29.4切线长定理同步练习2025-2026学年冀教版数学九年级下册

切线长定理 一、单选题 1．如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 2．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 5．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 6．图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知AB是⊙0的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则 sin∠ABD的值是    (    ) A． B． C． D． 8．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦，若PB＝AB＝10，则CD的长为（    ） A．6 B． C． D． 9．如图，内接于，于点，是的直径，若，，，则长是（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 12．如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 13．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ． 14．如图，A，B是直线l上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧与线段所围成图形的面积S的最大值是 ． 15．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是 ．       三、解答题 17．如图，切于A、B，若，半径为3，求阴影部分面积． 18．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 19．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 20．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B C D A C B 1．C 【详解】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理．根据切线长定理得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径等于6， 故选：C． 2．B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积． 故选：B． 3．A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 4．C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 5．B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得，即可求解． 【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI， ∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M， ∵点I是△ABC内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC， ∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD， ∴AB=AM=9， ∴MC=AM+AC=22， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD， ∴∠IBD=∠BID， ∴BD=ID， ∵∠D=∠C， ∴△MBC∽△ABD， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键． 7．D 【详解】试题解析：∵AB是的直径，CD⊥AB， ∴=, ∴∠ABD=∠ABC. 根据勾股定理求得:AB=10， 故选D. 8．A 【分析】过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，则， ，根据切线的性质得到，结合平行线的性质推出，进而得到，四边形OBEF是矩形，根据相似三角形的性质及矩形的性质得到，根据勾股定理得到，据此即可得解． 【详解】解：过点O作于点F，延长CD交BP于点E，连接OC， ∵， ∴， ∵PC是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵PB是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵PB、PC分别切⊙O于点B、C， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在Rt△CEP中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理，熟记切线的性质定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 9．C 【分析】连接CD，可证明△ABE∽△ADC，利用线段成比例求出AD的长． 【详解】连接CD， ∵ ∴∠B=∠D ∵AD是直径， ∴∠ACD=90°， ∵ ∴△ABE∽△ADC ∴,即 ∴AD=9 故选C． 【点睛】此题主要考查圆内的线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质． 10．B 【分析】作于点，连接，在直角中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得． 【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是， 则在直角中，，， ， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算． 11．10 【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 12．2 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键． 由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵分别切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 13． 【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案． 【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图： ∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴∠C＝90° ∵⊙I为△ABC的内切圆， ∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID， ∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x， 则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x， ∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x， 由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x， 而AH+BH＝10， ∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2， ∴AH＝6，IH＝2， ∴IA＝＝2， ∴点A到圆上的最近距离为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14． 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和扇形面积计算公式的应用．扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角（顶角）、圆半径相关，圆心角为，半径为r的扇形面积为．如果其顶角采用弧度单位，则可简化为乘以半径乘以弧长．例如本题就是首先判断出当这两个动圆外切时，面积S取得最大值，然后结合扇形面积进行解答的． 【详解】解析：如图，当时，两圆相切，此时面积S最大， ． 故答案为： 15． 【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可． 【详解】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则， 内切于菱形ABCD， 平分 同理得 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．4≤t≤6 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【详解】连接AP，        由题意得，     t要最大，就是点A到上的一点的距离最大 在AD延长线上， 的最大值是APAD+PD=5+1=6 的最小值是APAD-PD=5-1=4    故t的取值范围为： 4≤t≤6 故答案为：4≤t≤6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17． 【分析】此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．首先根据切线长定理，可求得的度数与，又由直角三角形的性质，可求得的长，然后求得与扇形的面积，由  则可求得结果． 【详解】解：连接与， ∵切于A、B，若， ∴，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∴阴影部分面积为：． 18．(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 19． 【分析】本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $切线长定理 一、单选题 1.如图，BC与OO相切于点C,线段BO交O0于点A,过点A作⊙0的切线交BC于点D .若CD=3,AB=4,则⊙0的半径等于() D A.4 B.5 C.6 D.12 2.等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于() A.4π 3.如图，⊙0是四边形ABCD的内切圆.若LA0B=70°，则∠COD=() A.110 B.125 C.140° D.145 4.如图，⊙0是ABC的内切圆，与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F.若OO的半 径为2，AB=6,AC=8,BC=12,则ABC的面积为() B A D 答案第1页，共2页 A.12√5 B.24 C.26 D.52 5.如图，在ABC中，∠BIC=125°，I是ABC的内心，O是ABC的外心，则∠B0C=() B A.125 B.140° C.130° D.150 6.图，O0是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D,若AB =9,BC=14,C4=13,则1的值是() AD B C D A.7 B. C.4 9 9 D. 7.如图，已知AB是⊙0的直径，CD是弦，且CDLAB一，BC=6,AC=8,则 sin∠ABD的值是() A3 R n 8.AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C,弦CD∥AB,若PB=AB=IO,则 答案第1页，共2页 CD的长为() P c D A B 0 A.6 B.√37 C.5√2 D.55-3 9.如图，△ABC内接于⊙0，AE⊥BC于点E,AD是O0的直径，若AB=6,AE=2, AC=3,则AD长是() E D A.7 B.8 C.9 D.10 10.已知⊙O过正方形ABCD顶点A,B,且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径 为() A. 3 B c. D.1 答案第1页，共2页 二、填空题 11.如图，PA,PB切O0于点A,B,CD切OO于点E,交PA,PB于点C,D,若△PCD的 周长是20，则PA的长是」 12.如图，PA,PB分别切00于点A,B,PA=2,∠P=60°，那么AB的长为 13.己知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H,若BC=6,AC=8,AB=10,则点 A到圆上的最近距离等于· B 14.如图，A,B是直线1上的两点，且AB=2,两个半径相等的动圆分别与1相切于点A, B,点C是这两个圆的公共点，则圆弧AC,CB与线段AB所围成图形的面积S的最大值 是」 答案第1页，共2页 B 15.如图，菱形ABCD,∠B=60°，AB=4,⊙O内切于菱形ABCD,则⊙O的半径为 ·0 D C 16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、B(0,1+)、C(0,1-t(其中t>0),点P 在以D(4,4)为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围 是、 B D D 三、解答题 17.如图，PA,PB切O0于A、B,若LAPB=60°，⊙0半径为3，求阴影部分面积. 答案第1页，共2页 19.如图，ABC中，BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC,AB,AC切于点D,E, F,求AE,BD和CF的长. E B D 20.如图，在ABC中，A0平分∠BAC交BC于点O,以点O为圆心，BO长为半径的 ⊙O与AB相切于点B,与BC相交于点D. 答案第1页，共2页 B (1)求证：AC是00的切线； (②若AB=5,AC=3,设△AB0的面积为S,ABC的面积为S,m=令 S. 求常数m的值 答案第1页，共2页