平面向量的概念及线性运算 期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义围绕平面向量概念及线性运算构建知识体系，通过表格梳理线性运算的定义、法则与运算律，以知识框架呈现相关概念、共线定理及推论，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义典例分类精准，涵盖概念辨析（如向量命题真假判断）、共线问题（如向量共线条件应用）、线性运算化简等题型，培养学生数学思维与运算能力。分层设计满足不同学生需求，为教师单元复习提供系统实用的教学支持。

平面向量概念及线性运算 一．重点知识点梳理 1：平面向量的相关概念 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量． ⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2：平面向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 3.向量共线定理 ①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论： ②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ③三点共线结论 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得（）+ 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 结论：在中，在边上，且, 则有：． 二．典例分类分析 （一）．平面向量的概念 1．下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 2.（多选）下列命题的判断正确的是（    ） A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线 D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 【答案】BD 【详解】对于A，平行四边形中，，满足向量与共线，而四点不共线，A错误； 对于B，四点在一条直线上，则向量与方向相同或相反，即向量与共线，B正确； 对于C，平行四边形中，满足四点不共线，有，即向量与共线，C错误； 对于D，向量与共线，而向量与有公共点，因此三点在一条直线上，D正确. 故选：BD 3．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 4.如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中： (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)， 【详解】（1）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， 所以，，且. 所以，与相反的向量为，，. （2）因为的三边均不相等， 又， 所以，与的模相等的向量为，，，，. （3）由（1）（2）可知，与相等的向量为，. 5．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝ 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝(米)， 所以米. 6．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使|，点A在点O北偏东45°； （2），使，点B在点A正东； （3），使，点C在点B北偏东30°. 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 （二）．两向量共线问题 1.对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立； 当时，，不一定满足，即必要性不成立. 所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【详解】因为，，， 选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确； 选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误； 故选：A. 3.已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【详解】因为向量与方向相同， 所以存在唯一实数，使， 因为向量，不共线， 所以，解得或（舍去）， 4.（多选）下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确. 与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确. 与同向，则与反向，C正确. 时，与不一定共线，D错误. 故选：ABC 5.设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】①，共线； ②，共线； ③，共线； ④和无法表示成，所以不共线. 故答案为：①②③ （三）.平面向量的加法、减法运算及数乘运算 1.化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据向量的四则运算可知， . 故选：D 2．（多选）下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：ABC 3.在中，点P为中点，点D在上，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点P为中点，∴,∵，, ∴,∴=,故选：B. 4.如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 故选：C 5.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以∥，又因为 M为边的中点， 所以点到的距离等于点到的距离， 所以, 6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在OAC中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 在OBD中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 所以． 故选：A． 7．如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由条件可知为的重心， 对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误； 对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确； 对于D，故D错误； 对于C，，， ，故C正确. 故选：BC. 8.在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 所以， 因为， 所以, 所以A正确， 因为， 所以，所以B正确， 因为， 所以，所以C正确， 因为， 所以D错误， 故选：D 9.设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， 所以， 所以与反向平行，故A正确，B错误； ， 所以与同向平行，故CD错误. 故选：A 10.已知向量，不共线，且，，. (1)将用，表示； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以； （2）因为，，， 所以，即， 又向量，不共线，所以，解得，即的值为. （四）三点共线结论的应用 1.在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又是直线上的一点，所以， 又， 所以，所以. 故选：B 2.如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以， 所以. 故选：A 3.中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】D 【详解】AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确. 故选：D 4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， . 【答案】 【详解】因为为中点，所以， 因为和分别共线， 所以存在使得，， 所以 ， 所以，解得， 所以， 所以，，， 故答案为： 5.在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点． (1)分别用向量，表示向量，； (2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点， 所以 ， 则， . （2）因为，所以， 则， 所以，即，所以， 又因为有公共点， 所以，，三点共线.    6．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：因为， 所以 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以，所以. （2）解：因为，同理可得， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量概念及线性运算 一．重点知识点梳理 1：平面向量的相关概念 ①定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量． ⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2：平面向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 3.向量共线定理 ①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论： ②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ③三点共线结论 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得（）+ 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 结论：在中，在边上，且, 则有：． 二．典例分类分析 （一）．平面向量的概念 1．下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）下列命题的判断正确的是（    ） A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线 C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线 D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上 3．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 4.如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中： (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 5．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 6．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使|，点A在点O北偏东45°； （2），使，点B在点A正东； （3），使，点C在点B北偏东30°. （二）．两向量共线问题 1.对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3.已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 4.（多选）下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 5.设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） （三）.平面向量的加法、减法运算及数乘运算 1.化简为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3.在中，点P为中点，点D在上，且，则( ) A． B． C． D． 4.如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 5.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ） A． B． C． D． 6.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（    ） A． B． C． D． 7．如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8.在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（    ） A． B． C． D． 9.设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 10.已知向量，不共线，且，，. (1)将用，表示； (2)若，求的值； （四）三点共线结论的应用 1.在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 3.中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， . 5.在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点． (1)分别用向量，表示向量，； (2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线． 6．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $