27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似课件 -2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过合作探究让学生动手画图测量发现结论，再经几何证明推导定理，构建从具体操作到抽象推理的学习支架，衔接相似三角形判定的知识脉络。 其亮点在于强化推理能力与应用意识，既有严谨证明过程（如构造全等辅助线推导），又融入大量中考真题（如2024广州中考题）和教材变式题，涵盖选择、证明、动态分类讨论等题型。学生能提升解题能力，教师可直接用于备课，丰富教学资源。

人教版数学9年级下册培优备课课件 27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 第二十七章 相似 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它 们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个 角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？ 2 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ 3 ∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC. ∵ A′D = AB， ， ∴ B A C D E B' A' C' 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ，∠A =∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 返回 A 1. A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 中考考法 6 返回 2. A △ABC的三边长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(　　) 中考考法 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 ∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等. A B C 思考： A′ B′ B″ C′ 结论： 如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似. 典例精析 例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ， ， ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′. 返回 3. C 已知△ABC的三边长分别为12，15，18，△DEF的一边长为4，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？(　　) A．2，3 B．4，5 C．5，6 D．6，7 中考考法 返回 4. (4分)如图，网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF相似吗？ 中考考法 例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形， ∴ AD = AE，AB = AC． ∴ 又 ∵∠DAB =∠CAE， ∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE， 即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE． A B C D E 返回 5. C 如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是(　　) 中考考法 返回 6. B [教材P34练习T2(2)变式]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论一定正确的是(　　) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 中考考法 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， A C B E D 例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. ∴ 又∵∠EAD =∠CAB， ∴ △ADE∽△ABC． ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 16 证明：∵ CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC =∠CDB = 90°. ∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B. ∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°． A B C D ∵ ， 方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等. 返回 7. A 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC∽△AED，还需满足下列条件中的(　　) 中考考法 返回 8. △ADC和△ACB [教材P44习题T13变式]如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则一定相似的两个三角形是____________. 中考考法 返回 9. (4分)[2024广州中考]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2. 求证：△ABE∽△ECF. 中考考法 20 返回 10. D 在三角形纸片ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　) 中考考法 21 返回 11. B 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 中考考法 22 返回 12. 45° 如图，用边长均为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为______. 中考考法 23 13. 中考考法 (2)连接EC，求证：△ABD∽△ACE. 返回 中考考法 25 14. (8分)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4. (1)求证：△ACP∽△PDB； 中考考法 解：∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠B. ∵∠A＋∠APC＝∠PCD＝60°， ∴∠A＋∠B＝60°， ∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－60°＝120°. (2)求∠APB的度数. 返回 中考考法 27 15. (8分) 如图，A，B两点的坐标分别为A(10，0)，B(4，3)，点P，Q同时出发做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．设从出发起，运动了t秒， 使得以O，P，Q为顶点的三角形 与△OAB相似，求出此时t的值. 中考考法 返回 中考考法 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' 已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，，则△ABC与△DEF(　　) A．2 B. C．4 D．2 解：∵DE＝＝， DF＝2，EF＝＝， AB＝＝，AC＝＝，BC＝5， ∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°. ∴＝＝.∵＝，∴＝.∴△ABE∽△ECF. 证明：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAD＝∠CAE. (8分)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝. (1)求证：∠BAD＝∠CAE； 证明：∵＝，∴＝. 又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 证明：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2. ∴∠PCA＝∠PDB＝120°. 又∵AC＝1，BD＝4，∴＝＝， ∴△ACP∽△PDB. 解：∵B(4，3)，∴OB＝＝5. 根据题意可知AP＝3t，OQ＝2t，OA＝10，∴OP＝10－3t. 分两种情况讨论：①若△POQ∽△AOB，则＝， ∴＝，解得t＝. ②若△POQ∽△BOA，则＝，∴＝，解得t＝. 故当t＝或t＝时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似． $