7.1.2 两条直线垂直 同步练习 -2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.1.2 两条直线垂直 一．选择题 1．为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 3．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD于点O，若∠AOE＝25°，则∠BOD的度数为（　　） A．65° B．55° C．35° D．25° 4．如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 5．金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 6．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角β为46°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．54° 二．填空题 7．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 　 　 ． 8．如图，若∠AOD＝36°，BO⊥DE，垂足为O，则∠BOC＝　 　 度． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．若∠MOD＝40°，则∠COB的度数为 　 　 ． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　 ． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D是线段AB边上的动点，则线段CD的最小值为 　 　 ． 12．已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，OD平分角BOC，则∠AOD＝　 　 度． 三．解答题 13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOD＝（　 　 ）（垂直的定义）． ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝（　 　 ）﹣∠EOD＝40°（　 　 ）． ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（　 　 ）． ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． ①若∠AOC：∠BOC＝2：3，求∠BOD的度数； ②若∠1＝∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由． 15．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 16．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 17．（1）在图1中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边相交且垂直．量一量，∠P和∠1的数量关系为 　 　 ． （2）在图2、图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边相交且垂直，分别写出图2、图3中∠P和∠1之间的数量关系． 图2：　 　 ； 图3：　 　 ． （3）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 　 　 （不要求写出理由）． 18．如图1，点A，O，B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动，直线MN保持不动，如图2，设转动时间为t（0≤t≤60，单位：秒） （1）当t＝3时，求∠AOB的度数； （2）在转动过程中，当∠AOB第二次达到80°时，求t的值； （3）在转动过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 两条直线垂直 一．选择题 1．为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【解答】解：这样做的道理是垂线段最短． 故选：A． 2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 【解答】解：∵OF⊥AB于点O， ∴∠BOF＝90°， ∵∠DOB＝30°， ∴∠DOF＝∠BOF+∠DOB＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 3．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD于点O，若∠AOE＝25°，则∠BOD的度数为（　　） A．65° B．55° C．35° D．25° 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠AOE＝25°， ∴∠BOD＝180°﹣∠EOD﹣∠AOE＝65°， 故选：A． 4．如图，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10，D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．8 D．11 【解答】解：∵点D是线段BC上的动点，AC⊥BC，AC＝6，AB＝10， ∴AC≤AD≤AB， ∴6≤AD≤10． 故选：C． 5．金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 6．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角β为46°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（　　） A．44° B．45° C．46° D．54° 【解答】解：根据题意得α＝180°﹣90°﹣β＝90°﹣46°＝44°， 故选：A． 二．填空题 7．如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 　两点之间线段最短　 ． 【解答】解：∵两点之间线段最短， ∴他选择走第②条路， 故答案为：两点之间线段最短． 8．如图，若∠AOD＝36°，BO⊥DE，垂足为O，则∠BOC＝　54　 度． 【解答】解：∵BO⊥DE， ∴∠BOE＝90°， ∵∠AOD＝36°， ∴∠AOD＝∠EOC＝36°， ∴∠BOC＝∠BOE﹣∠EOC＝90°﹣36°＝54°， 即∠BOC＝54度， 故答案为：54． 9．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．若∠MOD＝40°，则∠COB的度数为 　130°　 ． 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB， ∴∠MOA＝90°（垂直的性质）， ∴∠AOD＝∠MOA+∠MOD＝90°+40°＝130°， ∴∠COB＝∠AOD＝130°（对顶角相等）， 故答案为：130°． 10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　 ． 【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴， ∴∠BOD＝∠AOC＝40° ∵EO⊥CD， ∴∠EOC＝90°， ∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°， 故答案为：130°． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D是线段AB边上的动点，则线段CD的最小值为 　4.8　 ． 【解答】解：当CD⊥AB时，CD有最小值， ∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴AC•BCAB•CD， ∴AB•CD＝BC•AC， ∴10CD＝6×8， 解得CD＝4.8， 故答案为：4.8． 12．已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，OD平分角BOC，则∠AOD＝　75或15　 度． 【解答】解：如图1所示，当点B在∠AOC内部时， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB：∠AOC＝2：3， ∴， ∴∠BOC＝30°， ∵OD平分角BOC， ∴， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝75°； 如图2所示，当点B在∠AOC外部时， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB：∠AOC＝2：3， ∴， ∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝150°， ∵OD平分角BOC， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝15°； 综上所述，∠AOD的度数为75°或15°， 故答案为：75或15． 三．解答题 13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝130°，求∠AOC的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOD＝（　90°　 ）（垂直的定义）． ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝（　∠EOB ）﹣∠EOD＝40°（　等量代换　 ）． ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（　对顶角相等　 ）． ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 【解答】解：∵OE⊥CD于点O（已知）， ∴∠EOD＝90°（垂直的定义）， ∵∠BOE＝130°（已知）， ∴∠BOD＝∠EOB﹣∠EOD＝40°（等量代换）， ∵直线AB，CD相交于点O（已知）， ∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）， ∴∠AOC＝40°（等量代换）． 故答案为：90°，∠EOB，等量代换，对顶角相等． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． ①若∠AOC：∠BOC＝2：3，求∠BOD的度数； ②若∠1＝∠2，请判断ON与CD的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝2：3，设∠AOC＝2α，∠BOC＝3α， ∴直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOD＝∠AOC， ∴2α+3α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠AOC＝2α＝72°， ∴∠BOD＝∠AOC＝72°， ∵∠BOD的度数为72°； （2）ON与CD的位置关系是：ON⊥CD，理由如下： ∵OM⊥AB于点O， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°， 即∠CON＝∠AOC+∠2＝90°， ∴ON⊥CD． 15．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC． （1）当∠COE＝27°时，求∠AOD的度数； （2）若OF⊥OE，∠DOF＝2∠BOC，求∠AOC的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOD＝∠BOC， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2×27°＝54°， ∴∠AOD＝54°； （2）∵若OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF+∠BOE＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得∠BOC＝36°． ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°． 16．（1）在图1中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边相交且垂直．量一量，∠P和∠1的数量关系为 　∠P+∠1＝180°　 ． （2）在图2、图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边相交且垂直，分别写出图2、图3中∠P和∠1之间的数量关系． 图2：　∠P＝∠1　 ； 图3：　∠P＝∠1或∠P+∠1＝180°　 ． （3）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 　相等或互补　 （不要求写出理由）． 【解答】解：（1）∠P+∠1＝180°． 故答案为：∠P+∠1＝180°； （2）图2，∠P＝∠1； 图3，∠P＝∠1或∠P+∠1＝180°； 故答案为：∠P＝∠1；∠P＝∠1或∠P+∠1＝180°； （3）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补． 故答案为：相等或互补． 17．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 【解答】解：（1）①如图，当OE在∠COD内部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°； ②如图，当OE在∠COD外部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝180﹣90°﹣40°40＝10°； 综上，∠COE的度数为50°或10°； （2）若OE恰好平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD， ∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下： ①如图，∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF∠AOE∠BOD， ∴OG是∠BOC的平分线， ∴∠BOG∠BOC（90°+∠BOD）＝45°∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°∠BOD， ∴∠EOF+∠DOG＝45°； ②如图，∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOG∠BOC﹣∠BOD （90°+∠BOD）﹣∠BOD ＝45°∠BOD， ∠EOF＝∠AOE（180°﹣2∠BOD）＝90°﹣∠BOD， ∴∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 学科网（北京）股份有限公司 $