18.5 分式方程 教案2025-2026学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦分式方程解决实际问题，通过回顾一元一次方程解决实际问题的“审设列解验答”步骤，搭建知识迁移支架，衔接新旧知识脉络。 以工程、行程问题为载体，用表格梳理数量关系，引导建立分式方程模型，发展模型观念与应用意识。通过追问分析等量关系培养推理意识，课堂练习巩固方法，助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学流程。

18.5　分式方程 教学目标 经历运用分式方程解决实际问题的过程，体会分式方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要数学模型，提高分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，发展模型观念． 教学重点 运用分式方程解决实际问题． 教学难点 精准分析实际问题中的数量关系，依据数量关系列出分式方程． 教学过程 知识回顾 【引导语】学习了分式方程的解法之后，像一元一次方程一样，我们要用分式方程解决一些实际问题． 【问题】请你先回顾一下，用一元一次方程解决实际问题的基本过程是什么？ 【师生活动】师生共同回顾列一元一次方程解决实际问题的基本过程． 【答案】（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，找出相等关系； （2）设：设未知数，并用式子表示出其他相关量； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：通过解方程，求出未知数的值； （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案． 【设计意图】通过回顾列一元一次方程解决实际问题的方法和步骤，为学习应用分式方程解决实际问题作准备． 新知探究 【问题1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 【师生活动】这是一个以筑路工程为背景的应用题．教师提示对于以工程为背景的问题通常设总工程量为1．师生共同交流后，明确这道题中涉及工作总量、工作时间和工作效率，比较施工速度即是比较甲、乙两队的工作效率．从题目的条件中可知甲队单独施工1个月完成总工程量的，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度． 教师再通过以下问题，引导学生逐步分析，最后通过建立分式方程模型解决问题． 【追问1】要比较甲、乙两队的施工速度，需要知道哪些量？ 【师生活动】教师引导学生用表格梳理数量关系：甲队单独施工1个月完成总工程量的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的． 【追问2】问题中的哪个相等关系可以用来列方程？ 【师生活动】师生共同分析问题中的相等关系，明确甲队工作总量＋乙队工作总量＝“1”． 【追问3】你能列出分式方程并解决问题吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上独立列出分式方程，进行解答，教师组织全班交流，并指出解分式方程与解一元一次方程的步骤是一样的，只不过有了分式的概念后，表示数量与数量关系的代数式不再局限于整式． 【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的．记总工程量为1，根据工程的实际进度，得＋＋＝1． 方程两边同乘6x，得2x＋x＋3＝6x． 解得x＝1． 检验：当x＝1时，6x≠0． 所以，原分式方程的解为x＝1． 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快． 【归纳】解决工程问题“两手都要抓” 解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”，二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”．通常根据这两个关系列方程解决问题． 【问题2】某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 【师生活动】这是一个以高速列车提速为背景的实际问题．教师提示对于这类问题，速度、时间、路程三者之间的基本关系是分析数量关系的依据．教师可先让学生独立思考，相互讨论，尝再进行以下追问，逐步引导学生用分式方程解决这一实际问题． 【追问1】题目中的已知量是什么？未知量是什么？可以怎么假设？ 【师生活动】学生回答，相互补充． 已知量：列车平均提速v km/h，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km． 未知量：提速前列车的平均速度． 假设：提速前列车的平均速度为x km/h． 教师指出：这里的字母v和s表示已经确定的值，即视为已知量．表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（或未知量），也可以表示已知数（或已知量）． 【追问2】你能用表格梳理出数量关系吗？ 【师生活动】教师引导学生用表格梳理数量关系． 【追问3】问题中的哪个相等关系可以用来列方程？ 【师生活动】师生共同分析问题中的相等关系，明确可利用题目中“在相同的时间内”这一条件，即“提速前后的行驶时间相等”这一关系列出方程． 【追问4】你能列出分式方程并解决问题吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上独立列出分式方程，进行解答，教师组织全班交流， 【答案】解：设提速前列车的平均速度为x km/h．则提速前它行驶s km所用时间为h；提速后列车的平均速度为(x＋v) km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为h． 根据行驶时间的相等关系，得＝． 方程两边同乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50)． 解得x＝． 检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x(x＋v)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝． 答：提速前列车的平均速度为km/h． 【归纳】行程问题中常用的等量关系 行程问题属于典型实际应用问题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．解决这类实际问题，首先要分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出等量关系，从而列出方程． 【设计意图】让学生经历分析实际问题，列出分式方程，解分式方程，获得实际问题答案的过程，培养学生运用分式方程解决实际问题的能力，发展模型观念，增强应用意识． 课堂练习 1．八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：设大巴的平均速度是x km/h，则中巴的平均速度是1.2x km/h． 由题意，得． 方程两边同乘60x，得1 800－5x＝1 500． 解得x＝60． 检验：当x＝60时，60x≠0． 所以x＝60是原分式方程的解． 答：大巴的平均速度为60 km/h． 2．甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个？ 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件.　 由题意，得． 方程两边同乘 x(x＋6)，得 90x＝60(x＋6)． 解得x＝12． 检验：当x＝12时，x(x＋6)≠0． 所以x＝12是原分式方程的解． 所以x＋6＝18． 答：甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件． 【设计意图】通过课堂练习，让学生加深对运用分式方程解决实际问题方法的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．运用分式方程解决实际问题的过程是怎样的？ 2．在这个过程中需要注意什么问题？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第169页习题18.5第3、4、5、6、7、8题． 学科网（北京）股份有限公司 $