得到答案；换元法二：先表示出，然后令，再令，从而构造函数进行研究即可求解. 【详解】（1）如图，∵锐角α的终边与单位圆交于点M，    由题意可知，， ∵M为中点，∴，∴， ∵，，∴， ∴在直角三角形中； （2）的面积， （i）∵， ∴，即①， ①式平方得，∴，∴； 法一：∵， ∴，即， ∴或． 法二：∵， ∴， 当②，联立①式解得，， ∴； 当③，联立①式解得，，， ∴； 综上，或； （ii）∵，且， 法一：令，∵， ∴，∴；∴， 设，任取， ∵， 当时，，∴， ∴在上递增；∴， ∴的取值范围是； 法二：∵，且， ∴， 令， ∵，∴， 令，设，则， ∵， 当时，，， ∴在上递减，且， ∴，∴，； ∴， ∴. 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数图像与性质小节测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 3．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 6．已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③在区间上单调递减．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知函数，若，且，则取最大值时的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．是图象的一条对称轴 D．在上单调 11．已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为4 C．当时，函数在每一个闭区间上单调递减 D．在（0，2026）上恰有900个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 13．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 . 14．函数，若方程有四个不等的实根，且，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在区间的最大值和最小值． 16．(15分)设函数，图象的一个对称中心是. （1）求； （2）求函数的单调增区间. 17．（15分）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 18．（17分）已知函数的图象经过点，且图象中任意一条对称轴和其相邻的对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若函数，证明：函数的图象关于点对称； (3)已知函数，若在区间内共有8个零点，，求的取值范围以及的值. 19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，圆心在坐标原点的单位圆与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，锐角α的终边与单位圆交于点M，过M作y轴的垂线交y轴于点T，延长TM至点N，使得M为TN的中点． (1)若，求； (2)设的面积为S，四边形的面积为． （i）若，求S和； （ii）当时，求的取值范围（参考公式：）． 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $