山东省临沂市沂水县第一中学2026届高考数学模拟预测卷二

2026年高考数学模拟预测卷二 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】D 解析 因为， 所以.故选D 2．设复数，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 解析 ，.故选D. 3．正六边形ABCDEF中，用和表示，则 A． B． C． D． 【答案】B 解析 设边长为2，如图，设交于点，有，， 则， 故选B 4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为.已知盆中有积水，将一半径为1的实心铁球放入盆中之后，盆中积水深变为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 解析 根据题意可知，这个刍童为棱台， 如图，为垂直底面的截面，则棱台的高为， 因为盆中积水深变为池盆高度的一半， 所以水面边长为，高为，则实心球只有一半在水中， 所以该盆中积水的体积为. 故选D. 5．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 解析 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况， 若这三个数之积为偶数有，9种情况， 它们之和大于8共有 ，5种情况， 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.故选D. 6．已知满足，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 解析 满足，， ，即，， 在上单调，，即， 当时最大，最大值为，故选B. 7．设，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 解析 因为，所以，所以， 所以，令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即，综上，.故选A. 8．已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 解析 正外心为，边长为，则， 外接球球心必在过垂直于底面的直线上， ，则， 若P，在平面ABC的同侧； 到底面距离为2，故在离底面距离为2的平面上， 则轨迹为上以为圆心，5为半径的圆， 作底面，则轨迹为以为圆心，5为半径的圆， 与面所成角为， ， 所以 同理，若P与在平面ABC的异侧，则P的轨迹是半径为3的圆， 此时， 所以；综上.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则 A． B． C． D． 【答案】ABD 解析 因为，所以，则， 选项A，，故正确； 选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，故C错误； 选项D，因为，故D正确，故选：ABD． 10．阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是      A．的方程为 B．的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 解析 由题可得，即的方程为， 设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，将代入可得， 所以， 于是， 当与重合时，取得最小值.      故选BD. 11．已知函数，则 A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 【答案】AB 解析 根据题意可得，易知是减函数， 所以是增函数，即A正确； 由题意可得，所以， 即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确； 由指数函数值域可得，所以，即， 所以函数的值域为，所以C错误； 易知，令，整理可得， 令，即， 易知，又因为，即， 所以，即，因此； 即关于的一元二次方程无实数根； 所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 展开式中含项的系数为______． 【答案】－60 解析 含的项为，故答案为. 13．已知圆：和抛物线：，请写出与和都有且只有一个公共点的一条直线的方程______.（写出一条即可） 【答案】（或，或，或，或，或，写出一个即可） 解析 圆：的圆心，半径， 由题意可得所求直线l斜率存在，其方程可设为， 由，整理得， 当时，方程可化为，方程组有一组解， 又直线与圆相切，则，或； 当时，由直线l与抛物线相切可得， ，即， 又由直线l与圆相切可得，， 即 联立，整理得 解之得或或或 则直线l方程为或或或 综上，直线l方程为或，或，或，或，或， 故答案为：（或，或，或，或，或，写出一个即可） 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为，，，且， 若BC边上的高，则=___________． 【答案】 解析 由题意得， 则， 有，即，因为所以． 由，则，所以， 有，则， 又，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项. 解析（1）由题意知， 又因为，即，………………3分 解得，又，所以.………………5分 （2）由（1）知，………………6分 设，所以，又因为， 所以，………………8分 因为函数在时递减， 所以的最大值可能出现在或时， 时，，………………10分 时，，………………12分 所以数列的最大项为.………………13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)若，二面角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 解析 （1）证明：如图所示： 设点为的一个三等分点，且，连接，，………………1分 因为，，所以，，………………2分 又因为，，所以，，………………3分 所以四边形是平行四边形，所以，………………4分 又因为平面，平面，………………5分 所以平面．………………6分 （2）如图所示： 因为，平面平面， 且平面平面，所以平面，………………7分 所以，所以为二面角的平面角， 以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，………………8分 所以，，设平面的法向量为， 则，令，得；………………11分 同理，，，设平面的法向量为， 则，令，则，，所以，……13分 所以平面与平面的夹角的余弦值为． …………15分 17．（15分）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展现组织A、B两团体运动员进行比赛.其中A团体的运动员3名，其中种子选手2名；B团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体A的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，确定m的值，使得在X的所有取值中，事件的概率最大. 解析 （1）设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手”为事件A， ………………2分 设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手来自团体A”为事件B，则B团体选择2名非种子选手， .………………4分 故选出的4名运动员中恰有2名种子选手，这2名种子选手来自团体A的概率为 .………………6分 （2）种子选手人数为，非种子选手人数为，设选出的种子选手的人数为，………………7分 ，………………9分 令， 即 解得，………………13分 则， 故，即时，事件的概率最大. ………………15分 18．（17分）已知，为双曲线C的焦点，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由. 解析（1）设C的方程为，， 由题意，解得， ∴双曲线C的方程为；………………4分 （2）设AB的方程为，，， ，消去y，得，………………6分 则，， ，………………7分 ∴直线PA方程为， 令，则，………………9分 同理N（0,），………………10分 由，可得， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，………………12分 当时，， 此时直线AB方程为，恒过定点，显然不可能；………………13分 ∴，此时直线AB方程为，恒过定点，………………14分 ∵，∴，取PE中点T，∴，………………16分 ∴为定值， ∴存在点使|QT|为定值.………………17分 19．（17分）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且，证明：. 解析 （1）， …………1分 设,当时,开口向上,, 所以,在上单调递减,无极值点；………………3分 当时, 在上有两个解, 又因为,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.所以有两个极值点. ………………4分 综上，当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点. …………5分 （2）(i)由(1)知: ,且, 又因为, 所以.………………7分 (ii)由(i)知:,,, 所以,所以.………………8分 令,, 所以在上单调递减,在上单调递增. 因为时,>0;时,<0. 所以.………………10分 所以,要证明:, 只需证,只需证 , ​​​​​​​只需证 , 只需证,………………12分 又因为在上单调递增, 所以只需证:. ………………13分 令，所以， 所以函数在上单调递减； 所以，即.………………14分 所以，要证：，只需证：，即证明:. ………………15分 因为,所以,所以. 又因为,所以,所以. 令,,则, 所以在上单调递增,所以, 所以,所以成立. ………………17分 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟预测卷二 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．设复数，则 A．0 B．1 C．2 D．3 3．正六边形ABCDEF中，用和表示，则 A． B． C． D． 4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为.已知盆中有积水，将一半径为1的实心铁球放入盆中之后，盆中积水深变为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为 A． B． C． D． 5．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为 A． B． C． D． 6．已知满足，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 7．设，，，则 A． B． C． D． 8．已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则 A． B． C． D． 10．阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是      A．的方程为 B．的方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知函数，则 A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 展开式中含项的系数为______． 13．已知圆：和抛物线：，请写出与和都有且只有一个公共点的一条直线的方程______.（写出一条即可） 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为，，，且， 若BC边上的高，则=___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)若，二面角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展现组织A、B两团体运动员进行比赛.其中A团体的运动员3名，其中种子选手2名；B团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体A的概率； (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，确定m的值，使得在X的所有取值中，事件的概率最大. 18．（17分）已知，为双曲线C的焦点，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由. 19．（17分）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且，证明：. 4 学科网（北京）股份有限公司 $