专题6.2.4 向量的数量积 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理中功的计算引入，建立矢量运算与数量结果的联系，进而定义向量夹角、数量积概念，通过投影深化几何意义，系统梳理性质、运算律及常用结论，形成从具体实例到抽象概念的学习支架。 该资料以物理情境为起点，培养学生用数学眼光观察现实世界，如通过功的概念抽象出数量积定义。考点分类明确，例题与变式覆盖运算、夹角、模、投影等应用，在解题中发展数学思维，系统结论与分层练习帮助学生用数学语言表达向量关系，课中便于分考点教学，课后助力巩固提升、查漏补缺。

专题6.2.4 向量的数量积 模块导航 · 模块一 向量的数量积 · 模块二 课后练习 模块一 向量的数量积 · 基础知识 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【考点1 向量的数量积的运算】 【例题1.1】已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 【例题1.2】在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 【变式1.1】等边三角形的边长为1，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量的数量积公式计算求解. 【详解】等边三角形的边长为1，，，， 则 . 故选：D. 【变式1.2】若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义直接求解. 【详解】. 故选：D. 【变式1.3】向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【考点2 数量积的运算律】 【例题2.1】已知向量与的夹角为，，，则 【答案】2 【分析】根据平面向量的数量积公式以及运算法则即可求解. 【详解】， 又， 所以，则. 故答案为：2 【例题2.2】在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 【变式2.1】已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意，，，， 则. 故答案为：. 【变式2.2】若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质化简即可得解. 【详解】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 【考点3 向量夹角的计算】 【例题3.1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 【例题3.2】已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的平方，结合向量数量积公式求解夹角即可． 【详解】对两边平方，展开得：． 则， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 故选：C． 【变式3.1】若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直关系得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角是，因为， 所以，即①， 又因为， 所以，即②， 由①②知， 所以. 故选：B. 【变式3.2】已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 【答案】 【分析】由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义求出，结合向量夹角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 所以， 又因为，故. 故答案为：. 【变式3.3】已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 【考点4 向量的模的相关计算】 【例题4.1】已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【详解】已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 【例题4.2】若非零向量满足，，则 ． 【答案】 【分析】首先可得，再将两边平方计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 即，即，解得（负值舍去）； 故答案为： 【变式4.1】已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 【变式4.2】已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)-4 (2)或3. 【分析】（1）代入向量数量积的定义，即可求解； （2）根据模长，转化为向量数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 【变式4.3】已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【答案】 【分析】先根据向量数量积的定义求，再结合向量的运算法则求，可得. 【详解】由题意：， 所以， 所以. 故答案为： 【考点5 求投影向量】 【例题5.1】已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 【例题5.2】已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，计算即可求解. 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A 【变式5.1】已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据在方向上的投影向量为，进而得到，再根据求解即可． 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 【变式5.2】设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的运算性质得到，再由投影向量计算公式即可求解. 【详解】依题意得， ， ， 因此在上的投影向量为. 故选：B 【变式5.3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 1、已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的公式计算可得. 【详解】因，， 则在上的投影向量为. 故选：A. 2、已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 3、是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量夹角的定义，利用向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 4、已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 5、已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原等式转化为，两边取平方后化简计算即得. 【详解】由可得， 两边取平方，， 因，，均为单位向量，则得， 故. 故选：A. 6、已知向量满足，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量和为零向量得到向量间的关系，再通过平方运算结合向量数量积公式求出夹角余弦值，最后根据余弦值确定夹角的大小即可. 【详解】由题意，因为，所以， 又，即， 即，即，即， 又，，所以， 解得， 又，所以. 故选：A 7、已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 8、已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识可得，即可计算夹角. 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 9、已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 10、设为单位向量，且，则 ． 【答案】 【分析】由题知，进而得即可得答案. 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 11、若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】通过平方的方法，结合空间向量的运算求得正确答案. 【详解】因为为空间两两夹角都是的三个单位向量， 所以 . 故答案为： 12、已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积运算法则计算出，从而求出夹角大小； （2）根据，结合向量数量积运算法则计算即可. 【详解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 13、已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.4 向量的数量积 模块导航 · 模块一 向量的数量积 · 模块二 课后练习 模块一 向量的数量积 · 基础知识 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【考点1 向量的数量积的运算】 【例题1.1】已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【例题1.2】在边长为2的正方形中，（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式1.1】等边三角形的边长为1，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1.2】若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【考点2 数量积的运算律】 【例题2.1】已知向量与的夹角为，，，则 【例题2.2】在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【变式2.1】已知向量垂直，且，，则 ． 【变式2.2】若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【考点3 向量夹角的计算】 【例题3.1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题3.2】已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】若是非零向量且满足，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 【变式3.3】已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【考点4 向量的模的相关计算】 【例题4.1】已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【例题4.2】若非零向量满足，，则 ． 【变式4.1】已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式4.2】已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【变式4.3】已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【考点5 求投影向量】 【例题5.1】已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式5.1】已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 【变式5.2】设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 1、已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2、已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 3、是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 4、已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5、已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6、已知向量满足，且，则（　　） A． B． C． D． 7、已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8、已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 9、已知向量，满足，，且，则 . 10、设为单位向量，且，则 ． 11、若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 12、已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 13、已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $