精品解析：湖南省岳阳市岳阳楼区2025-2026学年上学期九年级数学第三次质量检测试卷

2025年下学期九年级第三次质量检测试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根、零次幂、立方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 运用绝对值、算术平方根、零次幂、立方根逐项判断即可． 【详解】解：A．由， 则， 故A错误，不符合题意； B．由表示4的算术平方根，则 故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．由，故选项D错误，不符合题意． 故选C． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘除、幂的乘方以及合并同类项．根据运算法则逐项分析即可，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】A．∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； B．∵合并同类项，系数相加，指数不变， ∴，故B错误； C．∵积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，故C错误； D．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D正确． 故选D． 3. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 4. 为丰富群众精神文化生活，某市春节期间开展了以“我们的中国梦——文化进万家”为主题的艺术活动，从5个街道办收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为50，52，49，46，52，则这组数据的中位数是（ ） A. 46 B. 49 C. 50 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数， 【详解】解：将这五个数从小到大排列为：46，49，50，52，52， 排在最中间的是50，即中位数是50， 故选C 5. 现有下列命题，其中真命题是（ ） A. 等腰三角形是中心对称图形 B. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 C. 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及中心对称图形、勾股定理、平行线性质及矩形性质等知识点． 根据中心对称图形、勾股定理、平行线性质及矩形性质等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A 等腰三角形不一定是中心对称图形（如一般等腰三角形旋转后不重合），是假命题； B 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理），是真命题； C同位角相等需两条直线平行，命题未指定条件，是假命题； D 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直（仅正方形特殊），是假命题； 故选：B． 6. 如图所示，给出下列条件：；；；，其中不能判定的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对角相等，可以判定； 添加后，满足两组对角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定； 故选C． 【点睛】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握定义是解题的关键．先根据正切的定义得到，则可设，，利用勾股定理得到，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：，， ∴， 设，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 已知抛物线，下列结论中正确的是（　　） A. 图象与轴的交点是 B. 抛物线的开口向下 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此B选项错误，不符合题意； 当时，，图象与轴的交点是，因此A选项错误，不符合题意； 由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项错误，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，随的增大而增大，因此D选项正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单价=总价÷数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解∶这批㭬的价钱为6210文，这批椽有株， 一株椽的价钱为文， 又每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 14. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和平均数．根据平均数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．据此即可判断． 【详解】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵ ∴丁的方差较小， ∴丁发挥稳定， ∴选择丁参加比赛． 故答案为：丁． 15. 如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形； ，． ， 的平分线交于点， ， ， ， ，， ， 故答案为：2． 16. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是___________．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效地获取信息，求出甲，乙两队的挖掘速度，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的挖掘速度为，乙队在的挖掘速度为：，之后的挖掘速度为， 故当甲队开挖到时，用了；故①正确； 由图象可知开挖时甲队比乙队多挖了；故②错误； 由图象可知，乙队在的时段，为分段函数，当时，，不是，故③错误； 当时，甲挖掘的长度为，乙挖掘的长度为，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，故④正确； 故答案为：①④． 17. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度的斜坡前进米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为米，已知、、、、在同平面内，，则旗杆的高度是_______米．(参考数据：，计算结果精确到米) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题，过点作于点，延长交于点，则，，求出(米)，(米)，则(米)，(米)，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则，， 在中，：， ， (米)，(米)， (米)，(米)， 在中，(米)， (米)， 即旗杆的高度约为米， 故答案为：． 18. 定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 又∵E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∴； ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 【解析】 【分析】（1）根据边角边证三角形全等即可； （2）先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关的定理内容． 22. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．岳阳第十中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图．组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 组 9 组 组 12 组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）的值是___________； （3）在扇形统计图中，组的扇形圆心角为___________； （4）若岳阳市第十中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）一共抽取60名学生 （2）36 （3）54 （4）估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图，熟练掌握频率分布表和扇形统计图是解题的关键． （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）用调查总人数减去组，组，组的人数即可求出的值； （3）用组人数所占调查总人数的比例乘以计算即可； （4）用组人数所占调查总人数的比例乘以计算即可． 【小问1详解】 解：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在扇形统计图中，A组的扇形圆心角为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 24. 如图，已知水平放置在平面直角坐标系中，若点A，D的坐标分别为，点在反比例函数（）图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数的图象上？并理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）平移后的点C能落在的图象上； 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点A，D的坐标分别为，点， ∴轴， ∴轴， ∴点C的坐标为， ∴沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为， ∴平移后的点C能落在的图象上． 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式可得k的值，进而得到函数解析式； （2）根据A、D、B三点坐标可得轴，根据平行四边形的性质得到轴，再由沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得点C落在反比例函数的图象上． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数（）图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 略 25. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）的值为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论； （2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值； （3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理． 26. 如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M． （1）直接写出a，b的值及点M的坐标； （2）点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； （3）平移直线BC得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数． ②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1），，点M的坐标为； （2）点N的坐标为； （3）①；②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 设抛物线解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∴，，点M的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； 【小问3详解】 解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图， 则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级第三次质量检测试卷 数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 为丰富群众精神文化生活，某市春节期间开展了以“我们的中国梦——文化进万家”为主题的艺术活动，从5个街道办收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为50，52，49，46，52，则这组数据的中位数是（ ） A. 46 B. 49 C. 50 D. 52 5. 现有下列命题，其中真命题是（ ） A. 等腰三角形是中心对称图形 B. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 C. 两条直线被第三条直线所截，则同位角相等 D. 矩形的对角线互相垂直平分 6. 如图所示，给出下列条件：；；；，其中不能判定的为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，下列结论中正确的是（　　） A. 图象与轴的交点是 B. 抛物线的开口向下 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 9. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 12. 分解因式：______． 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则______． 14. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 15. 如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则______． 16. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是___________．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 17. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度的斜坡前进米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为米，已知、、、、在同平面内，，则旗杆的高度是_______米．(参考数据：，计算结果精确到米) 18. 定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值，其中． 21. 已知如图，在中，点E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于G． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形． 22. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．岳阳第十中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图．组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 组 9 组 组 12 组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）的值是___________； （3）在扇形统计图中，组的扇形圆心角为___________； （4）若岳阳市第十中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 24. 如图，已知水平放置在平面直角坐标系中，若点A，D的坐标分别为，点在反比例函数（）图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）将沿x轴正方向平移10个单位后，能否使点C落在反比例函数的图象上？并理由． 25. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 26. 如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M． （1）直接写出a，b的值及点M的坐标； （2）点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； （3）平移直线BC得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数． ②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $