5.4 抛体运动的规律 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦抛体运动规律这一核心知识点，系统梳理平抛运动的定义、性质及运动分解研究方法，深入讲解速度、位移、轨迹规律与推论，进而拓展至平抛与斜面、曲面结合，临界条件，类平抛及斜抛运动，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以运动与相互作用观念为基础，通过斜面、曲面模型建构和推论证明等科学推理培养科学思维，题型分类精细且例题典型，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

5.4 抛体运动的规律 【基础回顾】 一、平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点：(1)初速度沿水平方向．(2)只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 二、平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： (1)水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt (2)合速度 (3)速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： (1)水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. (2)合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 三、平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 四、平抛运动与斜面的结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 五、一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ 竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 【必备知识】 1.平抛运动与斜面结合 模型 垂直打到斜面 再次落到斜面 图示 规律 分解速度，构建速度三角形： 水平速度vx＝v0 竖直速度vy＝gt 关系tanθ＝＝ 分解位移，构建位移三角形： 水平位移x＝v0t 竖直位移y＝gt2 关系tanθ＝＝ 总结 速度偏转角等于斜面倾角的余角 位移偏转角等于斜面倾角 2.平抛运动与弧面结合 模型1 小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置 由平抛运动规律和几何关系得h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t 模型2 小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道 速度方向垂直于半径OB，速度的偏转角等于圆心角α 模型3 小球恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过 速度方向垂直于半径OQ，速度的偏转角等于圆心角θ 【巩固强化】 题型1 平抛运动 【例题精讲】 1．关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　） A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B．平抛运动的速度大小是时刻变化的 C．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 【答案】C 【解析】解：A、平抛运动是只受重力作用，水平抛出的物体做的运动，所以平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动，故A正确； B、平抛运动在竖直方向上做的是自由落体运动，速度是在不断变化的，所以平抛运动的速度大小是时刻变化的，故B正确； C、平抛运动是曲线运动，速度方向不断改变，所以平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角不断改变，故C错误； D、由平抛运动的规律可得竖直方向的分速度：vy＝gt，平抛运动的速度方向与水平方向之间的夹角的正切值为：tanθ，可知平抛运动的速度方向与水平方向之间的夹角越来越大，所以速度方向与加速度方向的夹角越来越小，故D正确。 本题选错误的， 故选：C。 2．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．曲线运动的合外力可能为零 B．曲线运动的加速度一定不断变化 C．平抛运动是匀变速曲线运动 D．平抛运动是变加速曲线运动 【答案】C 【解析】解：A、曲线运动中，物体的速度方向不断变化，这意味着物体的加速度不为零。根据牛顿第二定律，加速度不为零意味着合外力也不为零。因此，曲线运动的合外力不可能为零，故A错误； B、虽然曲线运动的加速度不为零，但加速度不一定不断变化。例如，在平抛运动中，加速度是由重力提供的，大小和方向保持不变，故B错误； C、平抛运动中，物体只受到重力的作用，加速度大小和方向保持不变，因此，平抛运动是匀变速曲线运动，故C正确； D、平抛运动中，加速度大小和方向保持不变，因此，平抛运动不是变加速曲线运动，故D错误； 故选：C。 3．饲养员将香蕉对准树上的猴子水平抛出，猴子同时自由下落。落地前，猴子观察到香蕉相对于自身做（　　） A．平抛运动 B．匀速直线运动 C．自由落体运动 D．匀加速直线运动 【答案】B 【解析】解：香蕉被水平抛出做平抛运动，其水平方向做的是匀速直线运动，竖直方向做的是自由落体运动（加速度g）。猴子自由下落，仅竖直方向做自由落体运动（加速度g）。因此，香蕉相对于猴子仅水平方向匀速运动，整体为匀速直线运动。则猴子观察到香蕉相对于自身做匀速直线运动，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4．小张同学站在湖边水平抛出一小石头，抛出点与落水点间的水平距离为L，竖直高度为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小石头在空中运动的过程中处于超重状态 B．小石头落水瞬间的速度为 C．小石头的速度越大，惯性越大 D．小石头在空中不受地球引力作用 【答案】B 【解析】解：A．平抛运动仅受重力，加速度竖直向下即为重力加速度，物体处于完全失重状态，故A错误； B．根据平抛运动规律可知在水平方向有L＝v0t，竖直方向有，解得，。竖直速度，则合速度为，故B正确； C．惯性仅由质量决定，与速度无关，故C错误； D．小石头在任何时候都要受地球引力（重力）作用，故D错误。 故选：B。 5．如图所示，乒乓球自动发球机出球口中心位于水平球桌左侧边缘中点正上方，距桌面的高度为H，球桌长度为L、宽度为D，球网高度为h。发球速度的大小和方向均可调节，忽略空气阻力，乒乓球可以看成质点，重力加速度大小为g。若乒乓球以速度v沿水平方向发出，能够直接越过球网并落在右侧桌面上，则v的（　　） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【解析】解：AB、当乒乓球垂直于网发射且恰好过网时，速度最小，由平抛运动规律可得：，，联立解得：，故AB错误； CD、要是乒乓球能落到对方的球台上，发球机发出的乒乓球速度最大时，球恰好到达对方球台的边缘，由平抛运动规律可得：，，联立解得：，故C错误，D正确。 故选：D。 6.（多选）如图所示，一斜面固定放置在光滑水平桌面上，斜面底端与桌面平滑连接。有一物块从距斜面底端0.5m处由静止开始滑下，从桌面的边缘水平飞出后落地不反弹。已知斜面倾角为37°，物块与斜面之间的动摩擦因数为0.25，桌面距地面的高度为0.8m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　） A．物块在斜面上的加速度大小为4m/s2 B．物块滑至斜面底端的速度大小为4m/s C．物块飞出后至落地，运动时间为0.4s D．物块落至地面的速度大小为4m/s 【答案】AC 【解析】解：AB、根据题意分析可知，由牛顿第二定律可得物块在斜面上的加速度大小为 根据匀变速直线运动位移和速度的关系可得 解得物块滑至斜面底端的速度大小为 故A正确，B错误； CD、根据题意分析可知，物块飞出后至落地，竖直方向有 解得运动时间为 物块落至地面的竖直分速度大小为vy＝gt＝4m/s 则物块落至地面的速度大小为 故C正确，D错误。 故选：AC。 7.（多选）如图所示，距地面足够高的A、B两点高度差为h，水平距离为l，从A、B两点同时以相反的方向（相向）水平抛出两个小球，从A点抛出的小球初速度大小为3v0，从B点抛出的小球初速度大小为v0。两小球轨迹在同一竖直平面内，经时间t，两小球相距最近，最近距离为x。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．x＝0 B．x＝h C．t D．t 【答案】BC 【解析】解：两个小球在竖直方向都做自由落体运动，两个小球在竖直方向的距离始终不变，恒为h，根据几何关系可知，两个小球距离最近时处于同一竖直线上，最近距离 x＝h；两个小球在水平方向均做匀速直线运动，由几何关系可得3v0t+v0t＝l，解得。故AD错误，BC正确。 故选：BC。 题型2 平抛运动与斜面的结合 【例题精讲】 1．某运动员进行高台跳雪训练，如图所示，运动员从水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飞出，经时间t落到雪坡（可视为倾角为θ的斜面）上，此时其速度方向与雪坡的夹角为α，不计空气阻力。下列关于t与v0、tanα与v0关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：AB、根据题意分析可知，跳雪运动员做平抛运动，设水平位移为x，竖直位移为y，则 由几何关系得 解得 故A错误，B正确； CD、根据题意分析可知，跳雪运动员的速度偏向角满足 化简得 tan（α+θ）＝2tanθ 所以α不随v0的变化而变化，故CD错误。 故选：B。 2．跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，落到斜面上时的速度大小分别为vM、vN，在空中运动的时间分别为tM、tN，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为ΔvM、ΔvN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A．tM＞tN B．ΔvM＝ΔvN C．vM＞vN D．θ1＞θ2 【答案】D 【解析】解：A、根据题意分析可知，运动员做平抛运动，运动时间满足 解得 由于运动员落到N点时竖直高度大，所以运动时间tM＜tN，故A错误； B、根据题意分析可知，平抛运动只受重力作用，加速度为重力加速度，根据Δv＝g•Δt 结合上述分析可知ΔvM＜ΔvN，故B错误； C、根据题意分析可知，如图所示 当竖直位移为h0时，通过比较此时二者的水平位移，根据x＝v0t可知落在斜面上的N点对应的平抛的初速度较大，运动员落在平台下方的斜面上的M时速度为 落在平台下方的斜面上的N时速度为 因此vM＜vN，故C错误； D、根据题意分析可知，如图，连接P点到落点构造斜面 根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有2tanθ3＝tan（α+θ1），2tanθ4＝tan（α+θ2） 由于θ3＞θ4 则有tan（α+θ1）＞tan（α+θ2） 即θ1＞θ2，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，AC是倾角θ＝30°、长度为L的斜面，CD部分为水平面，第一次将小球从斜面顶端A点以大小为v0的初速度水平向右抛出，小球落在斜面的中点B。第二次将小球从斜面顶端A点以大小为2v0的初速度水平向右抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球第一次与第二次在空中运动过程中的时间之比为1：2 B．小球第一次与第二次在空中运动过程中的水平位移之比为1：4 C．第二次小球恰好落在C点 D．第二次小球的落点与C点间的距离为 【答案】D 【解析】解：C、设小球的初速度为v0时，落在斜面上时所用时间为t，在水平方向上有：x＝v0t，在竖直方向上有：，由数学知识有：，联立解得：，小球落在斜面上时，设落点距斜面顶端的距离为s，则有：，若第一次与第二次小球均落在斜面上，落点距斜面顶端的距离之比为：，解得：s2＝4s1，所以有：，由此可知以大小为2v0的初速度水平向右抛出时小球落在水平面上，故C错误； A、由题意可知，第一次与第二次小球下落高度之比为：，根据 可得，所以时间之比为：，故A错误； B、小球第一次与第二次在空中运动过程中的水平位移之比为：，故B错误； D、由几何关系可知：，则第二次小球的落点与C点间的距离为：，故D正确。 故选：D。 4．自由式滑雪运动常称为空中的舞蹈，具有很强的观赏性。某滑雪赛道示意图如图所示，运动员（可视为质点）从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向以速度v0飞离坡面，落到倾角为θ的斜坡B处，若不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．运动员在空中飞行时处于失重状态 B．运动员在空中经历的时间为 C．运动员落到斜坡上时，速度与水平方向的夹角为2θ D．运动员落到斜坡时的速度大小为 【答案】C 【解析】解：A、运动员在空中飞行时做平抛运动，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A正确； B、运动员做平抛运动，落到斜坡上时，由平抛运动规律可得：，解得：，故B正确； C、运动员落到斜坡上时，水平分速度大小为v0，设速度方向与水平方向的夹角为α，竖直方向分速度大小为：，所以有：，可知速度与水平方向的夹角不为2θ，故C错误； D、运动员落到斜坡时的速度大小为：，故D正确。 本题是选择错误的，故选：C。 5．如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角为θ＝30°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，则v1、v2的大小之比为（　　） A．9：8 B．8：9 C．3：2 D．2：3 【答案】D 【解析】解：由于两小球从相同高度落在A点，则说明两小球运动的时间相同 对小球Q分解位移，则有 由于小球P垂直打到斜面上，对其分解速度，则有 联立解得v1：v2＝2：3 故ABC错误，D正确。 故选：D。 6.（多选）如图所示，沿水平方向以大小为v0的速度抛出的小球落到倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中的虚线所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球落在斜面上时的速度大小为 B．小球落在斜面上时的速度大小为 C．小球在空中运动的时间为 D．小球在空中运动的时间为 【答案】BC 【解析】解：小球做平抛运动，落到斜面上时对速度进行速度的分解，如图所示： AB．由图可知sinθ，可得小球落地速度v，故A错误，B正确； CD．竖直方向速度vy＝gt，结合平抛运动速度偏转角正切值公式，可得小球在空中运动的时间，故C正确，D错误。 故选：BC。 7.（多选）如图所示，有一倾角为θ＝37°的粗糙斜面固定在地面上，底端A点竖直线上离底端高度为H处有一小球从P点以v0＝3m/s的速度水平抛出，小球恰好垂直打在斜面上。小球从P点抛出的同时另有一小滑块Q从A点以初速度v1沿斜面方向上滑，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，若小滑块Q能在上升过程中与小球P在斜面上相遇（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）则（　　） A．小球从抛出到落到斜面上所经历的时间t＝0.4s B．小球P抛出点距离斜面底端A的高度H＝1.7m C．v1＝5.75m/s D．v1＝5m/s 【答案】ABC 【解析】解：A.小球落在斜面上的速度与竖直方向夹角为θ，由平抛运动规律得 vo＝vytanθ，vy＝gt， 解得，故A正确； B.小球下落的高度， 小球的水平位移x＝v0t 小球的落点到斜面底端的竖直高度h2＝xtanθ， 综上可得，小球抛出点到斜面底端的竖直高度： ，故B正确； CD.滑块加速度为a＝gsinθ+μgcosθ＝10m/s2 在t＝0.4s内位移为 由，代入数据可得，得v1＝5.75m/s，故C正确，D错误； 故选：ABC。 题型3 平抛运动与曲面的结合 【例题精讲】 1．如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为3：2 【答案】D 【解析】解：A、设圆弧半径为R，则OA＝R，。两球落点P坐标为（x，y）（以O为原点，水平向右为x轴正向，竖直向下为y轴正向），因P在圆弧BC上，故x＞0。两球运动时间t相同，竖直位移h＝y。 设落点速度与水平方向夹角为α，位移夹角为θ。由平抛运动规律得。若速度方向与圆弧垂直，则速度反向延长线过O点，此时。联立得，解得x水平＝2x。对甲球：x甲＝R+x，若满足条件则R+x＝2x，解得x＝R，此时y＝0对应B点，时间t＝0不合理。对乙球：，满足条件时，解得符合要求，故A错误； B、两球质量相同且t相等，由动量定理Δp＝mgt知动量变化量相同，故B错误； C、由几何关系x2+y2＝R2，代入得。由解得，故C错误； D、两球水平位移分别为，x乙＝R，运动时间相同，初速度，故，故D正确。 故选：D。 2．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为3：4 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 【答案】B 【解析】解：A、平抛运动与球的质量无关，则若仅增大两球质量，则两球仍能相碰，故A错误； B、甲、乙两球做平抛运动， 竖直方向上做自由落体运动， 下落高度 所以下落时间 甲水平方向做匀速直线运动， ， 乙水平方向做匀速直线运动， x乙＝v2t＝R 联立解得， ， 故B正确； C、若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，竖直方向上做自由落体运动，下落高度减小，时间减少， 所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误； D、若甲球垂直击中圆环BC，设此时甲球抛出时的速度为v，则落点时速度的反向延长线过圆心O，如图所示 由几何关系有， 联立解得 所以v≠2v1，故D错误。 故选：B。 3．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】A 【解析】解：A、根据题意可知，小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°， 小球在N点竖直方向的速度vNy 小球从M到N运动的时间t 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 °，解得xOM＝0.6R 小球从M到N水平位移x＝2xOM＝1.2R 根据平抛运动的水平位移与初速度和时间的关系有，v0 代入数据解得v0，故A正确； B、由A选项分析可知，xOM＝0.6R，AM之间的距离为R，故B错误； C、若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故C错误； D、根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选：A。 4．如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为30°（sin30°＝0.5）。则（　　） A．v1：v2＝1：3 B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同 C．若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，可打在O点的正下方 D．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上 【答案】A 【解析】解：A、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动， 根据可知， 甲、乙两球下落时间相等， 设圆形轨道的半径为R。 则A、C的水平位移为x1＝R﹣Rsin30° 代入数据解得x1＝0.5R， x2＝R+Rsin30° 代入数据解得x2＝1.5R 所以x2＝3x1 根据可知 v1：v2＝1：3 故A正确； B、甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量 Δv＝gt 因为时间相同，所以速度变化量相同，故B错误； C、若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，打在CD连线对应的O点正下方，但现在是圆弧，所以不可能打到O点正下方，故C错误； D、因为速度反向延长线过水平位移中点，所以调整乙的速度大小，乙也不可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上，故D错误。 故选：A。 5．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设小球平抛运动的初速度为v0，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，将小球在D点的速度沿竖直方向和水平方向分解，则有 解得： 根据几何关系和平抛运动规律可得小球平抛运动的水平位移： x＝Rsin53°，x＝v0t， 设平抛运动的竖直位移为y， 解得： ， 则 ，故B正确，ACD错误。 故选：B。 6.（多选）如图所示，ACB是一个半径为R的半圆柱面的横截面，直径AB水平，C为截面上的最低点，AC间有一斜面，从A点以大小不同的初速度v1、v2沿AB方向水平抛出两个小球a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．初速度v1可能大于v2 B．a球的飞行时间可能比b球长 C．无论v2大小为多大，b球都不可能垂直撞击到圆弧面CB上 D．a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角大于45° 【答案】BCD 【解析】解：A．根据平抛运动规律可知，水平方向为匀速直线运动，以落到C点的初速度为标准，初速度较小时，球落在AC斜面，初速度较大时，球会落在BC上，所以v1一定小于v2，故A错误； B．根据平抛运动规律，竖直方向做自由落体运动，则有 解得 沿AB方向水平抛出两个小球a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，若a球下落的高度大于b球下落的高度，则a球飞行的时间比b长，故B正确； C．根据平抛运动的推论可知，平抛运动瞬时速度反向延长线经过水平位移的中点，作出b球撞击到圆弧面CB速度的反向延长线，如图所示 由图可知，速度反向延长线不可能经过O点，即b球不可能垂直撞击到圆弧面CB上，故C正确； D．由几何知识可知，AC面的倾角为45°，如上图所示，同样依据平抛运动的推论可知，a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角大于45°，故D正确。 故选：BCD。 7.（多选）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向落入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．面片在空中运动的时间为0.3s B．面片运动到锅边缘时的速度大小为 C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态 D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小逐渐增大 【答案】ABC 【解析】解：A．面片沿锅边缘的切线方向掉入锅中，根据速度的分解则有 又 vy＝gt 解得 t＝0.3s 故A正确； B．面片运动到锅边缘时的速度大小为 故B正确； C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，有指向圆心的向心加速度，向心加速度有向上的分量，则面片处于超重状态，故C正确； D．设面片、圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片所受摩擦力大小为 f＝mgsinθ，θ逐渐减小，所受摩擦力大小逐渐减小，故D错误。 故选：ABC。 题型4 平抛运动中的临界条件 【例题精讲】 1．如图所示，在离地面高h1处的A点以水平速度v1抛出一小球，恰好能够经过前方高h的障碍物，在A点正下方距地面高h2处的B点以速度v2同方向抛出同一小球也恰好能从障碍物上方经过，两次速度大小关系满足，忽略空气阻力，则h1，h2和h的大小关系（　　） A．4h2﹣h1＝3h B．4h2+h1＝2h C．3h2﹣h1＝2h D．4h2﹣2h1＝3h 【答案】A 【解析】解：对从A点抛出的小球，由平抛运动规律，沿竖直方向： 沿水平方向：x＝v1t1 整理得： 同理对于从B点抛出的小球，也有 两式相比可得 所以可得4h2﹣h1＝3h，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．网球比赛是一项大众都非常喜爱的体育运动，我国网球运动员在巴黎奥运会网球比赛夺得金牌。如图所示为某次发球训练中运动员在球场的底角处发球时，发球时将网球上抛到最高处水平击出，要求落地点位于斜角的长方形区域内且不触网即为发球有效。假设每次发球时的最高点高度不变，击球水平速度大小可变，已知比赛场地尺寸如图所示，是23.77米（长）×10.97米（宽）。发球落点有效区长6.4m，宽4.115m。网高度为h＝1.07m，不考虑空气阻力的影响，则下列阴影部分表示有效发球的网球可能落点区域正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：网球被水平击出后做平抛运动，竖直方向为自由落体。飞行时间由击球点高度H决定，公式为t 由于题目中说明击球点高度不变，t为定值。 当球恰好到达网正上方时，竖直位移需满足H﹣h，球飞行的时间t1 达到球网前水平位移x＝vx•t1，其中vx为击球速度沿侧边的分速度。场地的侧边长是定值，所以球沿侧边方向的分速度的最小值也是定值，即 之后球飞行的距离 球沿侧边方向的分速度的最小值也是定值，所以可知沿侧边方向球飞行的最小距离是相等的。同理，球沿侧边方向的最大分速度也应该是相等的，有效区为长方形且所有落点在同一水平线上，所以有效发球的网球可能落点区域正确的只有A。故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．刀削面是北方人喜欢的面食之一，因其风味独特，驰名中外，刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8m，最近的水平距离为0.5m，锅的半径为0.5m，要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度不能是下列选项中的哪些（　　） A．1.5m/s B．3m/s C．3.7m/s D．4m/s 【答案】D 【解析】解：面片在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 所以面片落入锅中所用时间为 因为面片做平抛运动的水平位移满足 0.5m＜x＜1.5m 根据水平做匀速直线运动得：x＝v0t 代入数据解得面片的水平初速度的范围为：1.25m/s＜v0＜3.75m/s 故不能是4m/s。 故选：D。 4．一阶梯如图所示（有很多级台阶，图中只画出了一部分），每级台阶的高度和宽度均为0.4m，一小球（视为质点）以大小为5m/s的速度水平飞出，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，小球第一次将落在第n级台阶上，则n为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【解析】解：如图 设小球落到台阶边缘斜线上的时间t，水平方向x＝v0t 竖直方向 且 解得t＝1.0s 相应的水平距离x＝v0t＝5×1.0m＝5.0m 台阶数 知小球第一次将落在第13级台阶上。故ABC错误，D正确。 故选：D。 5．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网C的上边沿落在D点。已知AB＝H，网高hH，AC＝L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为L B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为2：1 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于H（仍大于h），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 【答案】B 【解析】解：AB、网球做平抛运动，竖直方向有和，水平方向有：L+l＝v0t1和L＝v0t2，联立解得：，则网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为：L：l＝2：1，故A错误、B正确； C、若网球的初速度变为原来的两倍，则网球落地时的水平位移为：，则网球出界，故C错误； D、若击球高度低于H，则网球运动到与网等高位置的时间变短，若再减小击球速度，网球会落在网前，故D错误。 故选：B。 6.（多选）一运动员（可视为质点）从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知运动员从A点水平飞出的速度v0＝10m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．经过0.75s运动员离斜面最远 B．运动员离斜面的最远距离为2.25m C．运动员落在斜面上的速度大小为15m/s D．运动员从飞出至落在斜面上的位移大小为15m 【答案】AB 【解析】解：A、对运动员进行分析可知，当速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，如图所示 设运动员在C点距离斜面最远，即运动远的速度方向与斜面平行，则，代入数据得t＝0.75s，故A正确； B、将运动员速度和加速度沿斜面和垂直斜面分解，在垂直于斜面的方向上，速度减为0时距离斜面最远，最远距离为h，得 代入数据得h＝2.25m，故B正确； CD、运动员做平抛运动，水平方向x＝v0t1，竖直方向，又有，解得t1＝1.5s，x＝15m，y＝11.25m 运动员从飞出至落在斜面上的位移大小 运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×1.5m/s＝15m/s 运动员落到斜面上时的速度大小为v，则：，故CD错误。 故选：AB。 7.（多选）2023年WTT世界乒联新加坡大满贯赛于3月19日晚落下帷幕，中国乒乓队再次创造了包揽5金的辉煌，孙颖莎成就了三冠王。如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次孙颖莎将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【答案】AB 【解析】解：AB．设乒乓球被击出时的初速度大小为v0，乒乓球被击出后做平抛运动，恰好经过网上边沿的c点，设所用时间为t，则有 又L＝v0t 联立解得 设球整个落在球台上的时间为t1，落点与击出点之间的水平距离为l，则有 又l＝v0t1 联立解得 故AB正确； C．球在竖直方向做自由落体运动，落点d处竖直方向的速度为vy，此时速度方向与水平方向的夹角为θ，则有vy＝gt1 又 联立解得 故C错误； D．要想球落在对方界内，要既不能出界，又不能触网，则平抛运动的速度为 但若只限定在b点水平击出，则水平位移的最大值应该是a点与P或Q的连线，明显大于2L，因此最大速度应该大于，而平抛运动的最小速度为 故D错误。 故选：AB。 题型5 类平抛运动 【例题精讲】 1．“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为1：3 B．小球落到N点时的动能为13J C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为3：4 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J 【答案】A 【解析】解：A、根据和可得vM＝3v1。竖直方向vM＝gt，水平方向v1＝axt，联立解得。根据牛顿第二定律可得小球受到的重力与风力大小之比为3：1，故A错误； B、由运动合成与分解可知，小球水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，因此M点到O点与O点到N点时间相同。设M点速度为vM，O点速度为v1，水平加速度。O点为轨迹最高点，此时v1＝axt，N点水平速度vNx＝a•2t+2v1。已知，，解得，EN＝13J，故B正确； C、设O点到MN距离为h，竖直方向，水平方向，联立得，故C正确； D、最小速度为vM在垂直于合力方向的分量，其中，tanθ＝3，故vmin＝vMcosθ。最小动能，Ekmin＝0.9J，故D正确。 本题选错误选项，故选A。 2．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 【答案】D 【解析】解：小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律可知，运动的加速度为 小球沿初速度方向为匀速直线运动，故位移为x＝v0t 沿恒力F方向做匀变速直线运动，故位移为 根据几何关系有y＝ssin37°，x＝scos37°，其中：s＝12.5m 联立解得v0＝10m/s，F＝1.5N，故D正确，ABC错误； 故选：D。 3．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 【答案】C 【解析】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动， 再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：g′gsinθ＝10m/s2＝5m/s2，故A错误； BC、根据ag′t2，有：tss 根据b＝v0t，有： v0m/s＝2m/s，故B错误，C正确； D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误； 故选：C。 4．如图所示，将质量为m的小球从倾角θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知AB间的高度h＝5m，重力加速度g取10m/s2，则小球从A点运动到B点所用的时间和到达B点时的速度大小分别为（　　） A．1s 20m/s B．1s 10m/s C．2s 20m/s D．2s 10m/s 【答案】D 【解析】解：根据牛顿第二定律得，小球沿斜面下滑的加速度为： agsinθ＝10×5m/s2＝5m/s2， 根据位移—时间关系可得： 代入数据解得：t＝2s 沿斜面方向的速度大小为：vy＝at＝5×2m/s＝10m/s 则到达B点时的速度大小vm/s＝10m/s，故D正确、ABC错误。 故选：D。 5．如图所示，光滑的斜面abcd是边长为L的正方形，其倾角θ为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由a指向b的初速度v0，小球沿斜面运动到c点，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小球从a到c的运动时间为 B．小球从a到c的平均速度大小为2v0 C．斜面倾角θ的正弦值为 D．小球在c点速度方向与cd边间夹角的正切值为 【答案】C 【解析】解：A、由类平抛运动的规律，可知在水平方向上，小球从a到c的运动为匀速运动，即时间，故A错误； B、由几何关系，可知小球从a到c的位移为，则平均速度为，解得：，故B错误； C、由类平抛运动的规律，在沿斜面方向：，a＝gsinθ，结合A选项分析，可知时间t，联立解得：，故C正确； D、设小球在c点速度与dc的夹角为β，在沿斜面方向：vy＝at，tanβ，解得：tanβ＝2，故D错误。 故选：C。 6.（多选）如图所示，光滑斜面ABCD为长方形，AB边长为1.2m，BC边长为1.6m，倾角θ＝30°，质量m＝1kg的小球通过长为r＝0.2m的轻绳固定于长方形两条对角线的交点O，将轻绳拉直并使小球在某一位置P（未画出）静止。现给小球一垂直于绳的速度，小球开始做圆周运动，绳子恰好在最低点时断裂且小球刚好能够到达C点。不计阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．轻绳能够承受的最大张力为25N B．轻绳断裂瞬间小球的速度大小为2.5m/s C．到达C点时小球的速度大小为3m/s D．P点一定不会在最高点 【答案】AD 【解析】解：B、设AB边长为H＝1.2m，BC边长为L＝1.6m。以O为原点建立坐标系，x轴平行于BC向右，y轴平行于AB向下。由几何关系得C点坐标为（0.8，0.6），圆周运动最低点S坐标为（0，0.2）。 绳断裂后，小球做类平抛运动，水平方向匀速，竖直方向加速度a＝gsin30°，解得a＝5m/s2。位移关系：x＝0.8m，y＝0.6﹣0.2＝0.4m。 由，解得：t＝0.4s。 断裂瞬间速度，故B错误； A、绳断裂前瞬间，由牛顿第二定律，解得：T＝25N，故A正确； C、C点合速度，其中vy＝2m/s，vx＝2m/s，解得：，故C错误； D、P点需满足受力平衡，仅最低点能平衡重力分力，故D正确。 故选：AD。 7.（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度a＝g B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度v0＝b D．物块离开Q点时的速度大小v 【答案】BCD 【解析】解：A：根据牛顿第二定律：ma＝mgsinθ，解得物体的加速度的为：a＝gsinθ，故A错误； B：根据位移—时间公式 lat2 解得：t，故B正确； C：入射的初速度为v0b，故C正确； D：物块离开Q点沿斜面向下的分速度大小为vy＝at，物块离开Q点速度大小v，故D正确。 故选：BCD。 题型6 斜抛运动 【例题精讲】 1．在同一竖直平面内距离地面高度为hA、hB处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度v0分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　） A．L B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设球网高为h，不计空气阻力，两球做斜抛运动，两球在水平方向上做匀速直线运动，则有 对于斜向下抛的网球则有 对于斜向上抛的网球则有 联立解得hA﹣hB＝L，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．如图所示，水平地面上固定一倾角为37°的斜面，AB足够长，BB'长10m，现在B点正上方D点沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球，小球抛出速度最大为10m/s，已知重力加速度g＝10m/s2，抛出点D与B点间的距离为6m，则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为（　　） A． B．10m C．8m D．6m 【答案】D 【解析】解：过D点做平行底边的直线DM，过MN做与D点等高的直线MN，如图所示： 若小球以最大速度抛出时，落到MN上的位置为P点，则水平方向有DP＝v0mcos45°t 由竖直上抛运动公式可得 解得DP＝10m； 由几何关系可知m＝8m 由勾股定理可知MP＝6m＜BB'＝10m，则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为6m，故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．学校的水火箭实验小组制作的水火箭两次从A点斜抛的运动轨迹如图所示，两次运动的轨迹分别为1和2，落点分别是B点和C点，忽略空气阻力，则（　　） A．轨迹2对应的水火箭的运动时间更长 B．轨迹1对应的水火箭的运动时间更长 C．轨迹2对应的水火箭的初速度更大 D．轨迹1对应的水火箭的初速度更大 【答案】B 【解析】解：AB、水火箭在空中做斜抛运动，到达最高点B过程有hgt2，则水火箭运动的总时间t总＝2。由于h1＞h2，所以t1＞t2，故A错误，B正确； CD、轨迹1对应的水火箭的竖直初速度更大，但水平初速度更小，合速度大小无法判断，故CD错误。 故选：B。 4．如图所示，小球从空中足够高的P点斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，小球的最小速度为v0，经过Q点（图中未画出）时速度大小为2v0。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球由P到Q所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：小球做斜抛运动，在最高点时竖直分速度为零，仅保留水平分速度，此时速度最小。 设初速度水平分量为v0，则竖直初速度为vy＝v0tan30°，解得：。 小球从P点到最高点的时间为，解得：。 最高点后小球做平抛运动，设运动至Q点时间为t2，此时竖直分速度，解得：。 则，解得：。 总时间t＝t1+t2，解得：，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一个可视为质点的小球，小球水平击中斜面上B点，现将另一相同小球从AB中点C点抛出，仍水平击中B点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两个小球的初速度大小之比为2：1 B．从C点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大 C．两个小球离斜面的最大距离之比为2：1 D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇 【答案】C 【解析】解：设斜面倾角为θ，原斜抛的抛出点A、C到B的竖直高度分别为2h和h，水平位移分别为2x和x（C是AB中点）。将小球水平击中B点的斜抛运动，逆向等效为从B点出发的平抛运动： 竖直方向：自由落体运动， 水平方向：匀速直线运动， 平抛的末速度，对应原斜抛的初速度 A．根据 解得 则两次小球时间之比为，由 vy＝gt 可知，两次竖直速度之比， 根据 可知水平速度之比为，所以两次击中B点速度之比为，根据 两次抛出时速度的大小之比为，故A错误； B.设平抛末速度与水平方向夹角为α，根据平抛运动推论可知，位移偏转角正切值是速度偏转角正切值的一半，则 可知两次抛出时速度方向相同，故B错误； C．沿斜面建系，设初速度方向与斜面的夹角为θ，则小球离斜面的最大距离为 可知，两小球离斜面的最大距离之比为2：1，故C正确； D．两小球的轨迹相切于B点，故不可能在空中相遇，故D错误。 故选：C。 6.（多选）夜晚，娄底市娄星区的娄星广场的喷泉随着音乐的节奏起舞，形成了一幅美丽的水景画。不计空气阻力，若甲、乙两喷泉形成如图所示的形状，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两喷泉中的水在空中运动的加速度相同 B．甲、乙两喷泉中的水喷出时的初速度相同 C．喷泉乙中的水在空中运动的时间较长 D．甲、乙两喷泉中的水在最高点的速度相同 【答案】AC 【解析】解：A、由题意可知，由于不计空气阻力，甲、乙两喷泉中的水在空中只受重力，加速度为重力加速度，所以加速度相同，故A正确； BCD、设喷泉喷出的水上升的最大高度为h，则有：，解得上升的时间为：，根据对称性可知，喷泉喷出的水在空中运动的时间为： ，由于h乙＞h甲，所以有：t乙＞t甲； 喷泉喷出的水的水平分速度大小为：由于水平位移相同，且t乙＞t甲，则可得甲的水平速度较大，且甲、乙两喷泉中的水在最高点的速度为水平方向的速度，即甲、乙两喷泉中的水在最高点时甲的速度较大；根据前面分析可知抛出时，甲的水平速度比乙大，甲的竖直方向速度比乙小，根据可知无法比较甲、乙两喷泉中的水喷出时的初速度大小，故BD错误，C正确。 故选：AC。 7.（多选）如图，从倾角为30°的斜坡底端A斜向上抛出一个小球，抛出的初速度大小为v0，小球恰好从斜坡上端B点沿水平方向以速度大小v冲上水平高台，已知斜坡AB长为10m，重力加速度大小为10m/s2，不计小球大小，忽略空气阻力，则（　　） A．m/s B．m/s C．小球从A运动到B的时间为1s D．若从B点以速度大小v向左水平抛出小球，则小球一定落到斜坡底端A点 【答案】BCD 【解析】解：ABC．竖直方向根据位移公式有，可得小球从A运动到B的时间为t＝1s；水平方向由x＝Lcos30°＝vt，可得水平速度；由几何关系可知，小球抛出的初速度大小为m/s，故A错误，BC正确。 D．由逆向思维法可知，若从B点以速度大小v向左水平抛出小球，则小球一定落到斜坡底端A点，故D正确。 故选：BCD。 课时精练 1．关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　） A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动 B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变 C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近 【答案】B 【解析】解：A、平抛运动仅受重力，做曲线运动，故A错误； B、平抛运动在水平方向上的分速度不变，竖直分速度一直增大，根据平行四边形定则知，平抛运动的速度大小一直增大，方向在不断改变，故B正确； C、平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误； D、根据x＝v0t＝v0得，平抛运动的物体水平位移与质量无关，故D错误。 故选：B。 2．投壶是从先秦延续至清末的中国传统游戏，如图为古代民众进行投壶游戏的图片，游戏规则是参与游戏的人需要在一定距离外把箭投进壶里。若在箭运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，如图乙所示，这只箭由A点投出，最后落于壶中的D点。B、C是其运动轨迹上的两点，B为箭运动的最高点，A、B、C、D四点的坐标分别为（﹣L，0）、（0，L）、（L，0）、（2L，y），若这支箭可视为质点，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．D点的纵坐标y＝﹣2L B．质点运动到B点时的速度为0 C．质点从A运动到D的运动时间为 D．质点的初速度大小为 【答案】D 【解析】解：A.箭由B运动到D的过程，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由于xBC＝xCD＝L，x＝vt 代入数据得tBC＝tCD，竖直位移之比为1：3，所以D点的纵坐标为y＝﹣3L，故A错误； BD.箭由A运动到B，根据逆向思维法有L＝vBt，， 代入数据得，，，故B错误，D正确； C.质点从A运动到D的运动时间为tAD＝3tCD 代入数据得tAD＝3，故C错误。 故选：D。 3．如图所示，从高H＝10m处以水平速度v1＝24m/s平抛小球a，ma＝0.1kg，同时从地面以初速度v2＝20m/s竖直上抛小球b，mb＝0.1kg，两球在空中相遇，碰撞后粘在一起。重力加速度取g＝10m/s2。下列说法中正确的是（　　） A．从抛出到相遇所用的时间为1s B．a与b在b下降过程中相遇 C．a、b两球碰撞之后的速度大小为13m/s D．两球抛出时的水平距离为10m 【答案】C 【解析】解：AB.设t时刻相遇，竖直方向，a做自由落体运动，b做竖直上抛运动，二者竖直方向位移大小之和为H，有：，代入数据可得：t＝0.5s，此时b球的速度vb＝v2﹣gt＝（20﹣10×0.5）m/s＝15m/s，方向与初速度方向相同，故AB错误； C.碰撞时，a球竖直方向速度为va＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s，碰撞时ab沿竖直和水平方向均动量守恒，竖直方向，以向上为正方向：﹣mava+mbvb＝（ma+mb）v3，水平方向，以向右为正方向：mav1＝（ma+mb）v4，代入数据可得：v3＝5m/s，v4＝12m/s，由平行四边形可知，速度v＝13m/s，故C正确； D.a在水平方向做匀速直线运动，二者水平距离x＝v1t＝24×0.5m＝12m，故D错误。 故选：C。 4．如图所示，一质量为m的小球在光滑水平桌面上，受一水平恒力的作用，先后经过a、b两点，速度方向偏转90°。已知经过a点时的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．沿a点速度方向的平均速度大小为 B．所用的时间为 C．小球在b点的速度为 D．恒力大小为 【答案】C 【解析】解：ABC、根据题意分析可知，将水平恒力F分解为沿a点速度方向分力F1和垂直a点速度方向分力F2，从a到b，沿a点速度方向速度减为零，根据匀变速规律可得沿a点速度方向的平均速度大小为 沿a点速度方向，根据位移与平均速度的规律可得 解得所用的时间为 垂直a点速度方向，根据匀变速规律可得 解得小球在b点的速度为 故AB错误，C正确； D、根据题意分析可知，沿a点速度方向，根据牛顿第二定律可得 垂直a点速度方向，根据牛顿第二定律可得 则小球受到的恒力大小为 故D错误。 故选：C。 5．如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球初速度为，θ为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（　　） A．θ＝37° B． C． D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽 【答案】A 【解析】解：ABC、小球做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有 由几何关系有（x﹣R）2+y2＝R2，sinθ，联立解得θ＝37°，故A正确，BC错误； D、平抛运动速度反向延长线必然均分水平位移，所以小球不可能垂直击中凹槽，故D错误。 故选：A。 6．如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 【答案】D 【解析】解：设斜面倾角为θ，小球落在斜面上时，满足，解得：，由于两小球初速度之比为1：2，可知两小球运动时间之比为1：2，由可得下落高度比为1：4，运动位移比为1：4，故甲球落在a点，乙球会落在d点，故D正确，ABC错误。 故选：D。 7．选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同：如图甲所示，在自由下落的电梯中，电梯外的人看到小球只受重力作用，做自由落体运动，符合牛顿定律；电梯内的人看到小球只受重力却是“静止”的，“违反”了牛顿定律。为了能够用牛顿定律描述对地面做加速运动的参考系（又称“非惯性参考系”）中物体的运动，在非惯性系中引入惯性力的概念：惯性力F惯＝﹣ma，a表示非惯性系的加速度，负号表示与a方向相反。引入惯性力后，电梯中的人认为小球受到向上的惯性力与重力平衡，小球静止，符合牛顿定律。如图乙所示，某人在以加速度a做匀加速运动的高铁上，距地面为h处，以相对于高铁的速度v0水平抛出一个小球。已知重力加速度g，关于此人看到的小球运动，分析正确的是（　　） A．小球水平方向做匀变速直线运动 B．无论已知量满足什么条件，小球都不可能落在抛出点的正下方 C．当v0＝a时，小球将落在抛出点的正下方 D．当列车加速度a与小球初速度v0取值合适时，小球有可能做直线运动 【答案】A 【解析】解：D．根据题目中给的惯性力概念，以车为参考系，则在非惯性系下，对小球要加上水平向左的惯性力ma，即小球在水平方向在惯性力作用下向右做匀减速运动，而竖直方向仅受重力作用，做自由落体运动，故小球的运动轨迹不可能是直线，故D错误； A．列车是加速向前运行的，根据题意，小球对人来说，相当于向前做减速直线运动，故A正确； BC．水平方向小球的其加速度的大小为a，所以小球将向前减速，一直到减速到0后，再反向加速，回到原位置的时间与竖直方向做自由落体运动的时间相等时，球将落在抛出点的正下方，此时水平方向 竖直方向有 联立解得 故B错误，C错误。 故选：A。 8．某同学练习投篮，如图所示，他先后两次在同一位置、同一高度以不同的角度斜向上投掷，最后球都恰好垂直打在篮板的不同高度，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两次篮球在空中运动的时间不等 B．两次篮球在空中运动的时间相等 C．两次篮球击打篮板时速度相等 D．两次投掷时，篮球离手时速度大小一定不相等 【答案】A 【解析】解：AB、将两次篮球在空中运动的逆过程视为平抛运动，由于下落高度h不同，根据，解得运动时间t不相等，故A正确，B错误； C、由水平速度公式可知，水平位移x相同但h不同，故击打篮板时速度不等，故C错误； D、离手速度，因h不同，由数学关系可知v可能相等，故D错误。 故选：A。 9.（多选）如图所示，一节车厢长16m、宽2.4m、高3.2m，它以速度v匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于v的水平速度v0从车厢的右上角A处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角B。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则（　　） A．v＝10m/s B．v＝20m/s C．v0＝3m/s D．v0＝6m/s 【答案】BC 【解析】解：根据题意分析可知，设小球在时间t内到达地板，竖直方向上有 代入数据解得t＝0.8s 由于v0保持不变，它在0.8s内移动了2.4m的水平距离，所以 车厢必须在0.8s内向前移动16m，所以小球的速度为，故BC正确，AD错误； 故选：BC。 10.（多选）一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地B点后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示。第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，忽略碰撞时间，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．飞出后到达A点的时间，第一只球与第二只球的比例为4：1 B．飞出后到达A点的时间，第一只球与第二只球的比例为3：1 C．第二只球OC段飞行时间比CA段飞行时间短 D．第二只球OC段飞行时间与CA段飞行时间相等 【答案】BD 【解析】解：AB.两只球被击出后都做平抛运动，根据平抛运动的规律知，两球被击至各自第一次落地的时间是相等的。第一只球与地面碰撞时没有能量损失，因此反弹后竖直速度大小不变，水平速度不变；所以反弹后在空中运动时间等于平抛运动的时间的2倍，所以第一只球到达A点在空中的总时间是第二只球时间的3倍，即飞出后到达A点的时间，第一只球与第二只球的比例为3：1，故A错误，B正确； CD.由x＝v0t得网球两次飞出时的初速度之比v1：v2＝1：3；过网后，沿CDA和CA水平位移相同，则沿CDA和CA时间之比为3：1，球与地面碰撞时没有能量损失，则O和D等高，根据对称性可知，从O到C时间等于C到D时间，CDA段时间减去CA段时间等于2倍CA时间或者2倍CD时间，则CD段时间等于AC段时间等于OC段时间，即第二只球OC段飞行时间与CA段飞行时间相等，故C错误，D正确。 故选：BD。 11.（多选）如图所示，在斜面的P点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上的Q点。若在P点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2落到斜面上的R点，则以下判断正确的是（　　） A．t1：t2＝2：1 B． C．PR：PQ＝1：2 D．PR：PQ＝1：4 【答案】AD 【解析】解：AB．根据x＝v0t，， 解得 结合抛出的初速度大小，可知t1：t2＝2：1 故A正确，B错误； CD．因 结合抛出的初速度大小，可知PR：PQ＝1：4 故C错误，D正确。 故选：AD。 12．如图，某轰炸机进行投弹演习，轰炸机在某一高度处沿水平方向以210m/s的速度向目标匀速飞行，飞行到P点时投弹，炸弹刚好垂直坡面击中斜坡上的目标A点，斜坡的倾角为37°，不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）炸弹击中A点时的速度大小； （2）炸弹在空中运动的时间。 【答案】（1）炸弹击中A点时的速度大小为350m/s。 （2）炸弹在空中运动的时间为28s。 【解析】解：（1）炸弹垂直撞击斜面，说明速度方向与斜面垂直，结合斜面倾角37，速度方向与竖直方向的夹角为37，即 可得炸弹击中A点时的速度大小为v＝350m/s。 （2）竖直方向速度vy＝vcos37°＝250×0.8m/s＝280m/s 由自由落体速度公式v＝gt，可得炸弹在空中运动的时间为ts＝28s。 答：（1）炸弹击中A点时的速度大小为350m/s。 （2）炸弹在空中运动的时间为28s。 13．如图所示，倾角α＝30°的斜面AB与长LBC＝0.4m的水平面BC在B点平滑连接，竖直面CD高hCD＝0.45m，水平面DE与倾角β＝37°、长LEF＝1.77m的斜面EF相连接。物块从A点由静止释放，经水平面BC后由C点抛出，无碰撞地由E点进入EF段。忽略一切阻力和摩擦，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）物块做平抛运动的初速度大小； （2）斜面AB的长度； （3）物块由A点运动到F点的总时间。 【答案】（1）物块做平抛运动的初速度大小为4m/s； （2）斜面AB的长度为为1.6m； （3）物块由A点运动到F点的总时间为1.5s。 【解析】解：（1）物块从C点到E点做平抛运动，竖直方向有 解得vy3m/s 小球无碰撞地由E点进入EF段，则 解得物块做平抛运动的初速度大小vx； （2）物块在AB段下滑时，由牛顿第二定律有mgsinα＝ma1 解得 由匀变速运动公式，有 解得LAB1.6m； （3）物块在AB段的运动时间 物块在BC段的运动时间 物块做平抛运动的时间 物块在EF段下滑时，由牛顿第二定律，有mgsinβ＝ma2 解得 物块到达E点时的速度大小 由运动学公式，有，代入数据可得1.77m＝5×t46 解得t4＝0.3s 则物块由A点运动到F点的总时间t＝t1+t2+t3+t4＝0.8s+0.1s+03s+0.3s＝1.5s。 答：（1）物块做平抛运动的初速度大小为4m/s； （2）斜面AB的长度为为1.6m； （3）物块由A点运动到F点的总时间为1.5s。 14．如图所示，某人从山顶相同位置分别以不同大小的速度水平抛出甲、乙两个小球，分别落在水平地面的A、B两点。已知甲、乙两球的落地点A、B与抛出点的水平距离之比为4：3，不计空气阻力，求： （1）甲、乙两小球水平抛出的初速度大小之比； （2）甲、乙两小球从抛出到落地过程的速度变化量大小之比； （3）甲、乙两小球落地前瞬间的速度与水平方向间夹角的正切值之比。 【答案】（1）甲、乙两小球水平抛出的初速度大小之比为4：3； （2）甲、乙两小球从抛出到落地过程的速度变化量大小之比为1：1； （3）甲、乙两小球落地前瞬间的速度与水平方向间夹角的正切值之比为3：4。 【解析】解：（1）设抛出点到水平地面高度为h，空中飞行时间为t，则有竖直方向 可知两球空中飞行时间相等，水平方向x＝v0t 由于xA：xB＝4：3 联立解得v0甲：v0乙＝4：3 （2）由Δv＝gt 可知Δv甲：Δv乙＝1：1 （3）对甲球： 对乙球： 由（1）（2）可知vy甲＝vy乙 联立解得tanα：tanβ＝3：4 答：（1）甲、乙两小球水平抛出的初速度大小之比为4：3； （2）甲、乙两小球从抛出到落地过程的速度变化量大小之比为1：1； （3）甲、乙两小球落地前瞬间的速度与水平方向间夹角的正切值之比为3：4。 15．某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角θ＝53°时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度H＝20m，石块在M点的速度大小v0＝12m/s。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）石块抛出点O距离地面的高度； （2）石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 【答案】（1）石块抛出点O距离地面的高度为7.2m。 （2）石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离为43.2m。 【解析】解：（1）由题意得，石块初速度v0与水平方向夹角θ＝53°，竖直分速度vy＝v0tanθ，代入数据得vy＝16m/s。 石块上升高度，计算得h1＝12.8m。 抛出点距地面高度h＝H﹣h1，解得h＝7.2m。 （2）石块从O到N的运动中，竖直位移，解得t＝3.6s。 水平距离x＝v0t，解得x＝43.2m。 答：（1）石块抛出点O距离地面的高度为7.2m。 （2）石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离为43.2m。 16．如图所示，滑板爱好者沿倾角θ＝37°的固定斜面下滑，他将手中的小球抛出，一段时间后，小球落到斜面上。已知抛出时小球沿斜面向下的分速度v1＝0.5m/s，垂直斜面向上的分速度v2＝4m/s，抛出点到斜面的距离为d＝1.25m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）运动过程中小球与斜面的最大距离； （2）小球落到斜面时的速度大小。 【答案】（1）运动过程中小球与斜面的最大距离为2.25m。 （2）小球落到斜面时的速度大小为10m/s。 【解析】解：（1）抛出后，将小球的运动分解为沿斜面和垂直于斜面方向，垂直斜面方向做匀减速运动，加速度a2＝gcos37°，解得：。 根据运动学公式，解得：dm＝2.25m。 （2）设小球经时间t落回斜面，由位移公式，解得：t＝1.25s。 此时垂直于斜面方向的分速度vy＝v2﹣a2t＝﹣6m/s。 沿斜面方向的加速度a1＝gsin37°，解得：，其速度vx＝v1+a1t，解得：vx＝8m/s。 合速度，解得：v＝10m/s。 答：（1）运动过程中小球与斜面的最大距离为2.25m。 （2）小球落到斜面时的速度大小为10m/s。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 抛体运动的规律 【基础回顾】 一、平抛运动的定义和性质 1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受 作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿 方向的抛体运动． 3．平抛运动的特点：(1)初速度沿 方向．(2)只受 作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 二、平抛运动的研究方法及规律 1．研究方法：采用运动 的方法，将平抛运动分解为竖直方向的 运动和水平方向的 运动． 2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝ ，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． 3．平抛运动的速度： (1)水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt (2)合速度 (3)速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移： (1)水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2. (2)合位移 5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线． 三、平抛运动的两个推论 (1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. 证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α. (2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t. 可见AB＝OB. 四、平抛运动与斜面的结合 在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分解速度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分解位移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 五、一般的抛体运动 1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动． 2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的 运动和竖直方向的 或 运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝ ，x＝ 竖直方向：vy＝ ，y＝v0tsin θ－gt2. 4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题． 【必备知识】 1.平抛运动与斜面结合 模型 垂直打到斜面 再次落到斜面 图示 规律 分解速度，构建速度三角形： 水平速度vx＝v0 竖直速度vy＝gt 关系tanθ＝＝ 分解位移，构建位移三角形： 水平位移x＝v0t 竖直位移y＝gt2 关系tanθ＝＝ 总结 速度偏转角等于斜面倾角的余角 位移偏转角等于斜面倾角 2.平抛运动与弧面结合 模型1 小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置 由平抛运动规律和几何关系得h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t 模型2 小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道 速度方向垂直于半径OB，速度的偏转角等于圆心角α 模型3 小球恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过 速度方向垂直于半径OQ，速度的偏转角等于圆心角θ 【巩固强化】 题型1 平抛运动 【例题精讲】 1．关于平抛运动，下列说法不正确的是（　　） A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B．平抛运动的速度大小是时刻变化的 C．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变 D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 2．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．曲线运动的合外力可能为零 B．曲线运动的加速度一定不断变化 C．平抛运动是匀变速曲线运动 D．平抛运动是变加速曲线运动 3．饲养员将香蕉对准树上的猴子水平抛出，猴子同时自由下落。落地前，猴子观察到香蕉相对于自身做（　　） A．平抛运动 B．匀速直线运动 C．自由落体运动 D．匀加速直线运动 4．小张同学站在湖边水平抛出一小石头，抛出点与落水点间的水平距离为L，竖直高度为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小石头在空中运动的过程中处于超重状态 B．小石头落水瞬间的速度为 C．小石头的速度越大，惯性越大 D．小石头在空中不受地球引力作用 5．如图所示，乒乓球自动发球机出球口中心位于水平球桌左侧边缘中点正上方，距桌面的高度为H，球桌长度为L、宽度为D，球网高度为h。发球速度的大小和方向均可调节，忽略空气阻力，乒乓球可以看成质点，重力加速度大小为g。若乒乓球以速度v沿水平方向发出，能够直接越过球网并落在右侧桌面上，则v的（　　） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 6.（多选）如图所示，一斜面固定放置在光滑水平桌面上，斜面底端与桌面平滑连接。有一物块从距斜面底端0.5m处由静止开始滑下，从桌面的边缘水平飞出后落地不反弹。已知斜面倾角为37°，物块与斜面之间的动摩擦因数为0.25，桌面距地面的高度为0.8m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（　　） A．物块在斜面上的加速度大小为4m/s2 B．物块滑至斜面底端的速度大小为4m/s C．物块飞出后至落地，运动时间为0.4s D．物块落至地面的速度大小为4m/s 7.（多选）如图所示，距地面足够高的A、B两点高度差为h，水平距离为l，从A、B两点同时以相反的方向（相向）水平抛出两个小球，从A点抛出的小球初速度大小为3v0，从B点抛出的小球初速度大小为v0。两小球轨迹在同一竖直平面内，经时间t，两小球相距最近，最近距离为x。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．x＝0 B．x＝h C．t D．t 题型2 平抛运动与斜面的结合 【例题精讲】 1．某运动员进行高台跳雪训练，如图所示，运动员从水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飞出，经时间t落到雪坡（可视为倾角为θ的斜面）上，此时其速度方向与雪坡的夹角为α，不计空气阻力。下列关于t与v0、tanα与v0关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．跳台滑雪的简易示意图如图所示，运动员（可视为质点）两次从雪坡上由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方斜面上的M、N两点，落在M、N两点时运动员的速度方向与斜面间的夹角分别为θ1、θ2，落到斜面上时的速度大小分别为vM、vN，在空中运动的时间分别为tM、tN，下落过程中，运动员的速度变化量大小分别为ΔvM、ΔvN。不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　） A．tM＞tN B．ΔvM＝ΔvN C．vM＞vN D．θ1＞θ2 3．如图所示，AC是倾角θ＝30°、长度为L的斜面，CD部分为水平面，第一次将小球从斜面顶端A点以大小为v0的初速度水平向右抛出，小球落在斜面的中点B。第二次将小球从斜面顶端A点以大小为2v0的初速度水平向右抛出，不计空气阻力，小球下落后均不弹起，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球第一次与第二次在空中运动过程中的时间之比为1：2 B．小球第一次与第二次在空中运动过程中的水平位移之比为1：4 C．第二次小球恰好落在C点 D．第二次小球的落点与C点间的距离为 4．自由式滑雪运动常称为空中的舞蹈，具有很强的观赏性。某滑雪赛道示意图如图所示，运动员（可视为质点）从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向以速度v0飞离坡面，落到倾角为θ的斜坡B处，若不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法错误的是（　　） A．运动员在空中飞行时处于失重状态 B．运动员在空中经历的时间为 C．运动员落到斜坡上时，速度与水平方向的夹角为2θ D．运动员落到斜坡时的速度大小为 5．如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角为θ＝30°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，则v1、v2的大小之比为（　　） A．9：8 B．8：9 C．3：2 D．2：3 6.（多选）如图所示，沿水平方向以大小为v0的速度抛出的小球落到倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中的虚线所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球落在斜面上时的速度大小为 B．小球落在斜面上时的速度大小为 C．小球在空中运动的时间为 D．小球在空中运动的时间为 7.（多选）如图所示，有一倾角为θ＝37°的粗糙斜面固定在地面上，底端A点竖直线上离底端高度为H处有一小球从P点以v0＝3m/s的速度水平抛出，小球恰好垂直打在斜面上。小球从P点抛出的同时另有一小滑块Q从A点以初速度v1沿斜面方向上滑，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，若小滑块Q能在上升过程中与小球P在斜面上相遇（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）则（　　） A．小球从抛出到落到斜面上所经历的时间t＝0.4s B．小球P抛出点距离斜面底端A的高度H＝1.7m C．v1＝5.75m/s D．v1＝5m/s 题型3 平抛运动与曲面的结合 【例题精讲】 1．如图所示，半径为R的半圆弧ACB，O是圆心，D是OA的中点。自A点和D点同时水平抛出质量相等的甲、乙两个小球。两球同时落在圆弧BC上的某点（图中未画出），且其中一个小球落点处速度方向与圆弧垂直，则下列说法正确的是（　　） A．甲球在落点处速度方向与圆弧垂直 B．甲、乙两球在运动过程中动量变化量不同 C．甲、乙两球下落时间为 D．甲、乙两球初速度大小之比为3：2 2．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为θ＝53°的斜面AC相接于C点，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为3：4 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点D D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环BC 3．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 4．如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为30°（sin30°＝0.5）。则（　　） A．v1：v2＝1：3 B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同 C．若一球以2v1的初速度从A点水平抛出，可打在O点的正下方 D．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上 5．如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点正上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6），则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 6.（多选）如图所示，ACB是一个半径为R的半圆柱面的横截面，直径AB水平，C为截面上的最低点，AC间有一斜面，从A点以大小不同的初速度v1、v2沿AB方向水平抛出两个小球a和b，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．初速度v1可能大于v2 B．a球的飞行时间可能比b球长 C．无论v2大小为多大，b球都不可能垂直撞击到圆弧面CB上 D．a球接触斜面前的瞬间，速度与水平方向的夹角大于45° 7.（多选）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向落入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．面片在空中运动的时间为0.3s B．面片运动到锅边缘时的速度大小为 C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态 D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小逐渐增大 题型4 平抛运动中的临界条件 【例题精讲】 1．如图所示，在离地面高h1处的A点以水平速度v1抛出一小球，恰好能够经过前方高h的障碍物，在A点正下方距地面高h2处的B点以速度v2同方向抛出同一小球也恰好能从障碍物上方经过，两次速度大小关系满足，忽略空气阻力，则h1，h2和h的大小关系（　　） A．4h2﹣h1＝3h B．4h2+h1＝2h C．3h2﹣h1＝2h D．4h2﹣2h1＝3h 2．网球比赛是一项大众都非常喜爱的体育运动，我国网球运动员在巴黎奥运会网球比赛夺得金牌。如图所示为某次发球训练中运动员在球场的底角处发球时，发球时将网球上抛到最高处水平击出，要求落地点位于斜角的长方形区域内且不触网即为发球有效。假设每次发球时的最高点高度不变，击球水平速度大小可变，已知比赛场地尺寸如图所示，是23.77米（长）×10.97米（宽）。发球落点有效区长6.4m，宽4.115m。网高度为h＝1.07m，不考虑空气阻力的影响，则下列阴影部分表示有效发球的网球可能落点区域正确的是（　　） A． B． C． D． 3．刀削面是北方人喜欢的面食之一，因其风味独特，驰名中外，刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8m，最近的水平距离为0.5m，锅的半径为0.5m，要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度不能是下列选项中的哪些（　　） A．1.5m/s B．3m/s C．3.7m/s D．4m/s 4．一阶梯如图所示（有很多级台阶，图中只画出了一部分），每级台阶的高度和宽度均为0.4m，一小球（视为质点）以大小为5m/s的速度水平飞出，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，小球第一次将落在第n级台阶上，则n为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网C的上边沿落在D点。已知AB＝H，网高hH，AC＝L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为L B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为2：1 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于H（仍大于h），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 6.（多选）一运动员（可视为质点）从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知运动员从A点水平飞出的速度v0＝10m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．经过0.75s运动员离斜面最远 B．运动员离斜面的最远距离为2.25m C．运动员落在斜面上的速度大小为15m/s D．运动员从飞出至落在斜面上的位移大小为15m 7.（多选）2023年WTT世界乒联新加坡大满贯赛于3月19日晚落下帷幕，中国乒乓队再次创造了包揽5金的辉煌，孙颖莎成就了三冠王。如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次孙颖莎将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 题型5 类平抛运动 【例题精讲】 1．“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　） A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为1：3 B．小球落到N点时的动能为13J C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为3：4 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J 2．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为（　　） A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N 3．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为 D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面 4．如图所示，将质量为m的小球从倾角θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知AB间的高度h＝5m，重力加速度g取10m/s2，则小球从A点运动到B点所用的时间和到达B点时的速度大小分别为（　　） A．1s 20m/s B．1s 10m/s C．2s 20m/s D．2s 10m/s 5．如图所示，光滑的斜面abcd是边长为L的正方形，其倾角θ为未知量，在a点给小球（可视为质点）一个由a指向b的初速度v0，小球沿斜面运动到c点，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．小球从a到c的运动时间为 B．小球从a到c的平均速度大小为2v0 C．斜面倾角θ的正弦值为 D．小球在c点速度方向与cd边间夹角的正切值为 6.（多选）如图所示，光滑斜面ABCD为长方形，AB边长为1.2m，BC边长为1.6m，倾角θ＝30°，质量m＝1kg的小球通过长为r＝0.2m的轻绳固定于长方形两条对角线的交点O，将轻绳拉直并使小球在某一位置P（未画出）静止。现给小球一垂直于绳的速度，小球开始做圆周运动，绳子恰好在最低点时断裂且小球刚好能够到达C点。不计阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．轻绳能够承受的最大张力为25N B．轻绳断裂瞬间小球的速度大小为2.5m/s C．到达C点时小球的速度大小为3m/s D．P点一定不会在最高点 7.（多选）如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面（重力加速度为g），下列说法中正确的是（　　） A．