期末综合复习 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

这是一份初中数学人教版八年级上册的期末复习课件，包含63页内容，以知识要点提炼为基础，涵盖三角形、全等三角形、轴对称、整式乘法、因式分解、分式等核心模块，通过概念解析、性质归纳、例题巩固及综合提升题，构建完整的复习支架。 资料特色在于紧扣新课标核心素养，通过“概念-性质-应用”三层架构培养数学眼光，如三角形分类中抽象图形特征，例题解析注重推理思维，如全等三角形判定通过HL定理规范逻辑表达，综合题结合生活情境如工程问题强化模型意识，帮助八年级学生巩固基础、提升逻辑推理与综合应用能力，为教师提供结构化复习方案助力期末高效备考。

期末综合复习 数学人教版八年级上册 期末复习 三角形 三角形定义、分类、特殊线段 三角形边角关系 整式的乘法 整式乘法运算 乘法公式 全等三角形 全等三角形定义、性质、判定方法 角平分线的性质和判定定理 轴对称 轴对称图形与性质 最短路径问题 等腰三角形与等边三角形 因式 分解 提公因式法 公式法 分式 分式定义、有意义条件、基本性质 分式方程 分式运算 幂的运算 整式除法 整式乘法 乘除法则 整数指数幂 加减法则 知识结构 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形. 概念 三角形的表示 与三角形有关的概念 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A，B，C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段 AB，BC，AC是三角形的三条边，∠A，∠B，∠C分别表示三角形的三个内角. 构成三角形需要有三个条件： ①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接. 注意 知识要点提炼 关系 要点 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (1)理论依据：两点之间线段最短. (2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. (3)证明线段之间的不等关系. 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫作三角形的稳定性. 知识要点提炼 等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形. 三角形的分类 三角形的分类 等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形. 按角分 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 注意 知识要点提炼 三角形的角平分线 三角形三条重要线段 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 要点 ①用途：角度相等； ②注意事项：与角平分线不同； ③重要特征：三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部. 知识要点提炼 三角形的中线 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫作三角形的中线. 三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 要点 ①一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，并且相交于一点； ②三角形的中线是一条线段； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分. 三角形三条重要线段 知识要点提炼 三角形的高 三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高. 要点 ①用途：线段垂直，角度相等. ②注意事项：与边的垂线不同；不一定在三角形内. ③重要特征：三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点. 三角形三条重要线段 知识要点提炼 三角形内角和定理 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫作三角形的稳定性. 由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角. 知识要点提炼 三角形的外角 概念 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 拓展：①三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角； ②三角形的外角和等于 360°； ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补. 性质 要点 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角.因此，我们常说三角形有三个外角. 知识要点提炼 全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫作全等形. 概念 性质 全等形 全等形的形状和大小都相同. ①一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折旋转前后的图形全等； ②两个全等形的周长相等，面积相等. 注意 知识要点提炼 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 概念 全等三角形 在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上. 注意 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. 如：△ABC 和△DEF全等，写作：△ABC≌△DEF ②全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，周长相等，面积相等. 性质 ①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 知识要点提炼 判定方法 全等三角形的判定 (1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等. (2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. ①判定三角形全等必须有一组对应边相等. ②应用“HL”判定两个直角三角形全等时，书写上必须提前说明这两个三角形是直角三角形. ③AAA、SSA不能判定三角形全等. 注意 知识要点提炼 性质 角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线常考四种辅助线 1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看. 3.角平分线平行线，等腰三角形来添. 4.也可将图对折看，对称以后关系出现. 知识要点提炼 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形 ①轴对称图形指的是一个图形;它被对称轴分成的两部分互相重合; ②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条； ③对称轴是一条直线. 注意 轴对称图形和轴对称 性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识要点提炼 轴对称图形和轴对称 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作对称轴. 轴对称 成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 知识要点提炼 轴对称图形和轴对称 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 区别与联系 联系： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称； 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 知识要点提炼 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 概念 线段垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 知识要点提炼 互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 互逆命题 互逆命题与互逆定理 互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 原命题成立时，它的逆命题 可能成立，也可能不成立 注意 知识要点提炼 表示 用坐标表示轴对称 点(x，y)关于x轴的对称点坐标是(x，-y)； 点(x，y)关于y轴的对称点坐标是(-x，y). 关于坐标轴对称的点的坐标特点： (1)关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数; (2)关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同! 注意 知识要点提炼 概念 等腰三角形 等腰三角形：由两边相等的三角形是等腰三角形. 性质 ①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； ②等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. 判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 知识要点提炼 ①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°. ②等边三角形每条边上的中线、高和对角的平分线互相重合，即“三线合一”. 性质 等边三角形 ①三边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 判定 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识要点提炼 (1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置. (2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置. 最短路径与将军饮马 最短路径 A B l C A C B B′ l 知识要点提炼 同底数幂的乘法 (1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.am·an=am+n (m，n都是正整数) . 法则 (1)底数a可以是数、单项式或多项式； (2)单个字母的指数是1，幂的指数为1时，不要漏掉，例如a·a2=a1+2=a3 注意 (2)拓展：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用： am·an·ap = am+n+p (m，n，p都是正整数) (3)法则的逆用：am+n = am · an (m，n都是正整数) 知识要点提炼 (1)幂的乘方，底数不变，指数相乘.(am)n= amn (m，n都是正整数) (2)法则的逆用：amn=(am)n=(an)m (m，n都是正整数) 幂的乘方 幂的乘方与积的乘方 (1)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n=anbn 　(n是正整数) (2)法则的推广：(abc)n = anbncn (n为正整数). (3)法则的逆用：anbn= (ab)n (n为正整数). 积的乘方 先看积中有哪些因式，尤其字母的系数，不要漏掉乘方. 注意 知识要点提炼 (1)同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m>n) (2)推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也适用这一法则：am÷an÷ap=am-n-p(a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p) 法则 同底数幂的除法 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 注意 零指数幂 零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于 1. a0=1(a≠0) 知识要点提炼 (1)单项式×单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)单项式×多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即：m(a+b+c)=ma+mb+mc. (3)多项式×多顶项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即：(a+b)(m+n)= am +an +bm + bn. 法则 整式的乘法 知识要点提炼 法则 整式的乘法 (4)单项式÷单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. (5)多项式÷单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 知识要点提炼 平方差公式 乘法公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a−b)=a2−b2 ①紧紧抓住：“一同一反”这一特征； ②对于不符合平方差公式标准形式者，可对算式进行适当变形，再用公式. 注意 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 即：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 完全平方公式 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央” 知识要点提炼 因式分解：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 因式分解 因式分解 公因式：多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 公因式 (1)分解因式是针对多项式而言的；(2)结果必须要以积的形式，相同因式的积要写成幂的形式；(3)分解到每一个因式都要不能再分解为止. 注意 确定公因式的步骤为三“定”：(1)定系数；(2)定字母；(3)定指数. 注意 知识要点提炼 因式分解的方法 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 提公因式法 公式法 平方差公式：a2－b2=(a + b)(a－b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 －2ab + b2=(a－b)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 知识要点提炼 概念 分式 (1)分式有意义的条件：分式的分母不等于0. (2)分式无意义的条件：分式的分母等于0. 分式有无意义的条件 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式值为0. 分式值为0的条件 ①分式有无意义与分母有关，与分子无关；②分母不为0. 注意 知识要点提炼 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 基本性质 分式的基本性质 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 约分 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 通分 知识要点提炼 分式的乘法法则 分式的四则运算 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式的乘方 知识要点提炼 分式的四则运算 同分母分式的加减 异分母分式的加减 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算，按照从左到右的顺序进行；结果一定要化为最简分式或整式. 知识要点提炼 负整数指数幂 整数指数幂 a-n(a≠0)属于分式 科学记数法 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10–n 的形式，其中1 ≤ a＜10，n是正整数. 注意 确定n的方法：①n 等于原数中左起第一个非0数字前0的个数(包括小数点前的那个0) ②小数点向右移到第一个非0数字后，小数点移动了几位，n就等于几. 知识要点提炼 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 概念 分式方程 分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解. 知识要点提炼 ∵此三角形的两边长分别为3和8， ∴第三边长的取值范围是：8-3＜第三边＜8+3． 即5＜第三边＜11， 观察选项，只有选项B符合题意． 故答案为：B． 一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是（     ） A. 5                  B. 6               C. 3             D. 11 B 重点知识巩固 等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的底角的大小是(  ) A. 65°或80°                        B. 80°或40°                            C. 65°或50°                       D. 50°或80° 当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°； 当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65度． 故答案为：C． C 重点知识巩固 下列运算正确的是（　　） A. m2·m3＝m6                     B. (m2)3＝m5                    C. m3÷m2＝m                    D. 3m﹣m＝2 C A. m2·m3＝m5 ，故错误； B. (m2)3＝m6 ，故错误； C. m3÷m2＝m，正确； D. 3m﹣m＝2m，故错误； 故答案为：C. 重点知识巩固 依题意得：x﹣2≠0， 解得x≠2． 故答案为：x≠2． x≠2 重点知识巩固 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000 000 007米的工艺制程，数0.000 000 007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8 绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为a×10﹣n，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 数0.000 000 007用科学记数法表示为7×10﹣9． 故选：B． B 重点知识巩固 D 重点知识巩固 因式分解：2x3﹣4x2+2x＝　 ． 2x3﹣4x2+2x ＝2x(x2﹣2x+1) ＝2x(x﹣1)2． 故答案为：2x(x﹣1)2． 2x(x﹣1)2 重点知识巩固 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 D ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 重点知识巩固 如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（　　） A．BE＝CF B.∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF C A．BE＝CF可以求出BC＝EF，然后利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项错误； B．∠A＝∠D可以利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，故本选项错误； C．AC＝DF符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项正确． D．由AC∥DF可得∠F＝∠ACB，然后利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：C． A D B E C F 重点知识巩固 如图，在△ABC中，以BC为底边在△ABC外作等腰△BCP，作∠BPC的平分线分别交AB，BC于点F，E．若BC＝12，AC＝5，△ABC的周长为30，点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 　 ． ∵△PBC是以BC为底边的等腰三角形，PE平分∠BPC， ∴PE垂直平分BC， ∴点B与点C关于PE对称， ∴CF＝BF， 如图所示，当点M与点F重合时，MC+MA＝MB+MA＝AB， 此时△MAC的周长最小， ∵AC＝5，BC＝12，△ABC的周长为30， ∴AB＝13， ∴△MAC周长的最小值为AB+AC＝13+5＝18，故答案为：18． 18 A P B E C F M (M) 重点知识巩固 解：(1)(a+2b)2﹣a(a+4b) ＝a2+4ab+4b2﹣a2﹣4ab ＝4b2； 重点知识巩固 如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数． 证明：（1）∵BC∥AD， ∴∠DAE＝∠BCA， ∵∠CED＝∠DAE+∠ADE， ∠BAD＝∠DAE+∠CAB， ∵∠CED＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAB， 在△ABC与△DEA中， 重点知识巩固 如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD． （1）求证：△ABC≌△DEA； （2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数． 重点知识巩固 m＞3且m≠9 综合能力提升 综合能力提升 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC. (1)将△ABC向右平移3个单位，得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1点的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小； (3)分别作△ABC关于直线m(直线m上各点的横 坐标都为1)对称的图形△A2B2C2，它们的对应 点的坐标之间有什么关系? A1 B1 C1 (1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(2，5). 综合能力提升 (2)在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小； (3)分别作△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称的图形△A2B2C2，它们的对应点的坐标之间有什么关系? A1 B1 C1 (2)解：作点B关于x轴对称的点B3，连接B3C交x轴于点P，点P即为所求; (3)∵直线m上各点的横坐标都为1， 如图所示，△A2B2C2即为所求， ∴△ABC上的点(x，y)关于直线m对称的点的坐标为(-x+2，y). A2 B2 C2 B3 P 综合能力提升 为顺利通过“文明城市”验收，我市拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 综合能力提升 （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ 综合能力提升 （2）∵甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成， ∴有如下三种方案： 方案一：甲工程队单独完成．所需费用为：4×20＝80（万元）； 方案二：乙工程队单独完成．所需费用为：3×30＝90（万元）； 方案三：甲乙两队合作完成．所需费用为：(4+3)×12＝84（万元）． ∵90＞84＞80， ∴选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工又能使工程费用最少. （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 综合能力提升 图1 图2 综合能力提升 (1)求证：∠OAB＝∠OBA； 图1 综合能力提升 (2)若BC⊥AC，求∠ACO的度数； (2)解：如图1中，过点O作OK⊥OC交AC于点K，设OB交AC于J． ∵AC⊥BC， ∴∠AOJ＝∠BCJ＝90°， ∵∠AJO＝∠BJC， ∴∠CBO＝∠KAO， ∵∠AOB＝∠COK＝90°， ∴∠AOK＝∠BOC， ∵OA＝OB， ∴△AOK≌△BOC（ASA）， ∴OK＝OC， ∴∠ACO＝∠OKC＝45°． K J 图1 综合能力提升 (3)如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的关系． (3)过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I， ∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°， ∴△OFG，△HFB为等腰直角三角形， ∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°， ∴∠HFG＝∠BFO， ∵FG＝FO．FH＝FB， G I H 图2 综合能力提升 ∴△HFG≌△BFO（SAS）， ∴GH＝OB＝OA， 又∵∠GHF＝∠OBF＝135°， ∴∠GHO＝90°， ∵D是AO的中点，DE∥BO ∴HI＝OD＝IG， ∴△EIG≌△EDO（AAS）， ∴EG＝EO， ∴FE＝EO，FE⊥EO． G I H (3)如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的关系． 图2 综合能力提升 $