2025-2026学年人教版九年级数学上册期末模拟压轴卷

保密★启用前 2025-2026学年上学期期末模拟压轴卷（一）答案解析 九年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：观察图片可知，第一幅图片和第二幅图片为轴对称变换， 第二幅图片和第三幅图片为旋转变换， 故变换顺序是轴对称，旋转． 故选：C． 2．（本题3分）下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故A符合题意； B．中时，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．不是整式方程，故C不符合题意； D．的最高次数是3，故D不符合题意． 故选：A． 3．（本题3分）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，熟练掌握事件的分类是解题的关键；因此此题可根据不确定事件即随机事件，指可能发生也可能不发生的事件，然后问题可求解． 【详解】解：A项硬币受重力作用必然落下，是确定性事件； C项地球自转方向固定使太阳必然从东边升起，是确定性事件； D项袋中全为白球，摸出白球必然发生，是确定性事件； B项打开电视时，播放内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他，为不确定事件； 故选：B． 4．（本题3分）抛物线的顶点坐标是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 5．（本题3分）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得出度数即可判断． 【详解】解：∵四边形内接于，若， ∴． 故选：B． 6．（本题3分）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即根的和等于，代入已知根求解另一个根即可． 【详解】∵方程 的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（本题3分）关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数和轴交点问题， 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断图像与x轴的交点个数． 【详解】解：∵二次函数 ∴判别式． ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像与x轴有两个交点． 故选：C． 8．（本题3分）下列说法错误的是（   ） A．检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B．样本中个体的数目称为样本容量 C．“三角形的内角和是”是必然事件 D．甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【分析】本题考查统计调查方式、样本容量定义、必然事件判断及方差的意义，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、卫星零部件质量检测必须全面，故采用普查，原说法正确，不符合题意； B、样本容量即样本中个体数目，原说法正确，不符合题意； C、三角形内角和恒为，是必然事件，原说法正确，不符合题意； D、方差越小越稳定，乙方差更小，故发挥稳定的是乙，原说法错误，符合题意； 故选：D． 9．（本题3分）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理构造方程求解． 由垂径定理可知，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解半径即可． 【详解】解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 10．（本题3分）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x， ∴8月产值为：，9月产值为：， ∵第三季度总产值将达到9930万元， ∴， 故选：B． 11．（本题3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，由勾股定理得，再通过旋转性质，得，，，所以，，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由旋转性质，得，，， ∴，， ∴， 故选：． 12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的旋转，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数解析式，转化思想是解题的关键．先分别求当点在轴上时的坐标，然后利用待定系数法求出点的轨迹方程，设此轨迹方程交轴于点，当垂直轨迹方程时，最小，在中，根据求解即可． 【详解】解：求点运动轨迹， Q是直线上的一个动点， 当点在轴上时，由时，， ， 将Q绕点顺时针旋转，得到点，过点作轴于点，则 ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 的坐标为； 当点在轴上时，把代入直线得，， 解得，， 点的坐标为，， ， 轴， 点的坐标为， 设点所在直线方程为 ，将，代入，得 ，解得， 所在直线方程为， 当直线 时，的值最小， 令直线 分别交轴于点， 当时，， 当时，，解得， 点， ， 在中，， ，即， ． 故选：A． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，对于一元二次方程，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将一元二次方程化成一般形式，再进行判断即可． 【详解】解：将方程移项， 得， 故一次项系数为， 故答案为：． 14．（本题4分）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解用频率估计概率这一统计思想是解题的关键；根据频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，因此摸到红球的概率为0.1，从而红球数量为总球数乘以概率． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近，因此估计摸到红球的概率为0.1． 红球数量为． 故答案为4． 15．（本题4分）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故答案为： ． 16．（本题4分）如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】 过B作，使，连接、． 由，得，； 又，设，则． 由旋转性质，得，， ， ，故． 在中，， 由勾股定理得，在中， 代入、，化简得： 当时，取最小值24，故，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形、勾股定理、二次函数最值．解题关键为将线段最值转化为代数表达式的最值，结合取值范围求解．注意全等三角形的对应关系混淆，或代数化简时计算错误． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）用适当的方法解下面的方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴，； （2）解： 或 ，. 18．（本题10分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）将代入根的判别式计算求证即可； （2）先利用因式分解法解方程得到，再根据题意可得，再解不等式即可． 【详解】（1）证明：方程中， ∴ ∴方程总有两个实数根； （2）解： 或 ∴ ∵方程有一根为负数 ∴， ∴． 19．（本题10分）如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)求的面积； (3)若将绕点顺时针旋转，直接写出点的对应点的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2)6 (3)见详解，点的坐标为 【分析】本题结合网格的性质，主要考查旋转变换、中心对称变换、坐标与图形等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可完成作图； （2）结合网格的性质和三角形面积公式求解即可； （3）先确定三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点、、，再顺次连接，然后直接读出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：； （3）解：即为所求， 点的坐标为． 20．（本题10分）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为、、、的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的张卡片洗匀后，背面朝上放好，小华再从张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东从四张卡片中随机抽出一张，抽到孙悟空的概率为 ． (2)你认为这个游戏是否公平？请用列表法或画树状图法中的一种方法说明． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，说明见解析 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，画出树状图，可得共有种等可能的结果，取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有种，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：小东从四张卡片中随机抽出一张，抽到孙悟空的概率为， 故答案为：； （2）这个游戏公平， 画树状图如下： 所有可能出现的结果共有种，这些结果出现可能性的大小相等．其中两人恰好是师徒关系的有种， 是师徒关系的概率为，不是师徒关系的概率为， ， 这个游戏公平． 21．（本题10分）如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． (1)求线段的长； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）由等边中，，D是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）证明得出，结合，得出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）解：∵等边中，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． （2）， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴ 22．（本题12分）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接和，证明，，得出，根据是的直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接和， ， ， ， ， 是直径，D是的中点， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 23．（本题12分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即； （2）解：由题意得： ； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 24．（本题12分）综合与实践 问题情境 在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内． 建模分析 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为） （1）①求抛物线的解析式． ②求球员乙到点的距离． 问题解决 （2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及抛物线解析式的求解、顶点坐标的运用以及利用函数模型解决实际问题；解题的关键是正确建立平面直角坐标系，根据已知条件确定抛物线的顶点和经过的点，并理解“形状相同”意味着二次项系数相等． （1）①由于已知抛物线的顶点和点，可设顶点式代入求解；②球员乙到点的距离即为点的横坐标，将代入解析式解方程，根据实际意义取舍； （2）由与形状相同得二次项系数相同，结合顶点高度和经过点，求出解析式，再令得落地点，计算的长度． 【详解】解：（1）①根据题意得，点的坐标为，点的坐标为，且点为抛物线的顶点． 设抛物线的解析式为，将点代入，得， 解得． 抛物线的解析式为，即． ②在中，当时，， 解得（舍去）． 由实际情境，球员乙应在球员甲之后（），故取， 点的横坐标为，即球员乙到点的距离为． （2）根据题意得，设抛物线的顶点坐标为， 则解析式为， 将点代入，得． 解得（舍去）． 由顶球后球向前运动，顶点横坐标应大于点横坐标， 抛物线的解析式为． 当时，． 解得（舍去）． ∵落地点在前方， ． ． 答：他需要跑的距离的长度为． 25．（本题12分）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】①与相切；② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：①与相切． 如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025-2026学年上学期期末模拟压轴卷（一） 九年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．平移，旋转 B．旋转，旋转 C．轴对称，旋转 D．平移，轴对称 2．（本题3分）下列方程中是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列事件是不确定事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，硬币终将落下 B．打开电视，正在播放新闻 C．太阳从东边升起 D．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球是白球 4．（本题3分）抛物线的顶点坐标是(        ) A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 8．（本题3分）下列说法错误的是（   ） A．检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B．样本中个体的数目称为样本容量 C．“三角形的内角和是”是必然事件 D．甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 9．（本题3分）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 10．（本题3分）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（本题3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（   ） 第11题图 第12题图 A．10 B．8 C． D． 12．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为9，则一次项系数为 ． 14．（本题4分）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有 个． 15．（本题4分）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高 ． 第15题图 第16题图 16．（本题4分）如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．则线段的最小值为 ． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）用适当的方法解下面的方程： (1) (2) 18．（本题10分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为负数，求m的取值范围． 19．（本题10分）如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)求的面积； (3)若将绕点顺时针旋转，直接写出点的对应点的坐标______． 20．（本题10分）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为、、、的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为，再把剩下的张卡片洗匀后，背面朝上放好，小华再从张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东从四张卡片中随机抽出一张，抽到孙悟空的概率为 ． (2)你认为这个游戏是否公平？请用列表法或画树状图法中的一种方法说明． 21．（本题10分）如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． (1)求线段的长； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 22．（本题12分）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 23．（本题12分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24．（本题12分）综合与实践 问题情境 在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内． 建模分析 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为） （1）①求抛物线的解析式． ②求球员乙到点的距离． 问题解决 （2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号） 25．（本题12分）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $