26.2.2 反比例函数在其他学科中的应用课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数在其他学科中的应用，以阿基米德“杠杆定律”为导入，通过阻力与动力臂关系建立函数模型，衔接生活实例（步行速度与时间）及物理（压强）、农业（试验田面积）等学科问题，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于跨学科整合与数学建模结合，通过杠杆撬动石头、湿地压强计算等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力，借助函数解析式推导和中考考点融入，强化数学思维与应用意识。学生能提升知识迁移能力，教师可直接利用典例与中考题优化教学效率。

人教版数学9年级下册培优备课课件 26.2.2 反比例函数在其他学科中的应用 第二十六章 反比例函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月 . 1 学习目标 体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题与反比例函数的关系. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想. 体会数学建模思想，培养学生数学应用意识. 阻力 动力 阻力臂 动力臂 公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为: 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂 探究新知 支点 例 1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力? 对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力. 反比例函数在其他学科中的应用 典例精析 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 解：当 F = 400× = 200 时，由 200 = ，得 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动 力臂 l 至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 3－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 1．请举出一个生活中应用反比例函数的例子． 解：小明每天步行上学，从家到学校的距离为2 km，那么他步行的速度与上学所需的时间成比例． 中考考法 2．某农业大学计划修建一块面积为 2×106 m² 的矩形试验田． （1）试验田的长 y（单位：m）关于宽 x（单位：m）的函数解析式是什么？ 中考考法 在物理学中，我们知道，当阻力和阻力臂一定时，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 例 2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么： (1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？ 解：由 ，得 p 是 S 的反比例函数． 9 (2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ 解：当 S ＝ 0.2 m2 时， 故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa． (3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？ 解：当 p = 6000 时，由 得 对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2. (4) 在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象． 2000 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 5000 6000 S/m2 p/Pa 解：如图所示. 例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为 220 W ~ 440 W. 解：设试验田的宽为 x m，则长为 2x m. 由题意得 （负值舍去）. 故试验田的长与宽分别为 2．某农业大学计划修建一块面积为 2×106 m² 的矩形试验田． （2）如果试验田的长与宽的比为 2∶1，那么试验田的长与宽分别为多少？ 中考考法 3．小艳家用购电卡购买了 1000 kW·h 电，这些电能够使用的天数 m 与小艳家平均每天的用电度数 n 有怎样的函数关系？如果平均每天用 4 kW·h 电，这些电可以用多长时间？ 解：∵ mn = 1000，∴ m = . 当 n = 4 时，m = 250，所以这些电可用 250 天. 中考考法 4．已知经过闭合电路的电流 Ⅰ（单位：A）与电路的电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，请填表（结果保留小数点后两位）： I/A 1 2 3 4 5 R/Ω 20 25 30 50 65 80 90 4 3.33 2 1.54 1.25 1.11 100 50 33.33 25 中考考法 5．已知甲、乙两地相距 s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 t（单位：h）关于行驶速度 v（单位：km/h）的函数图象是 （　　） C （A） （B） （C） （D） 中考考法 6．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m³）变化时，气体的密度 ρ（单位：kg/m³）随之变化．已 知密度 ρ 与体积 V 是反比例函数 关系，它的图象如图所示． 中考考法 （1）求密度 ρ 关于体积 V 的函数解析式； 解：设密度 ρ 与体积 V 的反比例函数解析式为 . 把点（5，1.98）代入得 k = 9.9. ∴密度 ρ 关于体积 V 的函数解析式为 . 中考考法 （2）当 V = 9 m³时，求二氧化碳的密度 ρ． 解：把 V = 9 代入 ，得 ρ = 1.1 kg/m³． 中考考法 7．红星粮库需要把晾晒场上的 1200 t 玉米入库封存． （1）入库所需的时间 d（单位：天）与入库平均速度 v（单位：t/天）有怎样的函数关系？ 解：d 与 v 的函数关系式为 . 中考考法 7．红星粮库需要把晾晒场上的 1200 t 玉米入库封存． （2）已知粮库有职工60名，每天最多可入库 300 t 玉米，预计玉米入库最快可在几天内完成？ 解：当 v = 300 时，d = 4． 所以预计玉米入库最快可在 4 天内完成. 中考考法 7. 红星粮库需要把晾晒场上的 1200 t 玉米入库封存. （3）粮库职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，至少需要增加多少职工？ 解：1200 - 300×2 = 600（吨），300÷60 = 5（吨），600÷5 = 120（名），120 - 60 = 60（名）． 答：至少需要增加 60 名职工. 中考考法 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）请写出这个反比例函数的解析式； 解： . 中考考法 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （2）蓄电池的电压是多少？ 解：蓄电池的电压是 4×9 = 36（V）. 中考考法 （3）完成下表： R/Ω 3 4 5 6 7 8 9 10 I/A 12 9 7.2 6 5.14 4.5 4 3.6 中考考法 （4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 解：用电器可变电阻应控制在 3.6 Ω 以上的范围内． 中考考法 9．某汽车油箱的容积为 70 L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到 300 km 外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回，请回答下列问题： （1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？ 中考考法 （2）小王以平均每千米耗油 0.1 L 的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？ 解：去省城的耗油量为 300×0.1 = 30（L），返回县城的油耗量为 30×2 = 60（L）. ∵ 30 + 60＞70，∴ 还需加油 30 + 60 - 70 = 20（L）. 答：不加油不能回到县城，至少还需加油 20 L． 中考考法 返回 D 1. 已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F＝pS.当F为定值时，下列选项中大致表示p与S之间函数关系的是(　　) 中考考法 31 返回 2. D [教材P14例3(1)变式]建筑工人用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1 000 N和0.4 m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式正确的是(　　) 中考考法 返回 3. A [2025湖北中考]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　　) A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A 中考考法 返回 4. C [2025长春中考]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为(　　) A．24 B．27 C．45 D．50 中考考法 5. (8分) 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，浸在液体中的高度为20 cm. 中考考法 (1)求h关于ρ的函数解析式； 中考考法 36 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体中的高度为25 cm，求该液体的密度. 返回 中考考法 37 6. (12分)[教材P16习题T6变式]某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示． (1)反比例函数的解析式为________． 中考考法 (2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？ 中考考法 39 (3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 返回 中考考法 40 返回 7. D [2025石家庄模拟]某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880，0.25)．根据图象可知，下列说法正确的是(　　) A．当I＝0.2 A时，R＝1 000 Ω B．当I＝0.5 A时，R＝500 Ω C．当R＞440 Ω时，I＞0.5 A D．当R＜440 Ω时，I＞0.5 A 中考考法 8. (8分)如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强p/Pa 200 400 500 1 000 受力面积S/m2 0.5 0.25 a 0.1 中考考法 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数解析式及a的值． 中考考法 43 (2)将另一长、宽、高分别为0.3 m，0.2 m，0.1 m且与原长方体相同质量的长方体按图②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为 2 000 Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由. 中考考法 44 返回 中考考法 9. (12分)如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个装水的容器，容器的质量为5 g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到如下表： 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 20 24 30 40 60 加入的水的质量y2/g 15 19 25 35 55 中考考法 46 把如表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y1关于x的函数图象． 中考考法 47 解：如图． (1)请在图②中作出y2关于x的函数图象； 中考考法 48 (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数解析式； 中考考法 49 减小 ②当0＜x≤60时，y1随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2关于x的函数解析式为____________； 减小 12≤x≤24. (3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足20≤y2≤45，直接写出托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围. 返回 中考考法 50 A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝ 解：设h关于ρ的函数解析式为h＝， 把ρ＝1，h＝20代入，得k＝1×20＝20. ∴h关于ρ的函数解析式为h＝. 解：把h＝25代入h＝，得25＝. 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度为0.8 g/cm3. P＝ 解：将V＝1代入P＝，得P＝＝144， 所以当气体体积为1 m3时，气压是144 kPa. 解：将P＝150代入P＝，得150＝， 解得V＝0.96，∵在第一象限内，P随着V的增大而减小， ∴当P≤150时，V≥0.96， ∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.96 m3. 解：∵200×0.5＝400×0.25＝1 000×0.1，∴桌面所受压强p是受力面积S的反比例函数，设p＝，将(200，0.5)代入，得k＝200×0.5＝100，∴p＝，即桌面所受压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数解析式为p＝. 当p＝500时，S＝＝0.2，∴a＝0.2. 解：这种摆放方式不安全．理由： ∵图②中长方体的受力面积S＝0.1×0.2＝0.02(m2)， ∴此时p＝＝5 000(Pa)． ∵5 000＞2 000， ∴这种摆放方式不安全． 解：猜测y1是x的反比例函数． 设y1＝，将(10，60)代入，得60＝，解得k＝600， 所以y1关于x的函数解析式为y1＝. y2＝－5 $