物块运动的加速度a＝g B．物块由P运动到Q所用的时间 C．物块由P点水平射入时的初速度v0＝b D．物块离开Q点时的速度大小v 题型6 斜抛运动 【例题精讲】 1．在同一竖直平面内距离地面高度为hA、hB处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度v0分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　） A．L B． C． D． 2．如图所示，水平地面上固定一倾角为37°的斜面，AB足够长，BB'长10m，现在B点正上方D点沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球，小球抛出速度最大为10m/s，已知重力加速度g＝10m/s2，抛出点D与B点间的距离为6m，则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为（　　） A． B．10m C．8m D．6m 3．学校的水火箭实验小组制作的水火箭两次从A点斜抛的运动轨迹如图所示，两次运动的轨迹分别为1和2，落点分别是B点和C点，忽略空气阻力，则（　　） A．轨迹2对应的水火箭的运动时间更长 B．轨迹1对应的水火箭的运动时间更长 C．轨迹2对应的水火箭的初速度更大 D．轨迹1对应的水火箭的初速度更大 4．如图所示，小球从空中足够高的P点斜向上抛出，初速度与水平方向夹角为30°，小球的最小速度为v0，经过Q点（图中未画出）时速度大小为2v0。不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球由P到Q所用的时间为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一个可视为质点的小球，小球水平击中斜面上B点，现将另一相同小球从AB中点C点抛出，仍水平击中B点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两个小球的初速度大小之比为2：1 B．从C点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大 C．两个小球离斜面的最大距离之比为2：1 D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇 6.（多选）夜晚，娄底市娄星区的娄星广场的喷泉随着音乐的节奏起舞，形成了一幅美丽的水景画。不计空气阻力，若甲、乙两喷泉形成如图所示的形状，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两喷泉中的水在空中运动的加速度相同 B．甲、乙两喷泉中的水喷出时的初速度相同 C．喷泉乙中的水在空中运动的时间较长 D．甲、乙两喷泉中的水在最高点的速度相同 7.（多选）如图，从倾角为30°的斜坡底端A斜向上抛出一个小球，抛出的初速度大小为v0，小球恰好从斜坡上端B点沿水平方向以速度大小v冲上水平高台，已知斜坡AB长为10m，重力加速度大小为10m/s2，不计小球大小，忽略空气阻力，则（　　） A．m/s B．m/s C．小球从A运动到B的时间为1s D．若从B点以速度大小v向左水平抛出小球，则小球一定落到斜坡底端A点 课时精练 1．关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是（　　） A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动 B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变 C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近 2．投壶是从先秦延续至清末的中国传统游戏，如图为古代民众进行投壶游戏的图片，游戏规则是参与游戏的人需要在一定距离外把箭投进壶里。若在箭运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，如图乙所示，这只箭由A点投出，最后落于壶中的D点。B、C是其运动轨迹上的两点，B为箭运动的最高点，A、B、C、D四点的坐标分别为（﹣L，0）、（0，L）、（L，0）、（2L，y），若这支箭可视为质点，重力加速度为g，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．D点的纵坐标y＝﹣2L B．质点运动到B点时的速度为0 C．质点从A运动到D的运动时间为 D．质点的初速度大小为 3．如图所示，从高H＝10m处以水平速度v1＝24m/s平抛小球a，ma＝0.1kg，同时从地面以初速度v2＝20m/s竖直上抛小球b，mb＝0.1kg，两球在空中相遇，碰撞后粘在一起。重力加速度取g＝10m/s2。下列说法中正确的是（　　） A．从抛出到相遇所用的时间为1s B．a与b在b下降过程中相遇 C．a、b两球碰撞之后的速度大小为13m/s D．两球抛出时的水平距离为10m 4．如图所示，一质量为m的小球在光滑水平桌面上，受一水平恒力的作用，先后经过a、b两点，速度方向偏转90°。已知经过a点时的速度大小为v、方向与ab连线夹角为30°，ab连线长度为L。对小球从a到b的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．沿a点速度方向的平均速度大小为 B．所用的时间为 C．小球在b点的速度为 D．恒力大小为 5．如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球初速度为，θ为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（　　） A．θ＝37° B． C． D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽 6．如图所示，在一斜面顶端O点，将甲、乙两个小球分别以和v的速度沿同一方向水平抛出（不计空气阻力），两球都落在该斜面上，且斜面上Oa＝ab＝bc＝cd。若甲球落点在a点，则乙球落在斜面上的（　　） A．b点 B．b与c之间某一点 C．c点 D．d点 7．选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同：如图甲所示，在自由下落的电梯中，电梯外的人看到小球只受重力作用，做自由落体运动，符合牛顿定律；电梯内的人看到小球只受重力却是“静止”的，“违反”了牛顿定律。为了能够用牛顿定律描述对地面做加速运动的参考系（又称“非惯性参考系”）中物体的运动，在非惯性系中引入惯性力的概念：惯性力F惯＝﹣ma，a表示非惯性系的加速度，负号表示与a方向相反。引入惯性力后，电梯中的人认为小球受到向上的惯性力与重力平衡，小球静止，符合牛顿定律。如图乙所示，某人在以加速度a做匀加速运动的高铁上，距地面为h处，以相对于高铁的速度v0水平抛出一个小球。已知重力加速度g，关于此人看到的小球运动，分析正确的是（　　） A．小球水平方向做匀变速直线运动 B．无论已知量满足什么条件，小球都不可能落在抛出点的正下方 C．当v0＝a时，小球将落在抛出点的正下方 D．当列车加速度a与小球初速度v0取值合适时，小球有可能做直线运动 8．某同学练习投篮，如图所示，他先后两次在同一位置、同一高度以不同的角度斜向上投掷，最后球都恰好垂直打在篮板的不同高度，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两次篮球在空中运动的时间不等 B．两次篮球在空中运动的时间相等 C．两次篮球击打篮板时速度相等 D．两次投掷时，篮球离手时速度大小一定不相等 9.（多选）如图所示，一节车厢长16m、宽2.4m、高3.2m，它以速度v匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于v的水平速度v0从车厢的右上角A处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角B。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则（　　） A．v＝10m/s B．v＝20m/s C．v0＝3m/s D．v0＝6m/s 10.（多选）一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地B点后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示。第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，忽略碰撞时间，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．飞出后到达A点的时间，第一只球与第二只球的比例为4：1 B．飞出后到达A点的时间，第一只球与第二只球的比例为3：1 C．第二只球OC段飞行时间比CA段飞行时间短 D．第二只球OC段飞行时间与CA段飞行时间相等 11.（多选）如图所示，在斜面的P点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上的Q点。若在P点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2落到斜面上的R点，则以下判断正确的是（　　） A．t1：t2＝2：1 B． C．PR：PQ＝1：2 D．PR：PQ＝1：4 12．如图，某轰炸机进行投弹演习，轰炸机在某一高度处沿水平方向以210m/s的速度向目标匀速飞行，飞行到P点时投弹，炸弹刚好垂直坡面击中斜坡上的目标A点，斜坡的倾角为37°，不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）炸弹击中A点时的速度大小； （2）炸弹在空中运动的时间。 13．如图所示，倾角α＝30°的斜面AB与长LBC＝0.4m的水平面BC在B点平滑连接，竖直面CD高hCD＝0.45m，水平面DE与倾角β＝37°、长LEF＝1.77m的斜面EF相连接。物块从A点由静止释放，经水平面BC后由C点抛出，无碰撞地由E点进入EF段。忽略一切阻力和摩擦，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）物块做平抛运动的初速度大小； （2）斜面AB的长度； （3）物块由A点运动到F点的总时间。 14．如图所示，某人从山顶相同位置分别以不同大小的速度水平抛出甲、乙两个小球，分别落在水平地面的A、B两点。已知甲、乙两球的落地点A、B与抛出点的水平距离之比为4：3，不计空气阻力，求： （1）甲、乙两小球水平抛出的初速度大小之比； （2）甲、乙两小球从抛出到落地过程的速度变化量大小之比； （3）甲、乙两小球落地前瞬间的速度与水平方向间夹角的正切值之比。 15．某学习小组利用如图所示的模型演示古代投石机的抛石过程。一定质量的石块（可视为质点）装在杆末端的口袋中，开始时口袋位于水平地面并处于静止状态。现对杆的另一端施力，当杆与竖直方向的夹角θ＝53°时，杆立即停止转动，石块从O点抛出后最终落在地面上的N点，石块运动轨迹的最高点为M，M离地面的高度H＝20m，石块在M点的速度大小v0＝12m/s。不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： （1）石块抛出点O距离地面的高度； （2）石块抛出点O与落地点N在水平方向上的距离。 16．如图所示，滑板爱好者沿倾角θ＝37°的固定斜面下滑，他将手中的小球抛出，一段时间后，小球落到斜面上。已知抛出时小球沿斜面向下的分速度v1＝0.5m/s，垂直斜面向上的分速度v2＝4m/s，抛出点到斜面的距离为d＝1.25m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）运动过程中小球与斜面的最大距离； （2）小球落到斜面时的速度大小。 第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $