专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心知识点，系统梳理基底概念、向量分解原理，衔接坐标表示（正交分解、线性运算坐标公式）及数量积坐标应用，构建从定理到坐标运算再到实际问题解决的学习支架。 资料通过分层例题（如基底判断多选、几何图形向量分解）与变式训练，培养学生抽象能力和几何直观，结合坐标运算与几何情境（如梯形、平行四边形问题）发展推理意识，课中辅助教师高效授课，课后练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 模块导航 · 模块一 平面向量基本定理 · 模块二 向量的坐标表示及线性运算 · 模块三 平面向量数量积的坐标表示 · 模块四 课后练习 模块一 平面向量的基本定理 · 基础知识 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【考点1 基底的概念】 【例题1.1】设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 【例题1.2】设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 【变式1.1】（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 【变式1.2】设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念只需要判断各选项的向量是否共线即可. 【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 【考点2 基底表示向量】 【例题2.1】在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 【例题2.2】在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 【变式2.1】平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 【变式2.2】在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 【变式2.3】在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 【考点3 平面向量基本定理及应用】 【例题3.1】在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 【例题3.2】已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由向量的平行四边形定则结合相等向量计算可得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以，解得， 故选：B. 【变式3.1】在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算结合重心的几何性质即可求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 【变式3.2】在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 【变式3.3】如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 模块二 向量的坐标表示及线性运算 · 基础知识 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①. 其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【考点1 平面向量的坐标表示】 【例题1.1】已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【答案】，或，或 【分析】可分别以为对角线构建平行四边形，根据一组对边对应的向量相等求解第四个顶点的坐标. 【详解】因为，所以. 设第四个顶点的坐标为． 可分别以为对角线构建平行四边形， 如图1，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图1    如图2，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图2    如图3，若构成的平行四边形是以为对角线的平行四边形，则有. 所以，解得. 所以点的坐标为. 图3    所以，第四个顶点的坐标为，或，或. 【例题1.2】已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 【变式1.1】已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 【变式1.2】已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 【变式1.3】已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 【考点2 平面向量线性运算的坐标表示】 【例题2.1】向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 【例题2.2】已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 【变式2.1】在平面直角坐标中，已知三点，若向量在上的投影向量相等，则的值为（　　） A．-2 B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式进行计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量相同， ， ， ． 故选： 【变式2.2】已知向量 ，且，则 ， ． 【答案】 0 【分析】由，列方程求解的值即可. 【详解】由得 ，即，解得 故答案为：；0 【变式2.3】已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 【考点3 向量线性运算求参数】 【例题3.1】已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 【例题3.2】已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 【变式3.1】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【变式3.2】已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】或 【分析】分点在线段上和点在线段上讨论，并结合向量坐标运算即可得到方程，解出即可. 【详解】设点的坐标为， ①若点在线段上，则， ， 即， 解得，，. ②若点在线段的延长线上，则， . 即，解得，，. 综上可得，点的坐标为或. 【变式3.3】（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 【考点4 利用坐标求向量的模长】 【例题4.1】已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值． 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． 【例题4.2】已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【答案】B 【分析】由题可求，再求值即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 【变式4.1】已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 【变式4.2】已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 【变式4.3】已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 【考点5 坐标解决共线问题】 【例题5.1】（多选）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】已知两点，，则， 对于A，，所以符合题意，A是； 对于B，，所以不符合题意，B不是； 对于C，，所以不符合题意，C不是； 对于D，，所以符合题意，D是. 故选：AD. 【例题5.2】已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 【变式5.1】已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 【变式5.2】已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用平面向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故答案为： 【变式5.3】已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 模块三 平面向量数量积的坐标表示 · 基础知识 1．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 【考点1 数量积的坐标表示】 【例题1.1】已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小． 【详解】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴， ∵，∴． 故选：C． 【例题1.2】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 【变式1.1】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量，得， 由，得，所以. 故选：B 【变式1.2】已知向量，，若，则 【答案】/0.5 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 【变式1.3】（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 【考点2 向量垂直的坐标应用】 【例题2.1】已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据列式求值即可. 【详解】由题意，. 故答案为： 【例题2.2】已知向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直得到其数量积为0，再利用向量模的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，即， 即 即，解得. 故答案为：. 【变式2.1】已知平面向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直向量的数量积为零，利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则，解得，即，可得. 故选：A. 【变式2.2】已知向量，，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为向量，，所以. 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式2.3】已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】由，得，而， 因此，所以. 故选：B 【考点3 向量夹角的坐标表示】 【例题3.1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 【例题3.2】已知向量，． (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式求解； （2）利用数量积求解. 【详解】（1）因为，，所以． 所以． （2）因为， ， ， 所以． 【变式3.1】已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 【答案】 【分析】由向量夹角公式的坐标表示即可求解 【详解】设与的夹角为， 由夹角公式得，解得. 故答案为： 【变式3.2】向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的余弦值的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 又，则. 故选：C 【变式3.3】已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据两向量垂直的坐标运算得解； （2）由得解. 【详解】（1）由，则，解得. （2）由，则与的夹角，故. 1、已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 2、设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】如图 则. 故选：D 3、已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合平面向量坐标运算、数量积公式与充分条件、必要条件定义判断即可得. 【详解】由题意可得， 由可得，解得， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4、已知平面向量，若在上的投影向量为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由题在上的投影向量为， 可知，故， 即，故. 故选：D． 5、已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．18 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得． 故选：C 6、若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 8、已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】先利用向量减法求出，再利用向量模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 9、已知，，若，则 . 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 10、平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 11、已知向量，，是一个平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行的性质及向量模长公式列方程组即可求解. （2）根据向量垂直的性质、向量模长公式及向量数量积公式求解即可. 【详解】（1）设. 由可得，①. 由可得，，即②. ①②联立解得，，或，. 所以，或. （2）由可得，. 由可得，，即， 也即，所以. 所以. 所以与的夹角的余弦值为. 12、已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 平面向量基本定理及坐标表示 模块导航 · 模块一 平面向量基本定理 · 模块二 向量的坐标表示及线性运算 · 模块三 平面向量数量积的坐标表示 · 模块四 课后练习 模块一 平面向量的基本定理 · 基础知识 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【考点1 基底的概念】 【例题1.1】设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题1.2】设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1.1】（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1.2】（多选）设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考点2 基底表示向量】 【例题2.1】在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【例题2.2】在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2.3】在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 平面向量基本定理及应用】 【例题3.1】在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【例题3.2】已知为坐标原点，，若四边形为平行四边形，则（    ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【变式3.1】在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 模块二 向量的坐标表示及线性运算 · 基础知识 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①. 其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【考点1 平面向量的坐标表示】 【例题1.1】已知平面内平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的坐标． 【例题1.2】已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【变式1.3】已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【考点2 平面向量线性运算的坐标表示】 【例题2.1】向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2.2】已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2.1】在平面直角坐标中，已知三点，若向量在上的投影向量相等，则的值为（　　） A．-2 B．0 C．2 D．3 【变式2.2】已知向量 ，且，则 ， ． 【变式2.3】已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【考点3 向量线性运算求参数】 【例题3.1】已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例题3.2】已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3.2】已知两点，，点在直线上，且，求点的坐标. 【变式3.3】（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点4 利用坐标求向量的模长】 【例题4.1】已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例题4.2】已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【变式4.1】已知，则 ． 【变式4.2】已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式4.3】已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考点5 坐标解决共线问题】 【例题5.1】（多选）已知两点，，与平行，且方向相反的向量可能是（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5.1】已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【变式5.2】已知向量，若，则 . 【变式5.3】已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 模块三 平面向量数量积的坐标表示 · 基础知识 1．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 【考点1 数量积的坐标表示】 【例题1.1】已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例题1.2】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】已知向量，，若，则 【变式1.3】（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【考点2 向量垂直的坐标应用】 【例题2.1】已知向量，，若，则 ． 【例题2.2】已知向量满足，且，则 . 【变式2.1】已知平面向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】已知向量，，若，则 ． 【变式2.3】已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 向量夹角的坐标表示】 【例题3.1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3.2】已知向量，． (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【变式3.1】已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 【变式3.2】向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 1、已知中，，则（   ） A． B． C． D． 2、设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 3、已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知平面向量，若在上的投影向量为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5、已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．18 6、若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 8、已知向量，，则 ． 9、已知，，若，则 . 10、平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 11、已知向量，，是一个平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值． 12、已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $