3.2 离散型随机变量及其分布列 第4课时 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

课题名称：数学选择性必修第2册     3.2 离散型随机变量及其分布列 第4课时

教学目标：

1.了解离散型随机变量的方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列，求方差和标准差。

2.了解方差公式，并会应用公式计算有关随机变量的方差。

3.承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点、难点：

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差。

教学难点：比较两个随机变量的期望和方差的大小，从而解决实际问题。

教学过程

教学环节

教学过程

知识回顾

1.随机变量的期望（均值）：    

 若离散型随机变量 X 的分布列为

2.离散型随机变量期望的性质：

若X~B(1，p)，则 E(X) = p．

若X~B(n，p)，则 E(X) = np．

若X~H(N，M，n)，则                     ．                

若Y = aX＋b， a，b为常数，则 E(Y ) = aE(X)＋b．

若 ξ = X＋Y ， 则 E( ξ) = E(X)＋E(Y )．

假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 x 表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为

我们称为这组数据的标准差．

深入探究

离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势．

但只了解期望是不够的．

有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度．

【问题 】甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2的分布列分别为

容易验证 E(X1)=E(X2)=8．从期望（均值）的角度看，分不出甲、乙

两名射手的射击水平，不知道谁更优秀．

但进一步观察分布列，可以发现甲有 42%的成绩在8 环，而乙仅有

12%的成绩在8环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大．

如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢?

很自然地想到，|X－E(X)|表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小，可以用E{|X－E(X)|}表示平均偏离的大小．

但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便．

人们便用E{[X－E(X)]2} 或来刻画与它的期望的偏离程度．

设离散型随机变量 X 的分布列为

由数学期望公式可知

D(X) = E{[X－E(X)]2}

          = (x1－E(X) )2p1＋(x2－E(X) )2p2＋∙ ∙ ∙＋(xn－E(X))2pn

则称D(X)为随机变量 X 的方差，并称为 X 的标准差．

通常还用 σ2 表示表示方差D(X)，用 σ 表示标准差

【问题 】甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2的分布列分别为

计算甲、乙两名射手射击成绩的方差，并分析两人的射击水平．

D(X1) = (6－8)2×0.16＋(7－8)2×0.14＋(8－8)2×0.42＋(9－8)2×0.1＋(10－8)2×0.18

          = 1.6．