精品解析：新疆维吾尔自治区名校2025～2026学年高三上学期12月阶段检测数学试题

2025~2026学年12月高三年级·名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则化简，再利用共轭复数的定义即可. 【详解】因为，所以． 故选：C 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，， 所以. 故选： C 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，可得， 由等差数列的性质，可得. 故选：B. 4. 设函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由解得，代入可得，根据奇函数的定义得到为奇函数，故充分性成立；为奇函数可得，解得，计算得到，故必要性成立，从而得到结论. 【详解】对于函数， 由“”成立，可得成立， 则， 因函数是上的奇函数，则也是奇函数. 故“”是“为奇函数”的充分条件； 由“为上的奇函数”，可得，解得， 则成立， 故“”是“为奇函数”的必要条件. 综上可得，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 5. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. 20 C. 120 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出二项式的通项，再令求解即可. 【详解】， 令，解得， 所以的展开式中的常数项是. 故选：A 6. 甲、乙两个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，已知甲、乙两个小组攻克该技术难题的概率分别为，，且两个小组各自独立进行科研攻关，在该技术难题被攻破的前提条件下，甲科研小组攻破了该技术难题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算得解. 【详解】设“该技术难题被攻破”为事件，“甲科研小组攻破了该技术难题”为事件， ，而， 所以所求概率. 故选：A 7. 已知，函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简函数，结合逐项函数的性质，得到方程，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数 ， 其中，， 所以的最大值为，可得， 又，所以. 故选：B. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数， 利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系. 【详解】因为，所以； 因为函数单调递增，，所以，即，则，所以； 构造函数，则， 令，则， 显然在上单调递增，所以， 故在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 从而，故有，整理得， 所以，故． 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出即可判断A，求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，即可判断B、C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A：因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B：因为， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，故B正确； 对于C：因为，， 若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为，故C错误； 对于D：令 ，即 ，整理得 。 因式分解：易得 是根，使用综合除法：, 再因式分解 ， 故,因此. 其中 恒成立，且当  时严格大于 0. 符号分析： 当 （即 )，，，故 ，即 。 当 ，（仅在  和  处等于 0），故 . 因此  当且仅当 ，解集为 ，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 已知向量.若，则 C. 若，则 D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】A利用充分条件和必要条件的定义判断即可；B根据向量平行的坐标表示可得，结合平方关系求，再求即可判断；C当同号时，才能利用基本不等式求最值；D利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】A：，整理得，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，错误； B：向量，若，即， 又，解得，故，正确； C：当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，错误. D：当时，，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 当在定义域上是奇函数时，， 整理得，得， 所以“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，正确. 故选：BD 11. 如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，为棱上一点，则（ ） A. 平面 B. 正四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由对称性可得四边形为菱形，故，从而得到线面平行；B选项，应用四棱锥体积公式计算求解；C选项，当为的中点时，，此时最小，从而求出的最小值；D选项，等体积法计算三棱锥和三棱锥的体积求解. 【详解】A选项，连接，由对称性可知，平面，且相交于点，为和的中点， 又，故四边形为菱形，故， 又平面，平面，所以平面，A正确； B选项，因为，所以 ， 正四棱锥的体积为，故B错误； C选项， 在等边三角形中，，当为的中点时，，此时最小，， 同理，故若点为棱上的动点，则的最小值为，C正确； D选项，，其中到平面的距离为， 设点到平面的距离为，则， 所以，则，D错误. 故选：AC 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第60百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据为， 因为，所以这7份试卷成绩的第60百分位数为. 故答案为：. 13. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】， 因为式子对任意都有意义， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为上奇函数， 所以， 所以不等式可化为， 又，，都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 14. 已知数列，即当时，，记.对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别按照为偶数和奇数求出，当时，求出，求出，由题意得到，从而得到为奇数，由得到，从而求出集合中元素的个数计算得解. 【详解】当为偶数，则 ， 当为奇数， 则 ， 综上，， 当时， 则， 所以 ， 由题意，则，故为奇数， 又因为， 当时，对应的的取值为， 因为为奇数，所以，所以只需统计时对应的的个数， 所以集合中元素的个数. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理解出即可. （2）由已知求出各边的长度，再用面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以， 则. 故的面积 16. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 【答案】（1）列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系； （2）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为1.【解析】 【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出的值，根据频率分布直方图中的数据计算这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可； （2）利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 易知，解得， 此时样本中优质产品有. 列联表如下 所以， 即没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. 【小问2详解】 由题意，易知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率为， 则随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， 则， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故. 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）证明：由题意得首项为， 因为， 所以，故是首项为1，公比为2的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系得到，，再结合等差中项的性质建立方程，求解即可. （2）利用等比数列的定义证明即可. （3）结合（2）求出，再利用等比数列前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 由题意得在数列中， 令，得到，令，得到， ， 因为依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 由等比数列前项和公式得， ， . 18. 如图，正四棱柱，在棱上有一动点，连接. （1）若点P为棱中点，求证：平面BDP； （2）设三棱锥的外接球球心为，连接. （i）若平面，求外接球的表面积； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得建立空间直角坐标系，如图所示， ，，又点P为棱中点，，， 设平面BDP的法向量为，， 令，则，平面的法向量为， ，与平行， 平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证线和面的法向量平行，即可证明； （2）（i）利用平面，求出点坐标，再利用三棱锥的特点即可求出球的直径，代入公式即可；（ii）设球心坐标，再求平面与平面的法向量，利用公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设，， 又平面，且，，解得，即， 在三棱锥中，为直角三角形，，平面， 设外接球的半径为，则外接球的直径为以为长宽高的长方体的体对角线， ，则长方体的体对角线长为， ，解得， 外接球的表面积为 （ii）设平面的法向量为，平面的法向量为， 为三棱锥外接球的球心， 设球心坐标为， 又，∴， 则，令，则， 故平面的法向量为， 由题可知，平面的法向量为， ∴， ∴，∴， ∴. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据和进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当时，将问题转化为“” ，当时，将问题转化为“” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以曲线在点处的切线为， 又切线过点，所以，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递增，由知时，， 当时，由（2）知当，即时，对成立， 所以时，存在正实数，使得对，从而化为， 当，即时，由（2）知在上单调递减，， 化为，即， ①时，令，则， 当时，在单调递增，存在正实数，使得对， 当时，由得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对，则，所以； ②当时，令， 要存在正实数，使得对， 则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立， 当时，，此时单调递增，不符合题意， 当时，由得，从而，所以. 综合①②知，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年12月高三年级·名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 100 B. 110 C. 115 D. 120 4. 设函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. 20 C. 120 D. 6. 甲、乙两个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，已知甲、乙两个小组攻克该技术难题的概率分别为，，且两个小组各自独立进行科研攻关，在该技术难题被攻破的前提条件下，甲科研小组攻破了该技术难题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 已知向量.若，则 C. 若，则 D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 11. 如图，正四棱锥与正四棱锥的底面重合，且，为棱上一点，则（ ） A. 平面 B. 正四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第60百分位数为______． 13. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 14. 已知数列，即当时，，记.对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 17. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 18. 如图，正四棱柱，在棱上有一动点，连接. （1）若点P为棱中点，求证：平面BDP； （2）设三棱锥的外接球球心为，连接. （i）若平面，求外接球的表面积； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $