27.2.1 相似三角形的判定 教学设计 (1) 2024--2025学年人教版九年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定，核心为“两角分别相等的两个三角形相似”及直角三角形斜边与直角边成比例的判定。通过生活直角三角形指示牌和三角尺观察导入，衔接全等判定与相似概念，构建从边到角的判定知识支架。 亮点在于“观察—猜想—验证”探究过程，类比全等判定培养知识迁移能力，结合勾股定理与比例证明发展逻辑推理（数学思维）。如三角尺观察得两角相等判定，直角三角形证明中设比例系数用勾股定理。助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供结构化教学方案。

初中数学人教版（2012）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课内容属于"图形与几何"领域中的"图形的相似"主题。课标要求学生掌握相似三角形的基本性质，重点理解并运用两角分别相等的三角形相似判定定理（），以及直角三角形相似的判定方法。在能力要求上，学生应能通过观察、实验、推理等活动，发展几何直观和推理能力，特别是运用勾股定理进行逻辑推理的能力。课标强调从特殊到一般的数学思想方法，通过三角尺等具体实例引导学生发现规律，培养数学建模意识。同时，要求学生能类比全等三角形的""判定，探究直角三角形相似的判定条件，体现知识迁移能力的培养。 教材分析 本节课通过观察三角尺引入相似三角形的判定定理2，即两角分别相等的两个三角形相似，并类比已有定理进行证明思路的探索，进一步研究了直角三角形中斜边与一条直角边成比例时的相似性，利用勾股定理完成证明。教学过程可引导学生经历“观察—猜想—验证”的数学活动过程，发展合情推理能力。本节内容承接了全等三角形与相似三角形判定1的学习，是三角形相似判定方法的深化与拓展。本节课的作用在于帮助学生掌握用角的关系判定相似的核心方法，提升逻辑推理和代数运算结合的能力，为后续学习测量、函数图象及几何综合题打下坚实基础，同时增强数学应用意识。 学情分析 九年级学生已掌握三角形全等的判定方法（如）及相似图形的基本概念，了解比例线段和勾股定理的应用，具备一定的几何直观与推理能力，此阶段学生处于由具体运算向抽象思维过渡的关键期，能够进行简单的逻辑推理，但对定理的证明过程仍需借助直观图形与已有知识支撑，在学习“两角分别相等的两个三角形相似”及“斜边与一条直角边成比例的两个直角三角形相似”时，要求学生能类比全等的判定方法理解相似的判定条件，并通过设比例系数结合勾股定理完成证明，本节课有助于提升学生的演绎推理能力、几何直观素养和综合运用知识的能力，为其后续学习锐角三角函数及综合几何问题打下坚实基础。 教学目标 1. 理解两角分别相等可判定两个三角形相似的定理，掌握三角形相似的基本判定方法之一，通过观察与推理，提升直观想象和逻辑推理核心素养，发展几何直观与归纳能力。 2. 能运用两角相等判定三角形相似解决简单问题，体会从特殊到一般的数学思想，提高分析图形关系和推理论证的能力。 3. 了解直角三角形中斜边与一条直角边成比例时的相似性及其证明过程，通过勾股定理与比例关系的结合，增强数学运算与逻辑推理能力，发展模型观念。 4. 经历相似判定定理的探究与证明过程，培养严谨的数学思维习惯，体会类比、转化等思想方法，提升发现问题、提出问题和解决问题的能力。 重点难点 重点：掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，以及斜边和一条直角边成比例的两直角三角形相似的结论并能运用。 难点：判定定理及特殊直角三角形相似结论的证明。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了三角形相似判定定理1，三边成比例的两个三角形相似。请大家回忆其内容，并思考若已知三边长度，如何判断两三角形是否相似。 2.预习教材： 阅读教材中三角形相似判定定理2相关内容，了解两角分别相等的两个三角形相似这一定理，以及斜边和一条直角边成比例的两直角三角形相似的证明过程，标记出不理解之处。 3.问题思考： 在生活中找两个有两个角相等的三角形物体，思考它们一定相似吗？对于两个直角三角形，若斜边和一条直角边成比例，为什么它们相似？ 课堂导入 同学们，在之前的学习中我们已经掌握了一些三角形相似的判定方法。现在老师先问大家一个问题，生活中我们经常能看到不同大小的直角三角形指示牌。（展示不同大小直角三角形指示牌图片）如果有两个直角三角形指示牌，其中一个的一个锐角是 ，另一个也有一个的锐角，它们相似吗？带着这个疑问，我们来探究今天的新知识。大家想想，之前我们研究相似三角形判定时，从边的关系得到了一些判定定理，那从角的角度又会有怎样的判定定理呢？今天我们就一起探索利用角的关系判定三角形相似的定理，看看能不能解答刚才的疑问。 三角形相似的判定定理2 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来探究三角形相似的判定方法。观察下面两副三角尺： 可以看到，虽然两副三角尺的大小不同，但它们有相同的两个锐角（与，或与），看起来非常相似。由此我们可以得出一个重要结论：两角分别相等的两个三角形相似。具体来说，如果，，那么。 接下来我们研究直角三角形的相似判定。在直角三角形中，如果满足一个锐角相等，或者两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。特别地，我们思考一个问题：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例，它们是否相似呢？ 让我们来看图： 在和中，，，且。我们可以通过勾股定理证明这两个三角形相似。设，那么，。根据勾股定理，可以推导出，因此。 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道两角相等的两个三角形相似，那么如果两个三角形中有两个角相等，第三个角会是什么关系呢？ 学生回答：根据三角形内角和为180°，第三个角也必然相等。 教师追问：非常好！那么根据这个结论，我们是否可以简化三角形相似的判定条件呢？ 学生思考后回答：是的，实际上只要两个角相等，就能判定两个三角形相似，因为第三个角会自动相等。 教师继续提问：在直角三角形的相似判定中，我们证明了斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。那么，如果两个直角三角形的两条直角边都成比例，它们是否相似呢？ 学生回答：是的，因为根据相似三角形的定义，三边对应成比例的两个三角形相似，而两条直角边成比例时，根据勾股定理，斜边也必然成比例。 （三）设计意图 通过观察具体图形和实际例子，引导学生从直观感受上升到理性认识，理解三角形相似的判定定理。在直角三角形相似判定的探究中，培养学生运用勾股定理进行逻辑推理的能力。通过师生互动，帮助学生建立知识之间的联系，深化对相似三角形判定条件的理解。整个探究过程注重培养学生的观察能力、逻辑思维能力和数学表达能力，体现数学学习的严谨性和系统性。 新知应用 例1：如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，求的长。 解答： 我们来一步步分析这个问题： 第一步：明确已知条件和所求目标 · 在直角三角形中，，说明这是一个以点为直角顶点的直角三角形。 · 斜边，一条直角边。 · 点在边上，且。 · 过点作，垂足为，即是从点向斜边引的垂线段。 · 要求的是线段的长度。 第二步：寻找可以利用的几何关系 观察图形和条件发现： · ，所以是直角三角形。 · ，所以。 · 又因为是两个三角形与共有的角（公共角），即。 于是我们有两个角对应相等： · 公共 · 根据三角形相似的判定定理2：“两角分别相等的两个三角形相似”，可得： 第三步：利用相似三角形的性质列比例式 由于，对应边成比例，有： 将已知数值代入： · · · 所以： 解这个方程： 答：的长为。 总结 1.题目考查内容 ① 直角三角形中的相似三角形判定（利用“两角相等”判定相似）； ② 相似三角形对应边成比例的应用； ③ 几何推理与代数计算的结合。 2.题目求解要点 ① 找出两个三角形中相等的角：公共角和两个直角，从而判定； ② 正确写出相似三角形的对应边比例式：注意顶点顺序对应，确保比例关系正确； ③ 代入已知数据，通过解比例求出未知线段长度； ④ 注意几何题书写逻辑清晰，每一步都要有依据（如定理、已知条件等）。 板书设计 三角形相似的判定定理2 两角判定定理 内容：两角分别相等的两个三角形相似 符号表示：， 直角三角形相似判定 已有条件：一锐角相等或两组直角边成比例 斜边、直角边成比例 问题：斜边和一条直角边成比例的两直角三角形相似？ 证明 已知：和，，， 步骤：设，推出，，再由勾股定理证 ，得，即 教学反思 本节课围绕三角形相似的判定定理2展开，通过观察三角尺引入“两角分别相等则三角形相似”的判定方法，并类比全等三角形的“HL”探究直角三角形中“斜边与一条直角边成比例则相似”的结论，完成了定理的推导与证明。教学设计符合课标要求，注重逻辑推理与数学抽象能力的培养。整体教学目标基本达成，学生能理解并运用判定法及直角三角形的特殊判定方法。成功之处在于以生活实例导入，增强直观感知；证明过程引导学生自主思考，体现以学生为主体的理念。不足在于部分学生对比例式与勾股定理结合的代数变形理解不够深入，课堂练习反馈显示个别学生在应用条件时混淆全等与相似的判定标准，后续需加强辨析训练和分层练习设计。 学科网（北京）股份有限公司 $