精品解析：福建省泉州市南安市二十校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

福建省2026届九年级阶段评估（二） 数学 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中． 1. 事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，三角形内角和定理，根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵ 三角形的内角和为， ∴事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是必然事件． 故选：C． 2. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故选：A． 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，三角形的内角和定理，根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 在单词“”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的定义．单词“”共有5个字母，其中字母“p”出现2次，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】∵单词“”由5个字母组成，总字母数为5，其中字母“p”出现2次， ∴选到“p”的概率为． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和加法．根据二次根式的性质和加法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 为推动太原市旅游产业及生产服务业的发展，园林局计划将某处空地改造成风景园林区，以提供更加优美的环境和休闲空间．如图，这是梯形池塘的横断面示意图，若池塘斜面的坡度为，米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（ ） A. 2米 B. 1.5米 C. 米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度求出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于点D， ∵池塘斜面的坡度为， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴池塘边缘点到池塘底部的距离为2米． 故选：A． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：C． 8. 在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是1的概率 B. 朝上的点数是偶数的概率 C. 朝上的点数小于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．分别计算各选项的概率，再对比统计图即可． 【详解】解：A、朝上的点数是1的概率为，不符合题意，选项错误； B、朝上的点数是偶数的概率为，不符合题意，选项错误； C、朝上的点数小于5的概率为，不符合题意，选项错误； D、朝上的点数是3的倍数的概率为，符合题意，选项正确； 故选：D． 9. 若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2026 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 10. 如图，在中，，点是斜边上的一点，，，，，，则的长约为（ ）（参考数据：，，） A. 7.6 B. 7.9 C. 8.3 D. 8.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识．设直线交于点M，根据，得到，进而得到，根据勾股定理求出，则，进而求出，在中，根据正切定义求得，即可求出． 【详解】解：如图，设直线交于点M． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，直接作答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 要使二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握表示出x，y是解题关键． 已知和的比值，用未知量分别表示出和．代入原式中即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是边上的高，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．由角的直角三角形的性质推出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ ∴的长为． 故答案为： ． 15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率问题．先分别计算整个图形的面积为，阴影部分面积为，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得图中整个图形面积为， 阴影部分面积为， ∴向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是． 故答案为： 16. 如图，在中，，，是内的一点，连接，，，以为边向左边作等腰直角，，，是的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． 延长到点，使得，连接，．可证明垂直平分得到．根据等腰直角三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而可得，然后证明得到，最后利用三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接，． ∵， ∴． ∵ ∴垂直平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：3． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算二次根式的乘法，代入特殊角的三角函数值，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 19. 长治某校秋季运动会上，三级跳远比赛每四人一个小组，并以抓阄的方式决定每个人的比赛出场顺序，裁判将表示出场顺序的数字1，2，3，4分别写在如图所示的4张除正面数字不同外其他均相同的纸条上．并将这些纸条放在一个不透明的盒子中． （1）若小康随机抽取一张纸条，抽到数字“1”的概率为_____； （2）若小明第一个抽取，不放回纸条，小方随后抽取，求小明出场顺序位于小方之前的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题、二步概率问题的解法，涉及简单概率公式，熟记简单概率公式及列举法求概率的方法是解决问题的关键． （1）由一步概率问题的解法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案； （2）采用画树状图法，得到总的等可能结果，及满足题意的可能结果，代入简单概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：总共有4张除正面数字不同外其他均相同的纸条，则小康随机抽取一张纸条，抽到数字“1”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明出场顺序位于小方之前的结果有6种， ∴小明出场顺序位于小方之前的概率为． 20. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是找到等量关系列方程；由种植面积列方程求解． 【详解】解：设小路的宽为， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：小路的宽为． 21. 项目学习 项目背景；坐落在山西省文水县的刘胡兰纪念馆是全国重点烈士纪念建筑物保护单位．某数学实践小组的同学围绕“刘胡兰纪念馆雕塑的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 刘胡兰纪念馆雕塑的测量与计算 驱动任务 如何利用测角仪测量仰角 活动内容 利用三角函数等相关知识进行测量和计算 活动过程 1.方案说明：如图，表示雕塑的高度，点，，在同一水平线上，，均表示测角仪的高度，，，交于点，，，所有点在同一平面内． 2.测量数据：，，米，米． 3.计算：…… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算刘胡兰纪念馆雕塑的高度（参考数据：，，） 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．设，则．可得．列出方程，解得，再求解即可． 【详解】解：根据题意可知和都直角三角形，四边形和四边形都是矩形． ∵， ∴是等腰直角三角形． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 答：刘胡兰纪念馆雕塑的高度约为8米． 22. 如图，在中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 23. 如图，在中，． （1）求作，使得点在边上，且．（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，时，求的值． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，作线段的垂直平分线交于D，连接，即为所求； （2）过点作于点，的垂直平分线与交于点，先证得为的中点，然后利用等面积法求出的长度，进而可求解． 【小问1详解】 解：如图：作线段的垂直平分线交于D，连接， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，的垂直平分线与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 综合与实践 初步探究】 （1）如图1，在正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 思考：求一个锐角三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现不是直角三角形，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题．比如连接格点、，可得，则，连接，即可变换到格点处，并且恰好在中．可以求出的值为_____． 【深入探究】 （2）如图2，在的正方形网格中，，，，为格点，交于点，求的值． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形网格中，，，，为格点，与相交于点，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了网格问题中求三角函数值，勾股定理，平移性质等知识． （1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，，根据勾股定理逆定理得到，即可求出，进而即可求出； （2）将平移至．设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， 从而证明是直角三角形，且，即可求出，证明，即可得到； （3）将平移到，连接，过点作于点．根据，得到，设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理得，，求出，结合求出，即可求出． 【详解】解：（1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图2，将平移至． 设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知， ， ∴，且， ∴是直角三角形，且． ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，将平移到，连接，过点作于点． ∵， ∴， ∴． 设网格中小正方形的边长为1， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 25. 综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，数学老师提出了下面这样一道题：如图1，在和中，．，，连接，，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）请同学们解决老师提出的问题． 【验证猜想】 （2）“希望小组”突发奇想，提出下面的问题： 如图2，在和中，，，试猜想线段与之间的位置关系，并说明理由． 思维拓展】 （3）“聪明小组”在“希望小组”的启发下，提出下列问题： 如图3，在和中，，，，，的延长线交于点．直接写出的值． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应边成比例可得结论； （2）如图1，延长交于点，交于点．先证明得到，进而证明，利用相似三角形的对应角相等及三角形的内角和定理可得结论； （3）设与交于点，先根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明得到，利用平角定义和三角形的内角和定理求得，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：（1）． 理由：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）． 理由：如图2，延长交于点，交于点． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）． 理由：如图3，设与交于点， 由题意得和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省2026届九年级阶段评估（二） 数学 说明：共有三个大题，25个小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，将正确答案的代号填在下表中． 1. 事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是（ ） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法确定 2. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在单词“”中随机选择一个字母，选到的字母是“p”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为推动太原市旅游产业及生产服务业的发展，园林局计划将某处空地改造成风景园林区，以提供更加优美的环境和休闲空间．如图，这是梯形池塘的横断面示意图，若池塘斜面的坡度为，米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（ ） A. 2米 B. 1.5米 C. 米 D. 1米 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在利用正方体骰子进行频率估计概率的试验中，小悦同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是1的概率 B. 朝上的点数是偶数的概率 C. 朝上的点数小于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 9. 若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2026 D. 2028 10. 如图，在中，，点是斜边上的一点，，，，，，则的长约为（ ）（参考数据：，，） A. 7.6 B. 7.9 C. 8.3 D. 8.6 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. _______． 12. 要使二次根式有意义，则取值范围是_____． 13. 已知，则_____． 14. 如图，在中，，是边上的高，，，则的长为_____． 15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖落在游戏板上的机会相等），击中阴影区域的概率是_____． 16. 如图，在中，，，是内的一点，连接，，，以为边向左边作等腰直角，，，是的中点，连接．若，则的长为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 长治某校秋季运动会上，三级跳远比赛每四人一个小组，并以抓阄方式决定每个人的比赛出场顺序，裁判将表示出场顺序的数字1，2，3，4分别写在如图所示的4张除正面数字不同外其他均相同的纸条上．并将这些纸条放在一个不透明的盒子中． （1）若小康随机抽取一张纸条，抽到数字“1”的概率为_____； （2）若小明第一个抽取，不放回纸条，小方随后抽取，求小明出场顺序位于小方之前概率． 20. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 21. 项目学习 项目背景；坐落在山西省文水县的刘胡兰纪念馆是全国重点烈士纪念建筑物保护单位．某数学实践小组的同学围绕“刘胡兰纪念馆雕塑的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 刘胡兰纪念馆雕塑的测量与计算 驱动任务 如何利用测角仪测量仰角 活动内容 利用三角函数等相关知识进行测量和计算 活动过程 1.方案说明：如图，表示雕塑的高度，点，，在同一水平线上，，均表示测角仪的高度，，，交于点，，，所有点在同一平面内． 2.测量数据：，，米，米． 3.计算：…… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算刘胡兰纪念馆雕塑的高度（参考数据：，，） 22. 如图，在中，，为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 23. 如图，在中，． （1）求作，使得点在边上，且．（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若，时，求的值． 24. 综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现不是直角三角形，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题．比如连接格点、，可得，则，连接，即可变换到格点处，并且恰好在中．可以求出的值为_____． 【深入探究】 （2）如图2，在的正方形网格中，，，，为格点，交于点，求的值． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形网格中，，，，为格点，与相交于点，求的值． 25. 综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，数学老师提出了下面这样一道题：如图1，在和中，．，，连接，，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）请同学们解决老师提出的问题． 【验证猜想】 （2）“希望小组”突发奇想，提出下面的问题： 如图2，在和中，，，试猜想线段与之间的位置关系，并说明理由． 【思维拓展】 （3）“聪明小组”在“希望小组”的启发下，提出下列问题： 如图3，在和中，，，，，延长线交于点．直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $