5　确定圆的条件 课件 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“确定圆的条件”及三角形外接圆、外心知识，以“碎玻璃配圆”生活问题导入，通过“过一点→两点→三点作圆”的探究支架，逐步揭示过一点、两点无数圆，不在同一直线上三点确定一个圆的规律。 特色在于以生活情境激活数学眼光，分步探究发展数学思维。从碎玻璃问题抽象出确定圆需求，探究中通过三点共线时垂直平分线平行无交点的推理培养推理意识，归纳不同三角形外心位置发展抽象能力，典例用“三点确定圆”解决实际问题强化应用意识，助学生联系生活理解知识，为教师提供清晰探究式教学路径。

第三章　圆 3.5 确定圆的条件 北师版 九年级 数学（下） 全品初中 导入新课 小明家有一块已被打碎的圆形玻璃镜子，现欲重新配制一块圆玻璃片，小明准备把碎玻璃片连同这块残片一起拿到玻璃店，这样行吗？你会采用什么方法？ 探究新知 探究 1. 过一点可以作几条直线？ ● A 无数条 2. 过几点可确定一条直线？ ● A ● B 两点 过一点作圆 3 ● A 作圆，使它过已知点A. 你能作出几个这样的圆？ 经过一个已知点能作无数个圆. 思考： 探究新知 作圆，使它过已知点A，B. 你能作出几个这样的圆？ A B O ● O ● O ● O ● O ● 经过两个已知点能作无数个圆. 探究新知 探究 过两点作圆 其圆心的位置有什么特点？与线段AB 有什么关系？为什么？ A B O ● O ● O ● O ● O ● 它们的圆心在线段AB的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到A或B的距离为半径作圆. 探究新知 探究新知 探究 1.如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？ A B C 过三点作圆 解答：如图，当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆． A B C 探究新知 2.作圆，使它经过已知点 A，B，C（A，B，C 三点不在同一条直线上）.你能作出几个这样的圆？ B A C 能否转化为2的情况：经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 你准备如何（确定圆心，半径）作圆？ 探究新知 B A C （1）连结 AB，BC. （2）分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O. E D F G O （3）以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. 作法步骤 探究新知 B A C E D F G O 直线 DE 和 FG 只有一个交点 O，并且点 O 到 A，B，C 三个点的距离相等. 经过 A，B，C 三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆. 探究新知 B A C E D F G O 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 三角形的三个顶点确定一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆. 一个三角形有___个外接圆， 而一个圆有_____个内接三角形. 一 无数 探究新知 B A C O 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 探究新知 探究新知 探究 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况． B A C O O B A C B A C O 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. 典例精讲 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 分析：由不在同一条直线上的三点确定一个圆可知，要配到与原来大小一样的圆形玻璃，必须找到圆上的三个点．显然，小明带着去商店的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，图中的4块碎玻璃只有②才能找到符合要求的圆上的三个点，因此所带的玻璃碎片应是第②块． B 例2 如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，其边长为6，求这个⊙O的半径． D C A B O ┌ 解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D. ∵△ABC是等边三角形， ∴AO平分∠BAC，且∠BAC＝60°， ∴∠DAO＝30°. ∵OD⊥AB，AB＝6， ∴AD＝ AB＝3. 典例精讲 在Rt△DAO中，由∠DAO＝30°，得OD＝ OA. 由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2， ∴OA2＝ OA2＋9， 解得OA＝2 (负值不符合题意，已舍去)， ∴⊙O的半径是2 . D C A B O ┌ 典例精讲 课堂小结 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆 三角形外接圆 概念 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外心 外接圆的圆心叫三角形的外心 课堂小结 随堂练习 1．三角形有____个外接圆． 2．三角形的外心是三角形_____________________的交点． 3．如图，已知AB是一条劣弧，请找出它所在圆的圆心． 解：在劣孤上任取三点，作其中两条线段的垂直平分线，交点即为圆心．(图略) 1 任意两边垂直平分线 A B O 4．如图中工具的MN边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心？ 解：将工具任意旋转一个方向，旋转后MN所在直线与前次MN所在直线的交点即为圆心． 随堂练习 5.已知AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A和点B.这样的圆能作出几个？ 解：能作出2个,如图所示.作法: ①作AB的垂直平分线l; ②以点A为圆心(或以点B为圆心)，以3 cm长为半径作弧,交l于点O1,O2; ③分别以点O1, O2为圆心,分别以O1 A, O2 A为半径作圆.⊙O1和⊙O2即为所求的圆. 随堂练习 6.经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆?举例说明. 解：不一定.因为要想作经过四个点的圆，应先作经过其中三个点(不在同一条直线上)的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径. 随堂练习 $