山东省泰安市长城中学2025-2026学年高一上学期1月诊断测试数学试题

山东省泰安市长城中学2026年1月份高一上学期诊断测试

一、单选题（共40分）

1．（本题5分）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ）

A．若，则 B．向量是的一个单位向量

C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则

2．（本题5分）在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（本题5分）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ）

A． B． C． D．

4．（本题5分）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ）

A．或 B．或 C．或 D．或

5．（本题5分）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ）

A． B． C． D．

6．（本题5分）已知圆，直线，则（   ）

A．直线恒过定点

B．

C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于

D．若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则

7．（本题5分）已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．2

8．（本题5分）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（共15分）

9．（本题5分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ）

A．

B．异面直线与所成角的余弦值为

C．

D．点到平面的距离为

10．（本题5分）下列说法正确的是（   ）

A．直线必过定点

B．直线在轴上的截距为3

C．若直线与平行，则与之间的距离为

D．过点，且在轴截距相等的直线方程为

11．（本题5分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ）

A．椭圆的离心率为

B．的周长为4

C．椭圆上不存在点，使得

D．若，则的面积为

三、填空题（共18分）

12．（本题6分）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则     .

13．（本题6分）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为           ．

14．（本题6分）已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则     ．

四、解答题（共77分）

15．（本题13分）如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：

(1)求证：；

(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

16．（本题15分）已知圆，直线过点．

(1)若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；