18.5 分式方程 教案2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.5　分式方程

经历运用分式方程解决实际问题的过程，体会分式方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要数学模型，提高分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，发展模型观念．

运用分式方程解决实际问题．

精准分析实际问题中的数量关系，依据数量关系列出分式方程．

       知识回顾      

【引导语】学习了分式方程的解法之后，像一元一次方程一样，我们要用分式方程解决一些实际问题．

【问题】请你先回顾一下，用一元一次方程解决实际问题的基本过程是什么？

【师生活动】师生共同回顾列一元一次方程解决实际问题的基本过程．

【答案】（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，找出相等关系；

（2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量；

（3）列：根据相等关系列出方程；

（4）解：通过解方程，求出未知数的值；

（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意；

（6）答：根据题意写出答案．

【设计意图】通过回顾列一元一次方程解决实际问题的方法和步骤，为学习应用分式方程解决实际问题作准备．

      新知探究      

【问题1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？

【师生活动】这是一个以筑路工程为背景的应用题．教师提示对于以工程为背景的问题通常设总工程量为1．师生共同交流后，明确这道题中涉及工作总量、工作时间和工作效率，比较施工速度即是比较甲、乙两队的工作效率．从题目的条件中可知甲队单独施工1个月完成总工程量的，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．

教师再通过以下问题，引导学生逐步分析，最后通过建立分式方程模型解决问题．

【追问1】要比较甲、乙两队的施工速度，需要知道哪些量？

【师生活动】教师引导学生用表格梳理数量关系：甲队单独施工1个月完成总工程量的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的．

【追问2】问题中的哪个相等关系可以用来列方程？

【师生活动】师生共同分析问题中的相等关系，明确甲队工作总量＋乙队工作总量＝“1”．

【追问3】你能列出分式方程并解决问题吗？

【师生活动】学生在学习任务单上独立列出分式方程，进行解答，教师组织全班交流，并指出解分式方程与解一元一次方程的步骤是一样的，只不过有了分式的概念后，表示数量与数量关系的代数式不再局限于整式．

【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的．记总工程量为1，根据工程的实际进度，得＋＋＝1．

方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x．

解得x＝1．

检验：当x＝1时，6x≠0．

所以，原分式方程的解为x＝1．

由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快．